九下专题10 与圆有关的最值问题（教师版）

专题10 与圆有关的最值问题 隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例1．如图，点P 是边长为6 的等边 内部一动点，连接BP，P，P，满足 ，D 为P 的中点，过点P 作 ，垂足为E，连接DE，则DE 长的最小值为( ) ．2 B． ．3 D． 【答】D 【详解】解：如图所示，∵PE⊥，∴ 是直角三角形， ∵D 为P 的中点，∴DE= P，∴当P 最小时，DE 最小． ∵ 是等边三角形，∴∠1+∠PB=60º， 1= 2 ∵∠ ∠，∴∠2+∠PB=60º，∴∠BP=180º-( 2+ ∠ PB)=120º， ∴点P 在 的外接圆的 上， 找出 的外心点并作出其外接圆，点P 的运动轨迹就是 ， ∴当 时，P 有最小值，延长P 与B 交于点F， 此时∠PF=90º，∠PB=∠PB=30º，F= B= =3，∴PF=F·t∠PF=3× = ， F= = =3 ，∴P 的最小值=F-PF=3 - =2 ， ∴DE 的最小值= P= ×2 = ．故选：D． 例2．如图， 中， ， ， ，P 是 内部的一个动点，满 足 ，则线段P 长的最小值为( ) ． B．2 ． D． 【答】D 【详解】 ， ， ， ， ， 取B 的中点，以点为圆心， 为直径作圆，连接P， ， 点P 在以B 为直径的 上，连接交 于点P， 当点、点P、点三点共线时，P 最小 在 中， ， ， ， ， ， 最小值为 故选：D． 【变式训练1】如图，在正方形BD 中，B=2，点P，Q 均为B 边上的动点，BE⊥P，垂足 为E，则QD+QE 的最小值为( ) ．2 B．3 ． D． 【答】D 【详解】解：如图，∵BE⊥P，∴点E 在以B 为直径的圆上， 作点E 关于B 的对称点F，∴QE=QF，∴QD+QE= QD+QF， 连接DF，当Q 为DF 与B 交点时，QD+QE 最小． 作半圆Ｈ与以B 为直径的半圆关于B 对称，连接D，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且 为最小值，此时D=2，B=1，=3，在 中， ， ． 故选：D 【变式训练2】如图，正方形BD 的边长为8，P 是边D 上的一动点，EF⊥BP 交BP 于G， 且EF 平分正方形BD 的面积，则线段G 的最小值是___． 【答】 【详解】解：正方形BD 中，B=D=8， ，连接BD，交EF 于点，如图 所示： 则 ， 在 中，由勾股定理，得： ， ∵EF 平分正方形BD 的面积，∴EF 一定经过正方形得中心，即点是正方形的中心， ∴ , ∵EF⊥BP 交BP 于G，∴ ， ∴以B 为直径作 ，如上图，则点G 在 上， , ∴连接M，如上图，则点G 在M 与 的交点处时，G 的值最小，此时， , 过点M 作M⊥B 于点，如上图，则 ， 在 中， ， ， ∴ , 在 中，由勾股定理，得： ， ∴ ，即 的最小值是 ．故答为： ． 【变式训练3】如图，△B 中，∠B＝45°，∠B＝75°，B＝6 2 ﹣ ，点P 是B 上一动点， PD⊥于D，PE⊥B 于E，在点P 的运动过程中，线段DE 的最小值为( ) ．3 3 ﹣ B． ．4 6 ﹣ D．2 【答】B 【详解】解：如下图所示，以P 为直径作 ，连接D，过D 作DM⊥P 于M． ∵PD⊥于D，PE⊥B 于E，∴∠DP＝90°，∠EP＝90°． ∴∠DP+∠EP＝180°．∴、D、P、E 四点共圆，且直径为P． ∵∠B＝45°，∠B＝75°，∴∠B＝60°． ∴DE 是 中60°圆周角所对的弦．∴当 直径最小时，DE 取得最小值． ∴当P⊥B 时，DE 取得最小值． ∵∠B＝45°，∴∠BP=45°．∴∠PE=45°，∠B=∠BP．∴∠BP=∠PE，P=BP．∴E=PE． ∵∠DE 和∠PE 都是 所对的圆周角，∴∠DE＝∠PE＝45°．∴∠DE＝∠B＝45°． ∵∠ED＝∠B，∴△ED∽△B．∴ ＝ ． 设E＝2x，则PE＝2x．∴ ．∴＝D＝ x， ． ∴ ． ∵∠B=60°，∠BP=45°，∴∠DP＝∠B﹣∠BP＝15°． ∵∠DP 和∠DP 分别是 所对的圆心角和圆周角，∴∠DP＝2∠DP＝30°． ∴DM＝ D＝ ．∴ ．∴M＝+M＝ ． ∴D＝ ＝ ． ∵ ，∴ ．∴DE＝ ．∴线段DE 的最小值为 ．故选： B． 【变式训练4】如图，△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，B＝＝2，点D 为△B 所在平面内一 点，∠BD＝90°，以、D 为边作平行四边形DE，则E 的最小值为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图，延长E 交BD 于点F，连接BE， ∵四边形DE 是平行四边形， ∴E∥D，＝ED，∠E＝∠DE， ∵∠B＝90°，B＝＝2，∠BD＝90°， ∴ED＝B＝＝2，∠BF+∠E＝90°，∠DE+∠EDF＝90°，∠FB＝∠DB＝∠DFE＝90°， ∴B＝ B＝2 ，∴∠BF＝∠EDF， 在△FB 和△DFE 中， ， ∴△FB≌△DFE(S)，∴BF＝EF，∴∠BEF＝45°，∴∠EB＝135°， ∴点E 的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E 所在圆的圆心为M， 连接MB，M，M，M 与圆M 交于点E′， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：E′即为E 的最小值，如图， ∴∠MB＝90°，∵M＝BM，B＝2，∴∠MB＝45°，BM＝ B＝ ，∴∠MB＝90°， ∴在Rt△MB 中，M＝ ＝ ＝ ， ∴E′＝M﹣ME′＝ ﹣ ．即E 的最小值为 ﹣ ．故选：． 课后训练 1．如图，矩形BD 中，B=4，D=6，点E、F 分别为D、D 边上的点，且EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为B 上一动点，则P+PG 的最小值为( ) ．6 B．8 ．4 D．10 【答】B 【详解】解：∵EF=4，点G 为EF 的中点，∴DG=2， ∴G 点的轨迹是以D 为圆心，以2 为半径的圆弧(一部分)， 作关于B 的对称点 ，连接 ，交B 于P，当G 点刚好在直线 上时，此时P+PG 的 值最小，最小值为 的长； ∵B=4，D=6，∴ ， ∴在Rt△ 利用勾股定理有 ， ∴ ， ∴P+PG 的最小值为8， 故选：B． 2．如图，在矩形BD 中，B＝2， ，点E 为B 中点，点F 为D 边上从到D 运动的 一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，点落在点G 处，在运动的过程中，点G 运动的 路径长为( ) ． B． ． D．1 【答】 【详解】解：∵点E 为B 中点，点F 为D 边上从到D 运动的一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，∴ ，∴G 点在以E 为圆心，E 长为半径的圆上运动． 当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 ． ∵B＝2，点E 为B 中点，∴ ， ∵矩形BD，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ． ∵将 沿EF 折叠，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ． 故选：． 3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3 为半径 的圆上一点，连接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为( ) ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【详解】作B 的中点E，连接EM、E、D，则有D=3， ∵∠B=90°，即在 中， ， ∵E 是 斜边B 上的中点，∴ ， ∵M 是BD 的中点，E 是B 的中点，∴ ， ∴在 中， ，即 ； 当、M、E 三点共线时有 或者 ；即 ， ∴M 最小值为5，故选：． 4．如图，点，B 的坐标分别为(3，0)、B(0，3)，点为坐标平面内的一点，且B=2，点M 为 线段 的中点，连接 ，则 的最大值为( ) ． B． ． D．2 【答】 【详解】解：如图，∵点为坐标平面内一点，B=2， ∴在⊙B 上，且半径为2， 取D==3，连接D， ∵M=M，D=，∴M 是△D 的中位线，∴M= =D， 当M 最大时，即D 最大，而D，B，三点共线时，当在DB 的延长线上时，M 最大， ∵B=3，D=3，∠BD=90°， ∴BD= ，∴D= ，∴M= D= ，即M 的最大值为 ；故选 5．如图，⊙D 的半径为2，圆心D 的坐标为(3，5)，点是⊙D 上的任意一点 ，且、 B 与x 轴分别交于、B 两点，若点、点B 关于原点对称，则B 的最大值为( ) ．14 B． ． D． 【答】D 【详解】解：如图：连接 ∵ ， 是直角三角形 ∵点、点B 关于原点对称，∴=B ∴是Rt△B 的斜边上的中线，∴ ， 故若要使B 最大，则需取最大值，连接D 并延长，交⊙D 于点1，2 当点位于点2时，最长 过点D 作 轴于点E ∵点D(3，5)，∴DE=5，E=3，在Rt△DE 中，根据勾股定理得： ， 故B 的最大值为 ，故选：D 6．如图， 的半径是6，点是圆上一个定点，点 在 上运动，且 ， ，垂足为点 ，连接 ，则 的最小值是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】解：设 交 于 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，连接 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 由勾股定理得： ． ， ． ， ， 在 中， ， ， 的最小值是 ， 故选D．