专题2.1 单项式与多项式【十大题型】（原卷版）

专题21 单项式与多项式【十大题型】 【人版】 【题型1 用字母表示数】.........................................................................................................................................1 【题型2 单项式与多项式的概念】.........................................................................................................................2 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】.............................................................................................................3 【题型4 根据单项式的次数求参】.........................................................................................................................3 【题型5 直接确定多项式的项与次数】................................................................................................................. 4 【题型6 根据多项式的项与次数求参】................................................................................................................. 4 【题型7 单项式与多项式综合运用】.....................................................................................................................4 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】.................................................................................................. 5 【题型9 单项式中的规律探究】.............................................................................................................................5 【题型10 多项式中的规律探究】............................................................................................................................6 【题型1 用字母表示数】 【例1】（2022 秋•洛阳期末）如图，，B 两地之间有一条东西走向的道路．在地的东边 5km 处设置第一个广告牌，之后每往东12km 就设置一个广告牌．一辆汽车从地出发， 沿此道路向东行驶．当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为（ ） ．（12+7）km B．（12+5）km ．（12 7 ﹣）km D．（12 5 ﹣）km 【变式1-1】（2022 秋•朝阳区期末）用代数式表示“m 的3 倍与的差的平方”，正确的是 （ ） ．3m﹣2 B．（m 3 ﹣）2 ．（3m﹣）2 D．3（m﹣）2 【变式1-2】（2022 秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数 字为x，用代数式表示这个两位数是 ． 【变式1-3】（2022 秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆 后剩余的部分，则它的面积是（其中＞2b）（ ） 1 ．b−π a 2 4 B．b−π b 2 2 ．b−π a 2 2 D．b−π b 2 4 【知识点1 单项式的概念】 单项式的概念：如 2 2xy  ， 1 3 mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式， 单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相 乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不 能含有加减运算，但可以含有除法运算． 【知识点2 多项式的概念】 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【题型2 单项式与多项式的概念】 【例2】（2022 秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 2 7 、−1 2 x2y、x2+y2 1 ﹣、x、3x2y+3xy2+x4 1 ﹣、32t3、2x﹣y，单项式的个数为，多项式的个数为b，则b＝ ． 【变式2-1】（2022 秋•东莞市校级期中）整式﹣03x2y，0，x+1 2 ，﹣22b2，1 3 x 2，−1 4 y， −1 3 b2−1 2 2b 中单项式的个数有（ ） ．6 个 B．5 个 ．4 个 D．3 个 【变式2-2】（2022 秋•太湖县期末）下列式子：22b，3xy，﹣2y2，a+b 2 ，4，﹣m，x+ yz 2 ，ab−c n 其中是多项式的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式2-3】（2022 秋•新洲区期末）（2022 秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的 大括号内． 2 ﹣，x2y，−a 3 ，2x2+3x 1 ﹣，π x 2 y 3 2 ，﹣y，1 x ，2 x−y 5 单项式：{ …} 多项式：{ …}． 【知识点3 单项式的系数】 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； 1 （2）圆周率π 是常数．单项式中出现π 时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数 【知识点4 单项式的次数】 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 【例3】（2022 秋•滨江区期末）单项式π x 2 y 3 的系数为 ，次数为 ． 【变式3-1】（2022 秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数． （1）﹣12πxy2 （2）﹣222b （3）−3 2 x2y3z． 【变式3-2】（2022 秋•商水县期末）已知|+1|+（b 2 ﹣）2＝0，则单项式﹣x+2byb﹣的次数是 ． 【变式3-3】（2022 秋•惠城区期末）已知单项式−3 4 x2y2的系数为m，次数为，则m 的值为 ． 【题型4 根据单项式的次数求参】 【例4】（2022 秋•高密市期末）若（﹣2）x2y||+1是x，y 的五次单项式，则＝ ． 【变式4-1】（2022 秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣32bm+2的次数相同，则m2 2 ﹣m 的 值为 ． 【变式4-2】（2022 秋•德惠市期中）已知x2y||+（b+2）是关于x、y 的五次单项式，求2﹣ 3b 的值． 【变式4-3】（2022 秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y| 3| ﹣是关于x、y 的10 次单项式，且系数 是8，求m+的值． 【知识点5 多项式的项与次数】 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． 1 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 2 6 2 7 x x   是一个三项式． 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】 【例5】（2022 秋•端州区校级期中）多项式xy2 9 ﹣xy+5x2y 36 ﹣ 是 次 项式． 【变式5-1】（2022 秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2+1 2 x2y2 3 ﹣的最高次项是 ，三 次项的系数是 ，常数项是 ． 【变式5-2】（2022 春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x 2 ﹣的次数与项数之和为 ． 【变式5-3】（2022 秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m32 5 ﹣中，含字母的项的系数为，多 项式的次数为b，常数为，则+b+＝ ． 【题型6 根据多项式的项与次数求参】 【例6】（2022 秋•呈贡区月考）若多项式1 2x|m|﹣（m 4 ﹣）x+7 是关于x 的四次二项式，则 m 的值是 ． 【变式6-1】（2022 秋•泰兴市校级期中）已知多项式x 3 ﹣xym+1+x3y 3 ﹣x4 1 ﹣是五次多项式， 则m＝ ． 【变式6-2】（2022 秋•陇县期末）多项式1 2 x ¿m∨¿−(m+2)¿x+7 是关于x 的二次三项式，则m ＝ ． 【变式6-3】（2022 秋•莒县期末）如果（|k| 3 ﹣）x3﹣（k 3 ﹣）x2 2 ﹣是关于x 的二次多项式， 则k 的值是 ． 【题型7 单项式与多项式综合运用】 【例7】（2022 秋•麻城市期末）已知多项式−1 3 x 2 y m+1+x y 2−3 x 3−¿6 是五次四项式， 单项式04x2y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m＝ ，＝ ． 【变式7-1】（2022 秋•赤壁市期中）已知单项式3x2y 的次数为5，多项式6+x2y−1 2 x2−1 6 x2ym+3的次数为6，求单项式（m+）xmy 的次数与系数的和． 【变式7-2】（2022 秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy 4 ﹣x+1 六次四项式， 单项式5x2y6﹣m与多项式的次数相同，（m，是常数），则m＝ ． 【变式7-3】有三个单项式：2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号 能组成哪些多项式？ 1 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 【例8】（2022 秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3 次，写 出一个符合条件的单项式可以是 ． 【变式8-1】（2022 秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次 数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式 ． 【变式8-2】（2022 秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两 个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项． 【变式8-3】（2022 秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4 个条件的一个多项式： ①该多项式含有字母x 和y； ②该多项式第一项是常数项； ③该多项式是三次四项式； ④该多项式各项系数和为零． 【题型9 单项式中的规律探究】 【例9】（2022 秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式： x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…① 2 ﹣x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…② 2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③ （1）根据你发现的规律，第一行第8 个单项式为 ； （2）第二行第个单项式为 ； （3）第三行第8 个单项式为 ；第个单项式为 ． 【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x 的表达式，探究其规律：﹣x，﹣ 4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017 个表达式是 ． 【变式9-2】（2012 秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律： 1 2 a 2b，−1 4 a 2b 2，1 8 a 2b 3，−1 16 a 2b 4，…． （1）请按照此规律写出第10 个单项式； （2）试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 【变式9-3】（2022 秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a 2，a 4 3 ，a 6 5 ，a 8 7 ，⋯则 第1008 个式子是 ． 【题型10 多项式中的规律探究】 【例10】（2022 秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：+b，2﹣b3，3+b5，4﹣ b7，…，请写出第9 个式子是 ． 【变式10-1】（2022 秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2﹣b，4+b2，8﹣b3，16+b4，… 1 按此规律，则可以得到第7 个多项式是 ． 【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x 的代数式的方阵，若第10 行第2 项的值为 1034，则此时x 的值为 2 ． 【变式10-3】（2022 秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称 为特征多项式，如第1 格的“特征多项式”为4x+y，第3 格的“特征多项式”为 16x+9y，则第格的“特征多项式”为 ． 1