附6 数轴中的动点问题

数轴中的动点问题 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素 养要求较高。 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t 的代数式表示，向右运动用“+”表示，向 左运动用“-”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1 单动点问题 例1（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知，B（B 在的左侧）是数轴上的两点，点 对应的数为8，且B＝12，动点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动， 在点P 的运动过程中，M，始终为P，BP 的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论 中正确的有（ ） ①B 对应的数是－4；②点P 到达点B 时，t＝6；③BP＝2 时，t＝5；④在点P 的运动过程 中，线段M 的长度不变 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点 P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出P 的长，再利用路程除以速度即可；④ 分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B 对应的数是x， ∵点对应的数为8，且B=12， 8- ∴ x=12，∴x=-4，∴点B 对应的数是-4，故①正确； 由题意得：12÷2=6（秒），∴点P 到达点B 时，t=6，故②正确； 分两种情况：当点P 在点B 的右侧时， ∵B=12，BP=2，∴P=B-BP=12-2=10， 10÷2=5 ∴ （秒），∴BP=2 时，t=5， 当点P 在点B 的左侧时，∵B=12，BP=2，∴P=B+BP=12+2=14， 14÷2=7 ∴ （秒），∴BP=2 时，t=7，综上所述，BP=2 时，t=5 或7，故③错误； 分两种情况：当点P 在点B 的右侧时， ∵M，分别为P，BP 的中点，∴MP= P，P= BP， ∴M=MP+P= P+ BP= B= ×12=6， 当点P 在点B 的左侧时，∵M，分别为P，BP 的中点，∴MP= P，P= BP， ∴M=MP-P= P- BP= B= ×12=6， ∴在点P 的运动过程中，线段M 的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有3 个，故选：． 【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 变式1．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知有理数 满足： ． 如图，在数轴上，点 是原点，点 所对应的数是 ，线段 在直线 上运动（点 在 点 的左侧）， ， 下列结论① ；②当点 与点 重合时， ； ③当点 与点 重合时，若点 是线段 延长线上的点，则 ； ④在线段 运动过程中，若 为线段 的中点， 为线段 的中点，则线段 的 长度不变． 其中正确的是（ ） ．①③ B．①④ ．①②③④ D．①③④ 【答】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出和b 的值，然后根据数轴上两点之间距离的计 算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性． 【详解】解：∵ ， ，且 ， ∴ ， ，解得 ， ，故①正确； 当点 与点 重合时，∵ ， ，∴ ，故②错误； 设点P 表示的数是 ，当点 与点 重合时，点B 表示的数是2， ， ， ， ∴ ，故③正确； 设点B 表示的数是 ，则点表示的数是 ， M ∵ 是B 的中点，∴点M 表示的数是 ， ∵是的中点，∴点表示的数是 ， 则 ，故④正确．故选：D． 【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表 示方法． 题型2 单动点问题（规律变化） 例2（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点表示﹣4，点B 表示﹣1，点表示 8，P 是数轴上的一个点． (1)求点与点的距离．(2)若PB 表示点P 与点B 之间的距离，P 表示点P 与点之间的距离， 当点P 满足PB＝2P 时，请求出在数轴上点P 表示的数．(3)动点P 从点B 开始第一次向左 移动1 个单位长度，第二次向右移动2 个单位长度，第三次向左移动3 个单位长度，第四 次向右移动4 个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P 满足P＝2P 时，则点P 移动 次． 【答】(1)12(2)17 或5(3)2 或29 【分析】(1)根据两点间的距离公式可得与的距离； (2)设点P 表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可； (3)设点P 表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16 或0，再根据点P 的移动规律可得答． (1)解：＝|8-(-4)|＝12，故答为：12； (2)解：设点P 表示的数是x，则PB＝|x＋1|，P＝|x 8| ﹣， | ∴x＋1|＝2|x 8| ﹣，解得x＝17 或5； (3)解：设点P 表示的数是x，则P＝|x＋4|，P＝|x 8| ﹣， | ∴x 8| ﹣＝2|x＋4|，解得x＝﹣16 或0， 根据点P 的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……， 它移动奇数次到达的数是从﹣2 开始连续的负整数，故移动到﹣16 需29 次，移动到0 需2 次． 故答为：2 或29． 【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟 练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键． 变式2．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q 从原 点出发，沿数轴以每秒钟4 个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1 个单 位长度，再向左移动2 个单位长度，又向右移动3 个单位长度，再向左移动4 个单位长度， 又向右移动5 个单位长度… （1）求出25 秒钟后动点Q 所处的位置； （2）求出7 秒钟后动点Q 所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点，且与原点相距48 个单位长度，问：动点Q 从原点出发， 可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140 秒或1164 秒． 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出25 秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计 算即可得解； （2）先根据路程=速度×时间求出7 秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （3）分点在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速 度计算即可得解． 【详解】解：（1）∵4×25=10， ∴点Q 走过的路程是1+2+3+4=10， Q 处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）∵4×7=28， ∴点Q 走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28， Q 处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4； （3）①当点在原点右边时，设需要第次到达点，则 ， 解得=95， ∴动点Q 走过的路程是 1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95 =1+2+3+…+95 = =4560， ∴时间=4560÷4=1140(秒)； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则 =48， 解得=96， ∴动点Q 走过的路程是 1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96| =1+2+3+…+96 = =4656， ∴时间=4656÷4=1164(秒) ． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分 情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解． 题型3 双动点问题（匀速） 例3（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上点表示数，B 点表示数 b，点表示数，且，b 满足|+3|+（b 9 ﹣）2＝0，＝1． （1）＝ ，b＝ ； （2）点P 为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x | | ﹣﹣x﹣b|取得最 大值，最大值为 ； （3）点P 从点处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时点Q 从点B 处以2 个单位/秒的速度 也向左运动，在点Q 到达点后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q 之间的距离是点B、Q 之问距离的2 倍？ 【答】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3） 秒或 秒． 【分析】（1）由|+3|+（b 9 ﹣）2＝0，根据非负数的性质得|+3|＝0，（b 9 ﹣）2＝0，即可求 出＝﹣3、b＝9； （2）由（1）得＝﹣3、b＝9，则代数式|x | | ﹣﹣x﹣b|即代数式|x+3| | ﹣x 9| ﹣，按x＜﹣3、﹣ 3≤x＜9 及x≥9 分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值； （3）先由点表示的数是1，点B 表示的数是9，计算出B、两点之间的距离，确定t 的取值 范围，再按t 的不同取值范围分别求出相应的t 的值即可． 【详解】解：（1）∵|+3|≥0，（b 9 ﹣）2≥0，且|+3|+（b 9 ﹣）2＝0， |+3| ∴ ＝0，（b 9 ﹣）2＝0，∴＝﹣3，b＝9，故答为：﹣3，9． （2）∵＝﹣3，b＝9，∴代数式|x | | ﹣﹣x﹣b|即代数式|x+3| | ﹣x 9| ﹣， 当x＜﹣3 时，|x+3| | ﹣x 9| ﹣＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12； 当﹣3≤x＜9 时，|x+3| | ﹣x 9| ﹣＝x+3﹣（9﹣x）＝2x 6 ﹣， 12≤2 ∵﹣ x 6 ﹣＜12，∴﹣12≤|x+3| | ﹣x 9| ﹣＜12； 当x≥9 时，|x+3| | ﹣x 9| ﹣＝x+3﹣（x 9 ﹣）＝12， 综上所述，|x+3| | ﹣x 9| ﹣的最大值为12， 故答为：≥9，12． （3）∵点表示的数是1，点B 表示的数是9， ∴B、两点之间的距离是9 1 ﹣＝8， 当点Q 与点重合时，则2t＝8，解得t＝4， 当0＜t≤4 时，如图1，点P 表示的数是﹣3﹣t，点Q 表示的数是9 2 ﹣t， 根据题意得9 2 ﹣t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝ ； 当4＜t≤8 时，如图2，点P 表示的数仍是﹣3﹣t， 1+ ∵ （2t 8 ﹣）＝2t 7 ﹣，∴点Q 表示的数是2t 7 ﹣， 根据题意得2t 7 ﹣﹣（﹣3﹣t）＝2（16 2 ﹣t），解得t＝ ， 综上所述，第 秒或第 秒，点P、Q 之间的距离是点B、Q 之间距离的2 倍． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义 等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 变式3．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点，B 表示的数分别为，b，则、B 两点之间的距离表示为 ．如：点表示的数为2，点 B 表示的数为3，则 ． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点表示的数为−2，点B 表示的数为13，、B 两点之间的 距离 ______，线段B 的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从 点B 出发．以每秒2 个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t 秒（t>0） ①用含t 的式子表示：t 秒后，点Р 表示的数为______；点Q 表示的数为______； ②求当t 为何值时，P、Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自 到达线段B 的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段B 上做往复运动，那么再 经过多长时间P、Q 两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答】(1) ； (2)① ； ；②当t 为3 时，P、Q 两点相遇；相遇点所表示的 数是7 (3)所需要的时间为9 秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由表示的数为−2，点B 表示的数为13，即得B＝15，线段B 的中点表示的 数为 ；（2）①t 秒后，点P 表示的数为−2＋3t，点Q 表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P 表示的数是13−3（t−5），Q 表示的数是−2＋2（t− ），即得： 13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5） ＝1． (1)∵表示的数为−2，点B 表示的数为13， ∴B＝|13−（−2）|＝15，线段B 的中点表示的数为 ；故答为：15； ． (2)①t 秒后，点P 表示的数为−2＋3t，点Q 表示的数为13−2t；故答为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t 为3 时，P，Q 两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P 运动5 秒到B，Q 运动 秒到， 返回途中，P 表示的数是13−3（t−5），Q 表示的数是−2＋2（t− ）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9 秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t 的代数式表示 运动后的点所表示 的数． 题型4 双动点问题（变速） 例4（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点是数轴的原点，点、B、在数轴上对 应的数分别是﹣12、b、，且b、满足（b 9 ﹣）2+| 15| ﹣ ＝0，动点P 从点出发以2 单位/秒的 速度向右运动，同时点Q 从点出发，以1 个单位/秒速度向左运动，、B 两点之间为“变速 区”，规则为从点运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动 到点期间速度变为原来的3 倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q 两点到 点B 的距离相等． 【答】 或30 【分析】利用已知条件先求出B、在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q 点 的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b 9 ﹣）2+| 15| ﹣ ＝0， ∴b 9 ﹣＝0，﹣15＝0，∴b＝9，＝15， ∴B 表示的数是9，表示的数是15， ①当0≤t≤6 时，P 在线段上，Q 在线段B 上，此时不存在P、Q 两点到点B 的距离相等； ②当6＜t≤9 时，P、Q 都在线段B 上，P 表示的数为t 6 ﹣，Q 表示的数是9 3 ﹣（t 6 ﹣）， ∴P、Q 两点到点B 的距离相等只需t 6 ﹣＝9 3 ﹣（t 6 ﹣），解得t＝ ， ③当9＜t≤15 时，P 在线段B 上，Q 在线段上，此时不存在P、Q 两点到点B 的距离相等； ④当t＞15 时，P 在射线B 上，Q 在射线上，P 表示的数为9+2（t 15 ﹣ ），Q 表示的数是﹣ （t 9 ﹣），∴P、Q 两点到点B 的距离相等只需9+2（t 15 ﹣ ）﹣9＝9 [ ﹣﹣（t 9 ﹣）]，解得t ＝30， 综上所述，P、Q 两点到点B 的距离相等，运动时间为 秒或30 秒， 故答为： 或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进 行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的 主要思路． 变式4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点 、 、 在数轴上对应的数分别是 、 、，且 、满足 ，动点 从点 出发以 单位/秒的速度向右运动， 同时点 从点 出发，以个单位/秒速度向左运动， 、 两点之间为“变速区”，规则 为从点 运动到点 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点 运动到点 期 间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1） ____， ____， 、 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点 从 出发运动至点 时，求的值； ②当 、 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当 ___时， 、 两点到点 的距离相等． 【答】（1）9，20，32；（2）① ；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12 或25 时， 点P、Q 到点B 的距离相等． 【分析】（1）根据 可先求出b、的值，然后再由数轴两点距离可求解； （2）①点P 从点运动到点可得当点P 在上时，点P 在B 上时及点P 在B 上时，然后分别求 出时间，进而问题可求解； ②由题意易得当点到达变速点B 时，点P 所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行 求解，最后在利用数轴求解即可； （3）由（1）（2）及题意可分：①当 时，②当 时，③当点Q 的速度变为 3 单位/秒时，即 ，④当点Q 和点P 都过了“变速区”，即 ，然后根据数轴 两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴、两点距离为： ； 故答为9，20，32； （2）①由题意可分：当点P 从运动到和从B 运动到时，所需时间为： ， 点P 从点到点B 属于变速区，所以速度为2÷2=1 单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s， ∴点P 从点到点的时间为： ； ②当点到达变速点B 时，所需时间为11÷1=11s，此时点P 运动的路程为： ，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q 的速度为1×3=3 单位/秒， ∴ ， 5+1×1=6 ∴ ， ∴相遇点所表示的数为6； （3）由（1）（2）及题意可分： ①当 时，如图所示： 则有B=21，P=2t，PB=21-2t，B=11，BQ=11-t， BP=BQ ∵ ， ∴ ， 解得： （不符合题意，舍去）； ②当 时，如图所示： ∵点P 的速度为1 单位/秒，Q 速度不变， ∴ ，BQ=11-t， PB=BQ ∵ ， ∴ ，方程无解； ③当点Q 的速度变为3 单位/秒时，即 ，如图所示： PB=15-t ∴ ， ， PB=BQ ∵ ， ∴ ， 解得t=12， ④当点Q 和点P 都过了“变速区”，即 ，如图所示： ∴ ， ， PB=BQ ∵ ， ∴ ， 解得： ； 综上所述：当t=12 或25 时，点P、Q 到点B 的距离相等； 故答为12 或25． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握 数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键． 题型5 多动点问题 例5（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点、B 所表示的数分别为和 b，且满足|＋3|＋(b－9)2＝0，为原点； (1) ＝ ，b＝ (2) 若点从点出发向右运动，经过3 秒后点到点的距离等于点到B 点距 离，求点的运动速度？（结合数轴，进行