模型14 全等三角形——平行线中点模型-原卷版

全等三角形 模型（14）——平行线中点模型 ◎结论：如图，B∥D，点E、F 分别在直线B、D 上，点为EF 中点， P 为B 上一 点，则△PE △QF ≌ 【证明】延长P 交D 于Q, B∥D ∵ ∠PE ∴ ＝∠QF,∠EP＝∠FQ 在△PE 和△QF 中， ∠PE＝∠QF E＝F ∠EP＝∠FQ △PE ∴ ≌△QF 1．（2021·全国·八年级专题练习）在 中， ， 于点 ，点 为 的中点，若 ，则 的度数是（ ） 有中点，有平行，轻轻延长就能行 ． B． ． D． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， 为 上一点， 为 的 中点，则下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点、 B、分别在直线l1、l2、线段PQ 上，点是斜边B 的中点，若PQ 等于 ，则Q 的长等于 _____． 2．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1， ，由 ， ，可得 ；又 因为 ，可得 ，进而得到 ______．我们把这个模型称为“一线三等角”模 型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在 中， ， ，点P 是B 边上的一个动点（不与B、重合），点D 是边上的一个动点，且 ． ①求证： ； ②当点P 为B 中点时，求D 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长． 3．（2020·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠＝90°，点E 是D 的中点，E 平分∠DB，∠DE＝28°，求∠BE 的大 小． 1．（2022·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形． （1）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，矩形 的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在 图1 和图2 的边 上找出不同的点E，使得四边形 是一个直分四边形． （2）如图3，在直分四边形 中， 和 互补，且 ，请求出 的长度． （3）如图4，在边长为2 的正方形 中，点E 为 的中点，F 为 上一点，使得 ，点G 在 的 延长线上，连结 交 于点，且 ． ①请证明四边形 为直分四边形． ②求证： ． 2．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点 是 的中点，则 的长为（ ）． ．2 B． ． D．3