专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型（原卷版）

专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握 的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模 型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型， 这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 模型1：猪蹄模型（M 型） 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：M∥B，结论：∠PB= + ∠∠B；②已知：∠PB= + ∠∠B，结论：M∥B 如图2，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3= + ∠∠B+∠P2 如图3，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3++∠P2+1= + ∠∠B+∠P2++∠P2 例1．（2022·河南·统考二模）如图， ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物 线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线 ， 反射后沿着与 平行的方向射出，已知图中 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示 ，应为 （ ） ． B． ． D． 例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们 青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑 雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直 略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角 时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ） ． B． ． D． 例5．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，若 ，则 为（ ） ．23° B．33° ．44° D．46° 例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的 断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口 问题”．（1）如图（2）所示，已知 ，请问 ， ， 有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知 ，请问 ， ， 又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知 ，请问 与 有何关系并说明理由． 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：M∥B 如图2，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+…+∠=（－1）180° 例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知 ，那么 （ ） ．180° B．270° ．360° D．540° 例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平 行若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1 是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2 所示的数学图形．已知 垂直地面上的直线 于点 ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的 段将 绕点 缓慢向上抬高， 段则一直保持水平状态上升（即 始终平行于 ）．在该运动过程中，当 时， 的度数是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果B D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 例5．（2022 春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知 ，则 ，则 等于 （用含 的式子表示）． 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若 ，则∠1+ 3- 2 ∠ ∠的度数为 例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知B∥D，P 为直线B，D 外一点，BF 平分∠BP，DE 平分∠DP， BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝，试用表示∠P 为______． 例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内 的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数： (2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由： (3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值． 例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线B∥D，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠ED 的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME 与∠E 的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明 你的结论；（3）如图3，∠BM= ∠MBE，∠D= ∠DE，直线MB、D 交于点F，则 = ． 模型4：羊角模型 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023 春·上海·七年级专题练习）如图所示，B∥D，∠E＝37°，∠＝ 20°，则∠EB 的度数为 ． 例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知B∥D，∠=50°，∠=∠E．则∠等于（ ） ．20° B．25° ．30° D．40° 例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）已知B//D ，求证：∠B＝∠E＋∠D 例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为 （ ） ． B． ． D． 例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图， ， ， ， ，点 是 上一点． （1） 的度数为 ；（2）若 ．则 与 （填“平行”或“不平 行”）． 模型5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，B∥D，结论：∠1+∠3－∠2=180° 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、、D 三点，拐弯后与原来方向相同， 如图，若 ，则 等于（ ） ．50° B．40° ．30° D．20° 例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是 （） ．115° B．130° ．140° D．150° 例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图， ， ， ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， ， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图 于点D，将 绕点 逆时针旋转 ，使 ，则 的最小值为 ． 课后专项训练 1．（2023·山东临沂·统考二模）如图， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）如图，已知： ， ，求证： ．在证明该结 论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ） ．延长 交 的延长线于点 B．连接 ．分别作 ， 的平分线 ， D．过点 作 （点 在点 左侧），过点 作 （点 在点 左侧） 3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若 ， ，则 的度数为（ ）． ． B． ． D． 4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 （ ）． ． B． ． D． 5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若 ， ，那么 （ ） ． B． ． D． 6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，B∥D，BF,DF 分别平分∠BE 和∠DE，BF∥DE，∠F 与∠BE 互补， 则∠F 的度数为 ．30° B．35° ．36° D．45° 7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中 ， ， ，则 的度数为（ ） ．56 B．66 ．98 D．104 8．（2023 春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，B D，∠BE＝ ∠EBF，∠DE＝ ∠EF，设∠BE＝α， ∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ 的数量关系是（ ） ．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° ．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β 2 ﹣α﹣γ＝360° 9．（2022·江苏七年级期末）如图，B∥D，则∠1+∠3－∠2 的度数等于 __________． 10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示， ， ， ，则 度． 11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线 ，射线 、 分别平分 ， ，两射 线反向延长线交于点 ，请写出 ， 之间的数量关系：________． 12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图， ，E 是 上的点，过点E 作 ，若 ， 平分 ， ， ，则 _______． 13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知 ， ，求 的度 数． 14．（2023 春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题： 如图， ，当 与 满足什么关系时， ? 小明认为 时 ，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的 作图与填空： 解：用直尺和圆规，在 的右侧找一点M，使 （只保留作图痕迹）． ∵ ， ①_____________ ∴ ∵ ∴ ②_________ ， ∵ ， ∴ ③__________ ， ④_____________ ∴ ∴ ． 所以满足的关系为：当 时， ． 15．（2023 春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1） ，猜想 与 的关 系，说出理由． （2）观察图（2），已知 ，猜想图中的 与 的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知 ，猜想图中的 与 的关系，不需要说明理由． 16．（2023 秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ． （2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________． （3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、 y、z 表示）． 17．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图， ，点E 为两直线之间的一点． (1)如图1，若 ， ，则 ； 如图1，若 ， ，则 ； (2)如图2，试说明， ；(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交 于点F，判断 与 的数量关系，并说明理由． 18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线∥b，直线EF 分别与直线，b 相交于点E，F，点，B 分别在 直线，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PE＝∠1，∠PB＝ ∠2，∠PBF＝∠3． （1）如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P 作PM∥） （2）当点P 在线段EF 外运动时有两种情况，①如图2 写出∠1，∠2，∠3 之间的关系并给出证明． ②如图3 所示，猜想∠1，∠2，∠3 之间的关系（不要求证明）． 19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， B D． （1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题：（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出两束光线B、经灯碗反射后 平行射出．如果∠B=57°，∠D=44°，那么∠B=_______°． 20．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点、、B 不在同一条直线， (1)求证： ： (2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P， ，直接写出 ． 21．（2023 春·广东·七年级专题练习）（1）如图1， ， ， ，直接写出 的度数．（2）如图2， ，点 为直线 间的一点， 平分 ， 平分 ，写出 与 之间的关系并说明理由．（3）如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数． 22．（2023 春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知 ，B 和D 都不经过 点P，探索 与 、 的数量关系． 发现：在图1 中， ；如图5 小明是这样证明的：过点Р 作 ∴ ___________ ∵ ， ． ∴ __________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2 中， 与 、 的数量关系为_____________________； ②在图3 中，若 ， ，则 的度数为_________________； （3）拓展： 在图4 中，探究 与 、 的数量关系，并说明理由． 23．（2023 春·山东·七年级专题练习）如图1，直线B D，点P 在两平行线之间，点E 在B 上，点F 在D 上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由） （2）如图2，若点P，Q 在直线B 与D 之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理 由，请直接写出答） （3）如图3，在图1 的基础上，作P1E 平分∠PEB，P1F 平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y 的式子表示）．若P2E 平分∠P1EB，P2F 平分∠P1FD，可得∠P2；P3E 平分∠P2EB，P3F 平分 ∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠P＝ ．（用含x，y 的式子表示）