模型14 全等三角形——平行线中点模型-解析版

全等三角形 模型（14）——平行线中点模型 ◎结论：如图，B∥D，点E、F 分别在直线B、D 上，点为EF 中点， P 为B 上一 点，则△PE △QF ≌ 【证明】延长P 交D 于Q, B∥D ∵ ∠PE ∴ ＝∠QF,∠EP＝∠FQ 在△PE 和△QF 中， ∠PE＝∠QF E＝F ∠EP＝∠FQ △PE ∴ ≌△QF 1．（2021·全国·八年级专题练习）在 中， ， 于点 ，点 为 的中点，若 ，则 的度数是（ ） 有中点，有平行，轻轻延长就能行 ． B． ． D． 【答】D 【分析】连结E，并延长E，交B 的延长线于点，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△E △ ≌FE，所以E＝E， ＝F，再由已知条件D⊥B 于D，∠DE＝50°，即可求出∠B 的度数． 【详解】解：连结E，并延长E，交B 的延长线于点， ∵四边形BF 是平行四边形， ∴B∥F，B＝F， ∠ ∴ E＝∠F， ∵点E 是的F 中点， ∴E＝FE， 在△E 和△FE 中， ， △ ∴E △ ≌FE（S）， ∴E＝E，＝F， ∵B＝F， ∴＝B，即B＝2B， ∵B＝2B， ∴B＝B，∠＝∠B， ∵D⊥B 于D，即∠D＝90°且E＝E， ∴DE＝ ＝E， ∠ ∴ ＝∠DE＝50°＝∠B， ∠ ∴ B＝80°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等 三角形，在利用等腰三角形的性质解答． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， 为 上一点， 为 的 中点，则下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到 ，且 为 的中点，所以 ,由此可判 断 选项；再结合平行线的性质可以得到 ，由此可判断 选项；同时延长 和 交于点 ， 可以证得 ，所以 ,由此可以判断 选 项；由于 ，所以 ，由此可以判断 选项； 【详解】 四边形 是平行四边形 由于条件不足，所以无法证明 ,故 选项错误； 故 选项错误； 同时延长 和 交于点 在 和 中： 由于条件不足，并不能证明 ，故 选项错误； 为 的中点 故 选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关 键 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点、 B、分别在直线l1、l2、线段PQ 上，点是斜边B 的中点，若PQ 等于 ，则Q 的长等于 _____． 【答】 【分析】由“S”可证△P≌△BQ，可得P＝Q，P＝BQ，由“S”可证△P≌△B，可得P＝B，P＝，由等腰直角三角形的 性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接P，并延长交l2于点， ∵l1⊥l3，l2⊥l3， ∴l1∥l3，∠P＝∠BQ＝∠B＝90°， ∴∠P+∠P＝90°＝∠P+∠BQ， ∴∠P＝∠BQ， 在△P 和△BQ 中， ， ∴△P≌△BQ（S）， ∴P＝Q，P＝BQ， ∴P+Q＝P+BQ＝PQ＝ ， ∵P∥BQ， ∴∠P＝∠B， ∵点是斜边B 的中点， ∴＝B， 在△P 和△B 中， ， ∴△P≌△B（S）， ∴P＝B，P＝， ∴B+BQ＝P+BQ＝PQ， ∴PQ＝Q＝ ， ∵∠PQ＝90°， ∴P＝ PQ＝12， ∵P＝，∠PQ＝90°， ∴Q＝ P＝6． 故答为：6 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判 定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键． 2．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1， ，由 ， ，可得 ；又 因为 ，可得 ，进而得到 ______．我们把这个模型称为“一线三等角”模 型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在 中， ， ，点P 是B 边上的一个动点（不与B、重合），点D 是边上的一个动点，且 ． ①求证： ； ②当点P 为B 中点时，求D 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长． 【答】感知：（1） ；应用：（2）①见解析；②36；拓展：（3）2 或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠，根据三角形的外角性质得到∠BP=∠PD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分P=PD、P=D、D=DP 三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△B∽△DE， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； 应用：（2）①∵∠P=∠B+∠BP，∠P=∠PD+∠PD，∠PD=∠B， ∴∠BP=∠PD， ∵B=， ∴∠B=∠， ∴△BP∽△PD； ②B=12，点P 为B 中点， ∴BP=P=6， ·∵△BP∽△PD， ∴ ，即 ， 解得：D=36； 拓展：（3）当P=PD 时，△BP≌△PD， ∴P=B=10， ∴BP=B-P=12-10=2； 当P=D 时，∠DP=∠PD， ∵∠PD=∠B=∠， ∴∠DP=∠，不合题意， ∴P≠D； 当D=DP 时，∠DP=∠PD=∠B， = ∵∠∠， ∴△B∽△P， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ， 综上所述，当 为等腰三角形时， BP 的长为2 或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角 性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（2020·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠＝90°，点E 是D 的中点，E 平分∠DB，∠DE＝28°，求∠BE 的大 小． 【答】28° 【分析】过点E 作EF B ⊥ 于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得 DE=E，然后求出E=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE 平分∠B，即可求得 ∠BE 的度数． 【详解】如图，过点E 作EF B ⊥ 于F， D= =90° ∵∠ ∠ ，E 平分∠DB， DE=EF ∴ ， E ∵ 是D 的中点， DE=E ∴ ， E=EF ∴ ， 又∵∠=90°， ∴点E 在∠B 的平分线上， BE ∴ 平分∠B， 又∵D B ∥， B+ BD=180° ∴∠ ∠ ， EB=90° ∴∠ ， BE=90°- ED=62° ∴∠ ∠ ， Rt BE ∴ △ 中，∠BE=28°， BE=28° ∴∠ ． 【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在 角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 1．（2022·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形． （1）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，矩形 的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在 图1 和图2 的边 上找出不同的点E，使得四边形 是一个直分四边形． （2）如图3，在直分四边形 中， 和 互补，且 ，请求出 的长度． （3）如图4，在边长为2 的正方形 中，点E 为 的中点，F 为 上一点，使得 ，点G 在 的 延长线上，连结 交 于点，且 ． ①请证明四边形 为直分四边形． ②求证： ． 【答】（1）图见解析；（2）2 或 或 ；（3）①证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）根据直分四边形定义可知，使得四边形 是一个直分四边形则可能BE 平分 或平分 ,由此构造图形即可解答； （2）由直分四边形定义可知符合条件的直分四边形 中， ，再分平分 、DB 平分 、DB 平分 三种情况求解即可； （3）①根据相似三角形性质求出 ，进而证明 ， ，从而可得B 平分 ，即可解 得；②在B 上取一点M 使BM=BF，利用角平分线构造 再证明 ，由全等三角形性质 即可得出结论． 【详解】解：（1）当BE 平分 时， ，如图1，此时点E 为所求，四边形 是一个直 分四边形， 当平分 时, ，故E=E，点E 在垂直平分线上，如图2，此时点E 为所求，四边形 是一个直分四边形； （2）∵ ， ， ∴ ， 又∵在直分四边形 中有一个内角是直角， ∴ ， ．当平分 时，如解图2-1， ∵ ， ， ， ∴ （S）， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ； ．当BD 平分 时，如解图2-2，过B 点作 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．当BD 平分 时，如解图2-3，过D 点作 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：BD 长为2 或 或 ； （3）①在正方形 中， ， ， ∵点E 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 为直分四边形． ②由①得： ， ， 在B 上取一点M 使BM=BF， 由①得 ， 又∵B=B， ∴ （SS）， ∴F=M， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ （SS）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及格作图、正方形性质、勾股定理与解三角形、三角形全等的性质及判 定等知识点；解题关键是掌握阅读材料中直分四边形定义，利用角平分线构造全等进行解题． 2．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点 是 的中点，则 的长为（ ）． ．2 B． ． D．3 【答】 【分析】延长BE 交D 延长线于P，可证△EB △ ≌EP，求出DP，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长． 【详解】解：延长BE 交D 延长线于P， ∵B∥D， ∠ ∴ EB＝∠EP， 在△EB 和△EP 中， △ ∴EB △ ≌EP（S） ∴BE＝PE，P＝B＝5 又∵D＝3， ∴PD=2， ∵ ∴ ∴BE＝ BP＝ ． 故选：． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求 出BP．