专题02 数轴上的三种动点问题（学生版）

专题02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过 程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型(求时间、求距离或者对应点、定 值问题)做出详细分析与梳理。 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后 到达点表示的数为－b 类型一、求值(速度、时间、距离) 例1．如图在数轴上点表示数，B 点表示数b，，b 满足 ＋ ＝0； (1)点表示的数为 ；点B 表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点B 与点之间的距离表示为B，请在数轴上找一点，使＝ 2B，则点表示的数 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球 乙从点B 处以2 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 (忽略球的大小，可看作一 点) 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球 到原点的距离 (用t 表示)． 例2．如图，数轴上两个动点，B 起始位置所表示的数分别为 ，4，，B 两点各自以一定 的速度在数轴上运动，已知点的运动速度为2 个单位/秒． (1)若，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度． (2)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8 个 单位长度？ (3)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点 出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有 ，求点的运动速度． 【变式训练1】如图，将一条数轴在原点和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图 中点表示-10，点B 表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28 个长度单位．动点 P、Q 同时出发，点P 从点出发，以2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从 点运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从点出发，以1 单位/ 秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻 恢复原速．设运动的时间为t 秒．问： (1)动点P 从点运动至点需要多少时间？ (2)求P、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数． 【变式训练2】如图，已知 、 、 是数轴上三点，点 表示的数为4， ， ． (1)点 表示的数是______，点 表示的数是______． (2)动点 、 分别从 、 同时出发，点 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运 动，点 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点 的运动时间为( )秒． ①用含的代数式表示：点 表示的数为______，点 表示是数为______； ②当 时，点 、 之间的距离为______； ③当点 在 上运动时，用含的代数式表示点 、 之间的距离； ④当点 、 到点 的距离相等时，直接写出的值． 【变式训练3】如图，点、B 为数轴上的点(点在数轴的正半轴)， ，为B 的中点，且 点表示的数为2． (1)点表示的数为______，点B 表示的数为______； (2)点M 为数轴上一动点，点是M 的中点，若 ，求点M 表示的数，并画出点M 的位 置； (3)点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，以 每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，设运动时间为 秒．在运动过程中，点P、Q 之间的距离为3 时，求运动时间t 的值． 类型二、定值问题 例1．已知：是单项式-xy2的系数，b 是最小的正整数，是多项式2m2－m32－m－2 的次数． 请回答下列问题： (1)请直接写出、b、的值．＝ ，b＝ ，＝ ． (2)数轴上，、b、三个数所对应的点分别为、B、，点、B、同时开始在数轴上运动，若点 以每秒1 个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒1 个单位长度和3 个单 位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点之间的距离表示为B，点与点B 之间 的距离表示为B，点与点之间的距离表示为． ①t 秒钟过后，的长度为 (用含t 的关系式表示)； ②请问：B-B 的值是否会随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求 出其值． 【变式训练1】如图，已知数轴上点表示的数为12，B 是数轴上一点．且 ．动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒． (1)写出数轴上点B 表示的数___，点P 表示的数___(用含t 的代数式表示)； (2)动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时 出发，问点P 运动多少秒时追上点Q； (3)若M 为P 的中点，为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段M 的长度是否发生变化？ 若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段M 的长． 【变式训练2】如图，已知数轴上点表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且 ． 动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为 秒． (1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；(用含t 的代数式表示) (2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时 出发，问t 为何值时，点P 追上点Q？此时P 点表示的数是多少？ (3)若点M 是线段 的中点，点是线段 的中点．点P 在运动的过程中，线段 的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出 的长度； 【变式训练3】点、B 在数轴上对应的数分别为、b，且、b 满足 ． (1)如图1，求线段B 的长； (2)若点在数轴上对应的数为x，且x 是方程 的根，在数轴上是否存在点P 使 ，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图2，点P 在B 点右侧，P 的中点为M，为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右 侧运动时，有两个结论：① 的值不变；② 的值不变，其中只有一个 结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值． 类型三、点之间的位置关系问题 例1．如图，已知在数轴上有，B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且 ． 若有一动点P 从数轴上点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒． (1)解决问题： ①当 时，写出数轴上点B，P 所表示的数； ②若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？ (2)探索问题：若M 为Q 的中点，为BP 的中点．当点P 在，B 两点之间运动时，探索线段 M 与线段PQ 的数量关系(写出过程)． 例2 如图，在数轴上点表示的数为，B 点表示的数为b，点表示的数为，b 是最大的负整数， 且，满足|+3|+( 9) ﹣ 2＝0．点P 从点B 出发以每秒3 个单位长度的速度向左运动，到达点后 立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)＝ ，b＝ ； (2)点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，P+PB+P＝13，求x 的值． (3)点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分 别为每秒4 个单位长度和每秒5 个单位长度，假设t 秒钟时，P、M、三点中恰好有一个点 是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值． 【变式训练1】如图，已知、B、是数轴上三点，点为原点，点表示的数为6，B＝4， B＝ 12． (1)写出数轴上点、B 表示的数； (2)动点P、Q 分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P 的速度是每秒6 个单位长度， 点Q 的速度是每秒3 个单位长度，点M 为P 的中点，点在线段Q 上，且＝ Q，设运动时 间为t(t＞0)秒． ①求数轴上点M、表示的数(用含t 的式子表示)； ②当M、B、三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t 的值． 【变式训练2】已知，如图1：数轴上有、B、三点，点表示的数为－5， 点B 表示的数为 13， 点表示的数为－2，将一条长为9 个单位长度的线段M 放在该数轴上(点M 在点的左 边)． (1)求线段B 中点表示的数； (2)如图2：若从点M 与点重合开始，将线段M 以03 个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动， 经过x 秒后，点恰为线段B 的中点，求x 的值； (3)如图3：在(2)的基础上，若线段M 向右移动的同时，动点P 从点开始以06 个单位长度/ 秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t 秒，当P、、B 三个点中恰有一个点为另两 个点所组成线段的中点时，求t 的值． 【变式训练3】已知、B、为数轴上三点，若点到的距离是点到B 的距离的2 倍，我们就称 点是 的优点． 例如：如图1，，B 为数轴上两点，点表示的数为－1，点B 表示的数为2，表示数1 的点 到点的距离是2，到点B 的距离是1，那么点是 的优点；表示数0 的点D 到点的距离 是1，到点B 的距离是2，那么点D 是 的优点． (1)在图1 中，点是 的优点，也是(，_____________)的优点；点D 是 的优点， 也是(B，_____________)的优点； (2)如图2，，B 为数轴上两点，点所表示的数为－2，点B 所表示的数为4．设数 所表示 的点是 的优点，求 的值； (3)如图3，，B 为数轴两点，点所表的数为－20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂 蚁Р 从点B 出发，以5 个单位每秒的速度向左运动，到达点停止，设点Р 的运动时间为t 秒，在点Р 运动过程中，是否存在P、和B 中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请 求出t 的值；如果不存在，说明理由．