专题11.1 与三角形有关的线段【八大题型】（原卷版）

专题111 与三角形有关的线段【八大题型】 【人版】 【题型1 三角形的分类】.........................................................................................................................................1 【题型2 判断三角形的个数】.................................................................................................................................2 【题型3 三角形三边关系的应用】.........................................................................................................................3 【题型4 三角形的稳定性】.....................................................................................................................................4 【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】..........................................................................................6 【题型6 三角形的中线与面积问题】.....................................................................................................................6 【题型7 三角形的中线与周长问题】.....................................................................................................................7 【题型8 证明三角形中线段不等关系】................................................................................................................. 8 【知识点1 三角形的概念】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 【知识点2 三角形的分类】 按边分类：三角形{ 三边都不相等的三角形 等腰三角形{ 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按角分类：三角形{ 直角三角形 斜三角形{ 锐角三角形 钝角三角形 【题型1 三角形的分类】 【例1】（2021 秋•漳平市期中）下列说法正确的有（ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． ．①② B．①③④ ．③④ D．①②④ 【变式1-1】（2021 秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法， 则（ ） 1 ．甲、乙两种分法均正确 B．甲分法正确，乙分法错误 ．甲分法错误，乙分法正确 D．甲、乙两种分法均错误 【变式1-2】（2021 秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ） ．M 表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，P 表示等边三角形 B．M 表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，P 表示等腰三角形 ．M 表示等腰三角形，表示等边三角形，P 表示三边均不相等的三角形 D．M 表示等边三角形，表示等腰三角形，P 表示三边均不相等的三角形 【变式1-3】（2021 秋•静安区期末）下列说法错误的是（ ） ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形 B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形 ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形 D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形 【题型2 判断三角形的个数】 【例2】（2021•蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式2-1】（2022 春•建邺区校级期中）如图，以B 为边的三角形的个数是（ ） 1 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式2-2】（2021 秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5 个直角，3 个钝角，25 个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） ．3 B．4 或5 ．6 或7 D．8 【变式2-3】（2022 秋•饶平县校级期末）观察图形规律： （1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个 三角形． （2）由以上规律进行猜想，第个图形共有 个三角形． 【知识点3 三角形的三边关系】 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要 两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】（2022•平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个 三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5m、9m、10m，要求只能对10m 的小木棍进 行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（ ）个不同的三角形木架． ．1 B．2 ．6 D．10 【变式3-1】（2022 春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均 可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ） 1 ．7 B．10 ．11 D．14 【变式3-2】（2022•襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5 和9， 则满足上述条件的三角形个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．6 个 D．8 个 【变式3-3】（2021 秋•祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是 4，但它不是最短边，这样的三角形的个数为（ ） ．6 个 B．8 个 ．10 个 D．12 个 【知识点4 三角形的稳定性】 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定 性．这一特性主 要应用在实际生活中 【题型4 三角形的稳定性】 【例4】（2021 春•左权县月考）我国建造的港珠澳大桥全长55 公里，集桥、岛、隧于一 体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜 拉索大桥中运用的数学原理是 ． 【变式4-1】（2021 秋•云梦县月考）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是 （ ） ． B． 1 ． D． 【变式4-2】（2021 秋•龙岩期末）下列图形中，不具有稳定性的是（ ） ． B． ． D． 【变式4-3】（2021 秋•岚皋县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要 钉上木条的根数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【知识点5 三角形的角平分线、中线和高】 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点 间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直 角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角 形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】 【例5】（2022 春•泗县期中）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，延长BG 交于 1 E．F 为B 上的一点，F⊥D 于．下列判断正确的有（ ） ．D 是△BE 的角平分线 B．BE 是△BD 边D 上的中线 ．为△D 边D 上的高 D．为△B 的角平分线 【变式5-1】（2021 春•镇江期中）如图，△B 的角平分线D 与中线BE 相交于点，有下列两 个结论：①是△BE 的角平分线：②DE 是△D 的中线，其中（ ） ．只有①正确 B．只有②正确 ．①和②都正确 D．①和②都不正确 【变式5-2】（2022 春•静安区期中）下列判断错误的是（ ） ．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 ．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【变式5-3】（2021 秋•茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（ ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三 条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中 线、三条高分别交于一点． ．1 B．2 ．3 D．4 【题型6 三角形的中线与面积问题】 【例6】（2022 春•广州期中）如图，△B 的面积是24，点D、E、F、G 分别是B、D、 BE、E 的中点，则△FG 的面积是（ ） 1 ．9 B．95 ．105 D．10 【变式6-1】（2022 春•邗江区校级期中）如图，在△B 中，D，E 分别是B，D 的中点，点 F 在BE 上，且EF＝2BF，若S△BF＝2m2，则S△B＝（ ） ．3 B．6 ．8 D．12 【变式6-2】（2021 秋•潮安区期末）如图，D 是△B 的中线，点E 是D 的中点，连接BE、 E，若△B 的面积是8，则阴影部分的面积为（ ） ．4 B．2 ．6 D．8 【变式6-3】（2022 春•泰兴市校级月考）如图，在△B 中，G 是边B 上任意一点，D、E、F 分别是G、BD、E 的中点，S△B＝48，则S△DEF的值为 ． 【题型7 三角形的中线与周长问题】 【例7】（2021 秋•乳山市校级月考）在△B 中，∠B＜∠，D 为B 边的中线，△BD 的周长与 △D 的周长相差3，B＝8，则＝ ． 1 【变式7-1】（2021 秋•涧西区校级期中）如图，在△B 中，D 是B 边上的中线，△D 的周长 比△BD 的周长多2，B+＝8，则的长为 ． 【变式7-2】（2021 春•芙蓉区校级月考）△B 中，＝2B，B 边上的中线D 把△B 的周长分成 40 和60 两部分，求B 的长． 【变式7-3】（2022 秋•重庆期末）如图，在三角形B 中，B＝10m，＝6m，D 是B 的中点， E 点在边B 上，三角形BDE 与四边形DE 的周长相等． （1）求线段E 的长． （2）若图中所有线段长度的和是53m，求B+1 2 DE 的值． 【题型8 证明三角形中线段不等关系】 【例8】（2022 春•鼓楼区期末）如图，P 为△B 内任意一点，求证：B+＞PB+P． 【变式8-1】（2021 春•嵩县期末）如图所示，D 是△B 的边上任意一点（不含端点），连结 BD，请判断B+B+与2BD 的大小关系，并说明理由． 【变式8-2】（2022 春•台江区校级期末）如图，在△B 中，已知∠B＝70°，∠B 和∠B 的平分 线相交于点D． （1）求∠BD 的度数； 1 （2）试比较D+DB+D 与1 2（B+B+）的大小，写出推理过程． 【变式8-3】（2021 秋•饶平县校级期中）在锐角三角形B 中，B＞，M 为中线，P 为△M 内 一点，证明：PB＞P（如图）． 1