专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（解析版）

专题278 相似三角形的常见模型【八大题型】 【人版】 【题型1 字型】........................................................................................................................................................ 2 【题型2 “8”字形】................................................................................................................................................... 6 【题型3 X 字型】...................................................................................................................................................12 【题型4 子母型】................................................................................................................................................... 19 【题型5 三角形内接矩形型】...............................................................................................................................26 【题型6 双垂直型】............................................................................................................................................... 31 【题型7 手拉手型】............................................................................................................................................... 35 【题型8 一线三角型】........................................................................................................................................... 44 【基本模型】 ①如图，在 中，点D 在 上，点E 在 上， ，则 ， ． ②模型拓展1：斜交字型条件： ，图2 结论： ； ③模型拓展2： 如图，∠D＝∠B⇔△D∽△B⇔ ． 1 【题型1 字型】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯 下的 处走到 处时，测得影子 的长为1 米，继续往前走2 米到达 处时，测得影子 的长为2 米， 已知王华的身高是15 米，那么路灯 的高度等于_________． 【答】45 【详解】如图，设 之间的距离为x 米， 根据题意可得 ， ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ， 即 ， ， ∴ ， 解得 ，经检验 是所列方程的解， ∴ ，解得 ， 经检验 是所列方程的解， 故路灯的高为45 米． 故答为：45． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△BD 中，∠＝ 90°，B＝6m，D＝12m．某一时刻，动点M 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运 动；同时，动点从点D 出发沿D 方向以2m/s 的速度向点匀速运动，运动的时间为ts． 1 （1）求t 为何值时，△M 的面积是△BD 面积的 ； （2）当以点，M，为顶点的三角形与△BD 相似时，求t 值． 【答】（1） ， ；（2）t＝3 或 【详解】解：（1）由题意得D＝2t（m），＝（12 2 ﹣t）m，M＝tm， ∴△M 的面积＝ •M＝ ×（12 2 ﹣t）×t＝6t﹣t2， ∵∠＝90°，B＝6m，D＝12m ∴△BD 的面积为 B•D＝ ×6×12＝36， ∵△M 的面积是△BD 面积的 ， ∴6t﹣t2＝ ， ∴t2 6 ﹣t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4 秒或2 秒，△M 的面积是△BD 面积的 ； （2）由题意得D＝2t（m），＝（12 2 ﹣t）m，M＝tm， 若△M∽△BD， 则有 ，即 ，解得t＝3， 若△M∽△DB， 则有 ，即 ， 解得t＝ ， 答：当t＝3 或 时，以、M、为顶点的三角形与△BD 相似． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，B＝15m， B＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别 1 如图1、图2 所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不 计）． 【答】甲同学 【详解】解：如图1 所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， ∵DE∥B ∴△DE∽△B ∴ 即 ∴x＝ 图2 所示，过点B 作B⊥，交于点，交DE 于点P． 由勾股定理得： ＝ ∵ ， ∴ 设乙同学加工的桌面边长为ym， ∵DE∥ ∴△BDE∽△B 1 ∴ 即 ∴y＝ ∵ ＞ ，即x＞y，x2＞y2 ∴甲同学的加工方法更好． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1 与l2 的距离为1，l2 与l3 的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点，B，恰好分别落在三条直线 上，与直线l2 交于点D，则线段BD 的长度为（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】分别过点、B、D 作F⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G， ∵l1 与l2 的距离为1，l2 与l3 的距离为3， ∴F=4，BE=DG=3， ∵△B 是等腰直角三角形， ∴＝B， ∵∠EB+∠BE＝90°，∠BE+∠F＝90°，∠F+∠F＝90°， ∴∠EB＝∠F，∠BE＝∠F， 在△BE 与△F 中， ， ∴△BE≌△F， ∴F=BE=3， ∴= =5， ∵F⊥l3，DG⊥l3， ∴△DG∽△F， 1 ∴ ，即 ， 解得：D= ， ∴BD= = ． 故选：． 【基本模型】 ①如图1，B∥D⇔△B∽△D⇔ ； ②如图2，∠＝∠D⇔△B∽△D⇔ ． ③模型拓展：如图，∠＝∠ △ ⇔B∽△D⇔ ． 【题型2 “8”字形】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 的中点，连 接，BE 交于点F．若△EF 的面积为2，则△B 的面积为( ) 1 ．8 B．10 ．12 D．14 【答】 【详解】∵平行四边形BD ∴ ，D=B ∵E 为边D 的中点 ∴B=2E ∵ ∴∠E=∠B 又∵∠EF=∠BF ∴△EF∽△BF 如图，过点F 作F⊥D 于点，FG⊥B 于点G， 则 ， ∴ ， ∵△EF 的面积为2 ∴ 故选． 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△B 中，B＝6， ，动点P 在射 线EF 上，BP 交E 于点D，∠BP 的平分线交E 于点Q，当Q＝ E 时，EP+BP 的值为（ ） 1 ．9 B．12 ．18 D．24 【答】 【详解】解：如图，延长EF 交BQ 的延长线于G． ∵ ， ∴EG∥B， ∴∠G＝∠GB， ∵∠GB＝∠GBP， ∴∠G＝∠PBG， ∴PB＝PG， ∴PE+PB＝PE+PG＝EG， ∵Q＝ E， ∴EQ＝3Q， ∵EG∥B， ∴△EQG∽△QB， ∴ ＝ ＝3， ∵B＝6， ∴EG＝18， ∴EP+PB＝EG＝18， 故选：． 【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长． 1 【答】 【详解】解：如解图，补成矩形 ，延长 交 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴设 ，则 ， 又∵在矩形 中， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ． ∴ ． 1 【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点． 求 的值． 【答】 【详解】解法1：如图2，过点D 作的平行线交B 于点． 因为 ． 所以 ， 所以 ． 因为D 为B 的中点，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为M 为D 的中点，所以 ． 所以 ， 所以 ． 解法2：如图3，过点作D 的平行线交B 的延长线于点． 1 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为D 为B 的中点，所以 ． 因为M 为D 的中点，所以 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ， 所以 ． 解法3：如图4，过点作B 的平行线交B 的延长线于点． 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为M 为D 的中点，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以 ． 1 因为D 为B 的中点，且 ， 所以 ． 解法4：如图5，过点D 作B 的平行线交于点． 在 中， 因为M 为D 的中点， ， 所以为的中点，即 ． 在 中，因为D 为B 的中点， ，所以为的中点，即 ， 所以 ． 所以 ． 【基本模型】 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化 【题型3 X 字型】 【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形BD 中，∠B 的平分线交于点 E，交D 于点F，交D 的延长线于点G，若F＝2FD，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】解：由F＝2DF，可以假设DF＝k，则F＝2k，D＝3k， 1 ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B，B∥D，B＝D， ∴∠FB＝∠FB＝∠DFG，∠BF＝∠G， ∵BE 平分∠B， ∴∠BF＝∠BG， ∴∠BF＝∠FB＝∠DFG＝∠G， ∴B＝D＝2k，DF＝DG＝k， ∴G＝D+DG＝3k， ∵B∥DG， ∴△BE∽△GE， ∴ ， 故选：． 【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 中， ， （如图）．以线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点， 连接 并延长交线段 于点 ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）连接 ，交 于点 ． ①若 ，求 的长； ②作 ，垂足为 ，求证： ． 【答】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析． 【详解】（1）∵ 是等边三角形 ∴ ， 在 中， ∴ 1 ∵点 是线段 的中点 ∴ ∴ 是等边三角形 ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 为平行四边形； （2）①如图，连接 ，交 于点 ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ； ②如图，作 ，垂足为 ∵ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ． 1 【变式3-2】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线 上截取 ，连接 ， 交 于 ，则 _______ ____． 【答】 ； ． 【详解】解：（1）点F 在线段D 上时，设EF 与D 的延长线交于， ∵B//D，∴△EF∽△DF, ∴D：E=DF：F=1:2，即D= E， ∵B//D，∴△G∽△EG，∴G：G=E：， ∵B=D=2E，∴=D+D=2E+ E= E， ∴G：G=2：5， ∴G：（G+G）=2：（2+5）， 即G：=2：7； （2）点F 在线段D 的延长线上时，设EF 与D 交于， 1 ∵B//D， ∴△EF∽△DF， ∴D：E=DF：F=1：2，即D= E， ∵B//D， ∴G：G=E： ∵B=D=2E， ∴=D-D=2E- E= E， ∴G：G=2：3， ∴G：（G+G）=2：（2+3）， 即G：=2：5． 故答为： 或 ． 【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△B 中，线段D 为其内角 角平分线，过D 点的直线B11⊥于1交B 的延长线于B1． （1）请你探究： ， 是否都成立？ （2）请你继续探究：若△B 为任意三角形，线段D 为其内角角平分线，请问 一定 成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△B 中，∠B＝90︒，＝8，B＝ ，DE∥交B 于点E，试求 的值． 1 【答】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】解：（1） 等边△B 中，线段D 为其内角角平分线， 因为B11⊥于1交B 的延长线于B1， ∠B＝60°，∠B1＝∠D＝∠BD＝30°， D＝B1D， 综上：这两个等式都成立； （2）可以判断结论仍然成立，证明如下： 如图所示，△B 为任意三角形，过B 点作BE∥交D 的延长线于E 点， 线段D 为其内角角平分线 1 ∠E＝∠D＝∠BD，△EBD∽△D ∴BE＝B， 又∵BE＝B． ∴ ， 即对任意三角形结论仍然成立； （3）如图（2）所示，因为Rt△B 中，∠B＝90°，＝8， ， ∵D 为△B 的内角角平分线， ∴ ∵DE∥， ∵DE∥， ∴△DEF∽△F， 1 ∴ 【基本模型】 如图为斜“”字型基本图形．当 时， ，则有 ． ． 如图所示，当E 点与点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当 时， ，则有 ． 【题型4 子母型】 【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则D 的长为______． 【答】5 【详解】解：在D 上取点F，使 ， ， ， 1 由 ， ， ， ， 且 ， ， ， ∽ ， ， ， ， 又 ， ， ∽ ， ， 又 ， ， 或 舍去， 经检验： 符合题意， ． 故答为：5． 【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1， 中， 是 的角平分线， ． 求证： 与 互为母子三角形． （3）如图2， 中， 是中线，过射线 上点 作 ，交射线 于点 ， 连结 ，射线 与射线 交于点 ，若 与 互为母子三角形．求 的值． 1 【答】（1）；（2）见解析；（3） 或3． 【详解】（1）∵ 与 互为母子三角形，∴ 或2，故选： （2） 是 的角平分线， ， ， ． 又 ， 与 互为母子三角形． （3）如图，当 分别在线段 上时， 与 互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又 ， ． ， ， ． 如图，当 分别在射线 上时， 与 互为母子三角形， ， 1 ， 是中线， ， 又 ， ． ， ， ． 综上所述， 或3 【变式4-2】（2022·辽宁鞍山·二模）在△B 中，∠B＝2∠B，BD 平分∠B 交于点D． （1）如图（1），若B＝3，＝5，求D 的长； （2）如图（2），过点分别作，BD 的垂线，分别交B，BD 于点E，F． ①求证：∠B＝∠EF； ②求 的值． 1 【答】（1）D＝ ；（2）①见解析；② ． 【详解】（1）∵∠B＝2∠B，BD 平分∠B， ∴∠BD＝∠B 又∠＝∠， ∴△BD∽△B， ∴ ，即 ， ∴D＝ （2）①证明：∵E⊥，F⊥BD， （3）∴∠FB＝∠E＝90° 又∵∠BF＝∠， ∴△BF∽△E， ∴∠BF＝∠E ∵∠BF＝∠BE＋∠EF，∠E＝∠B＋∠BE， ∴∠B＝∠EP ②如图，取E 的中点M，连接M 在Rt△E 中，M＝ E，∠ME＝2∠ ∵∠B＝2∠， ∴∠B＝∠ME， ∴M＝B， ∴ ． 【变式4-3】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图， 中， 点 分别是 的中点， 与点 ． 1 （1）求证： ； （2）求 的大小； （3）若 ，求 的面积． 【答】（1）证明见解析；（2） ；（3）2． 【详解】（1） ， ， 在 和 中， ， ， ， ； （2） ， （3） 是等腰直角三角形， （4） ， 由（1）可知， ， ， 点E 是的中点， ， ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， ， ； （3）设 ， 1 是等腰直角三角形， ， 点 分别是 的中点， ， 在 中， ， ， 由（1）知， ， ，即 ，解得 ， 在 中， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 ，解得 ， 又 ， ，解得 ， ， 则 的面积为 ． 【基本模型】 由之前的基本模型（型或X 型）推导出来的。 1 结论：⊥GF，△GF∽△B， 【题型5 三角形内接矩形型】 【例5】（2022 秋•南岗区校级月考）如图1，在△B 中，B==5，B=6，正方形DEFG 的顶点 D、G 分别在B、上，EF 在B 上． （1）求正方形DEFG 的边长； （2）如图2，在B 边上放两个小正方形DEFG、FGM，则DE= ． 【答】（1） ；（2） ． 【详解】解：过点作M⊥B 于点M， ∵B==5，B=6， ∴BM= B=3， 在Rt△BM 中，M= =4， ∵四边形DEFG 是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥B， ∴⊥DG，四边形EDM 是矩形，∴M=DE， 设M=DE=x， ∵DG∥EF，∴△DG∽△B， ∴DG：B=：M，∴ ， 解得：DG=﹣ x+6， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣ x+6， 解得x= ， ∴正方形DEFG 的边长为 ； （2）由题意得：D=2DE， 1 由（1）知： ， ∴DE= ． 故答为 ． 【变式5-1】（2022 秋•道里区期末）如图，正方形EFG 内接于△B，D⊥B 于点D，交E 于 点M，B＝10m，D＝20m．求正方形EFG 的边长． 【答】 【详解】解： ∵四边形EFG 是正方形 ∴E∥B ∴△E∽△B ∴ ，即 解得：E= ∴四边形EFG 的边长为 【变式5-2】（2022 秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如 图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果 中的分数可保留）． 1 【答】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【详