模型41 单中点、双中点模型（原卷版）(1)

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ．5 D． 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝12，＝20，求B 边上中线D 的范围为 ． 例题精讲 考点二：双中点中位线模型 【例2】．如图，在△B 中，D 是B 上一点，D＝，E⊥D，垂足为点E，F 是B 的中点，若 BD＝16，则EF 的长为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2 ，B＝3，D、E 分别是B、的中点， 延长B 至点F，使F＝ B，连接DF、EF，则EF 的长为 ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，BE、F 分别为边、B 上的高，D 为B 的中点，DM⊥EF 于 M．求证：FM＝EM． 考点三：单中点三线合一模型 【例3】．如图，在△B 中，∠B＝2∠，D⊥B，交B 于D，M 为B 的中点，B＝10，求DM 的长． 变式训练 【变式3-1】．在△B 中，B＝＝5，B＝6，M 是B 的中点，M⊥于点，则M＝（ ） ． B． ．6 D．11 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，D 为边的中点，过点D 作 DE⊥DF，交B 于点E，交B 于点F，连接EF，若E＝4，F＝3，求EF 的长． 【变式3-3】．已知：如图，△B 中，B＝，D⊥B 于点D．求证：∠B＝2∠DB． 1．如图，在平行四边形BD 中，D＝2D，BE⊥D 于点E，F 为D 中点，连接EF、BF，下 列结论：①∠B＝2∠BF；②EF＝BF；③S 四边形DEB＝2S△EFB；④∠FE＝3∠DEF，其中 正确的有（ ） ．①② B．②③ ．①②③④ D．①②④ 2．如图，已知E，F 分别为正方形BD 的边B，B 的中点，F 与DE 交于点M，为BD 的中 点，则下列结论： ①∠ME＝90°；②∠BF＝∠EDB；③∠BM＝90°；④MD＝2M＝4EM；⑤M＝ MF． 其中正确结论的是（ ） ．①③④ B．②④⑤ ．①③④⑤ D．①③⑤ 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝6，B 的垂直平分线交B 于D，交于E，若D＝5，则 E＝ ． 4．如图在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，＝4，点D 是B 的中点，过点D 作DE 垂直B 交B 的 延长线于点E，则E 的长是 ． 5．如图．B 是半圆的直径．点、D 在 上．且D 平分∠B．已知B＝10，＝6，则D＝ ． 6．如图，四边形BD 中，B＝8，D＝6，∠DB＝∠B＝90°，以D，为边作平行四边形DE， 连接BE，则BE 的长为 ． 7．如图，正方形BD 的边长为6，点E 是B 的中点，连接E 与对角线BD 交于点G，连接G 并延长，交B 于点F，连接DE 交F 于点，连接．以下结论：①F⊥DE；②G＝ ； ③D＝；④ ＝ ，其中正确结论的序号是 ． 8．如图，BE 是△B 的中线，点F 在BE 上，延长F 交B 于点D．若BF＝3EF，求 的值． 9．如图，已知在△B 中，D 是B 边上的中线，E 是D 上一点，连接BE 并延长交于点F，F ＝EF，求证：＝BE． 10．已知线段B＝8（点在点B 的左侧）． （1）若在直线B 上取一点，使得＝3B，点D 是B 的中点，求D 的长； （2）若M 是线段B 的中点，点P 是线段B 延长线上任意一点，点是线段BP 的中点， 求 的值． 11．如图所示，在△B 中，D 是边B 上的高线，E 是边B 上的中线，DG⊥E 于点G，D＝E （1）证明：G＝EG； （2）若D＝6，BD＝8，求E 的长． 12 ．如图1 ，直线B 上有一点P ，点M 、分别为线段P 、PB 的中点，B ＝14 ． （1）若点P 在线段B 上，且P＝8，求线段M 的长度； （2）若点P 在直线B 上运动，试说明线段M 的长度与点P 在直线B 上的位置无关； （3）如图2，若点为线段B 的中点，点P 在线段B 的延长线上，下列结论：① 的值不变；② 的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 13．如图，菱形BD 的对角线，BD 相交于点，E 是D 的中点，点F，G 在B 上，EF⊥B， G∥EF． （1）求证：四边形EFG 是矩形； （2）若D＝10，EF＝4，求E 和B 的长． 14．在菱形BD 和等边△BGF 中，∠B＝60°，P 是DF 的中点． （1）如图1，点G 在B 边上时， ①判断△BDF 的形状，并证明； ②请连接PB，若B＝10，BG＝4，求PB 的长； （2）如图2，当点F 在B 的延长线上时，连接PG、P．试判断P、PG 有怎样的关系， 并给予证明． 15．已知Rt△B 中，＝B，∠＝90°，D 为B 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它 的两边分别交、B（或它们的延长线）于E、F． （1）如图1，当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥于E 时，易证S△DEF+S△EF 与S△B 的数量关系 为 S △DEF+ S △EF＝ S△B ； （2）如图2，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请 给予证明； （3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△EF、S△B的数量关系，不需证明． 16．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△B 中，若B＝12，＝8，求B 边 上的中线D 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长D 到E，使DE＝D，连接 BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△D≌△EDB，依据是 ． ．SSS B．SS ．S D．L （2）由“三角形的三边关系”可求得D 的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 如图2，D 是△B 的中线，BE 交于E，交D 于F，且E＝EF．若EF＝3，E＝2，求线段 BF 的长． 【灵活运用】 如图3，在△B 中，∠＝90°，D 为B 中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连 接EF，试猜想线段BE、F、EF 三者之间的等量关系，并证明你的结论． 17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在 △B 中，D 为B 边上的中线，延长D 与的平行线BE 交于点E．如果D＝5，那么E 长为 多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出E 的长． 解：∵D 是B 边上的中线， ∴BD＝D， 又∵∥BE， ∴∠D＝∠E． 在△D 和△EDB 中 ， ∴△D≌△EDB（S）． ∴D＝DE． 又∵D＝5， ∴E＝ ． （2）【猜想证明】如图②，在四边形BD 中，B∥D，点E 是B 的中点，若E 是∠BD 的 平分线，试猜想线段B，D，D 之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，B∥D，生物小组把它改造 成了花圃，内部正好有两条小路B，E，经过测量发现B＝B＝50 米，D＝16 米，△BE 和 △E 正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BD 内种了向日葵．现在准备在地下 建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BE＝30°，但由于不便于测量DF 的长，请你用所学几 何知识求出DF 的长，并说明理由．