模型24 辅助圆系列最值模型（原卷版）

【点睛1】触发隐圆模型的条件 （1）动点定长模型 若P 为动点，但B==P 原理：圆中，B==P 则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段B 所对动角∠P 为定值 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则点P 运动轨迹为过、B、三点的圆 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 模型介绍 若动角∠+动角∠=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则、B、、D 四点共圆 备注：点与点在线段B 异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段B 所对同侧动角∠P= ∠ 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则、B、、P 四点共圆 备注：点P 与点需在线段B 同侧 【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段B 绕点旋转一周，点M 是线段B 上的一动点，点是定点 （1）求M 最小值与最大值 （2）求线段B 扫过的面积 （3）求 最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作M B ⊥，B、、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论： ①M1最小，M3最大 ②线段B 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③ 最小值以B 为底，M1为高；最大值以B 为底，M2为高 考点一：定点定长构造隐圆 【例1】．如图，已知B＝＝D，∠BD＝2∠BD，∠B＝44°，则∠D 的度数为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图所示，四边形BD 中，D∥B，B＝1，B＝＝D＝2．则BD 的长为（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】．如图，点，B 的坐标分别为（4，0），B（0，4），为坐标平面内一点，B ＝2，点M 为线段的中点，连接M，M 的最大值为 ． 考点二：定弦定角构造隐圆 【例2】．如图，在△B 中，B＝2，点为动点，在点运动的过程中始终有∠B＝45°，则△B 面 积的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．如图，P 是矩形BD 内一点，B＝4，D＝2，P⊥BP，则当线段DP 最短时， P＝ ． 【变式2-2】．如图，边长为4 的正方形BD 外有一点E，∠EB＝90°，F 为DE 的中点，连 接F，则F 的最大值为 ． 考点三：对角互补构造隐圆 【例3】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作EF⊥BE， 垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝__________ 变式训练 【变式3-1】．如图，在四边形BD 中，∠BD＝∠BD＝90°，∠D＝30°，D＝2，E 是的中点， 连接DE，则线段DE 长度的最小值为 ． 【变式3-2】．如图，正方形BD 的边长为2，点E 是B 边上的一动点，点F 是D 上一点， 且E＝DF，F、DE 相交于点，B＝B，则的值为 ． 1．如图，在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点为圆心， 以B 长为半径画弧交x 轴上点，则点的坐标为（ ） 实战演练 ．（5，0） B．（2，0） ．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0） 2．如图，在矩形BD 中，已知B＝3，B＝4，点P 是B 边上一动点（点P 不与B，重合）， 连接P，作点B 关于直线P 的对称点M，则线段M 的最小值为（ ） ．2 B． ．3 D． 3．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝6，点P 在矩形的内部，连接P，PB，P，若∠PB＝ ∠PB，则P 的最小值是（ ） ．6 B． ﹣3 ．2 4 ﹣ D．4 4 ﹣ 4．如图所示，∠M＝45°，Rt△B，∠B＝90°，B＝6，＝8，当、B 分别在射线M、上滑动时， 的最大值为（ ） ．12 B．14 ．16 D．14 5．如图，已知B＝＝D，∠BD＝2∠BD，∠B＝44°，则∠D 的度数为 ． 6．如图示，，B 两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点在y 轴上，且∠B＝45°，则 点的坐标为 ． 7．如图，Rt△B 中，B⊥B，B＝6，B＝4，P 是△B 内部的一个动点，且满足∠PB+∠PB＝ 90°，则线段P 长的最小值为 ． 8．在△B 中，B＝4，∠＝45°，则 +B 的最大值为 ． 9．如图，等边△B 中，B＝6，点D、点E 分别在B 和上，且BD＝E，连接D、BE 交于点 F，则F 的最小值为 ． 10．如图，正方形BD 中，B＝2，动点E 从点出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向 点运动，点E、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 F、BE 相交于点P，则线段DP 的最小值为 ． 11．如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝∠D＝45°，△DB 的面积为8，则B 长为 ． 12．已知：在△B 中，B＝＝6，∠B＝30°，E 为B 上一点，BE＝2E，DE＝D，∠D＝60°，则 D 的长 ． 13．如图，在正方形BD 中，D＝6，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED， 连接DF 交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM．连接DM．交EF 于点．若F＝ 2．则△EM 的面积是 ． 14．如图，在正方形BD 中，D＝8，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED， 交B 于点F，连接DF，交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点，若点F 是B 的中点，则FM＝ ， ＝ ． 15．如图，在矩形BD 中，B＝6，D＝8，点E，F 分别是边D，B 上的动点，且∠FE＝90° （1）证明：△BF∽△FE； （2）当DE 取何值时，∠ED 最大． 16．如图，将两张等腰直角三角形纸片B 和D 放置在平面直角坐标系中，点（0，0）， （0，4）．将Rt△D 绕点顺时针旋转，连接，BD，直线与BD 相交于点P． （1）求证：P⊥BP； （2）若点Q 为的中点，求PQ 的最小值． 17．（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△B 中，B＝，∠B＝90°，D 是△B 外一点，且D＝，求∠BD 的度数．若 以点为圆心，B 为半径作辅助⊙，则点、D 必在⊙上，∠B 是⊙的圆心角，而∠BD 是圆周 角，从而可容易得到∠BD＝ °． （2）【问题解决】 如图2，在四边形BD 中，∠BD＝∠BD＝90°，∠BD＝25°，求∠B 的度数． （3）【问题拓展】 如图3，如图，E，F 是正方形BD 的边D 上两个动点，满足E＝DF．连接F 交BD 于点 G，连接BE 交G 于点．若正方形的边长为2，则线段D 长度的最小值是 ． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+6（≠0）的图象与x 轴交于点（﹣2，0）和点B（6， 0），与y 轴交于点，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）如图①，连接B，点P 是线段B 上方抛物线上一动点，若△PB 的面积为12，求点 P 的坐标； （3）如图②，已知⊙B 的半径为2，点Q 是⊙B 上一个动点，连接Q，DQ，求DQ+ Q 的最小值． 19．模型分析 如图在△B 中，D⊥B 于点D，其中∠B 为定角，D 为定值，我们称该模型为定角定高模型． 问题：随着点的运动，探究B 的最小值（△B 面积的最小值）． （1）当∠B＝90°时（如图①）： 第一步：作△B 的外接圈⊙； 第二步：连接； 第三步：由图知≥D，当＝D 时，B 取得最小值． （2）当∠B＜90°时（如图②）： 第一步：作△B 的外接圆⊙；第二步：连接，B，，过点作E⊥B 于点E： 第三步：由图知+E≥D，当+E＝D 时，B 取得最小值． 那么∠B＞90°呢？ 结论： 当D 过△B 的外接圆圆心（即B＝）时，B 取得最小值，此时△B 的面积最小 当∠B＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整． 求证：当D 过△B 的外接圆圆心（即B＝）时，B 取得最小值，此时△B 的面积最小． 证明：如解图，作△B 的外接圆⊙，连接，B，，过点作E⊥B 于点E， 设⊙的半径为r，∠BE＝∠B＝α，D＝， ∴B＝2BE＝2B•sα＝2r•sα， s ∵α 为定值，∴要使B 最小，只需… 自主探究：我们知道了当D 过△B 的外接圆圆心（即B＝）时，△B 的面积取得最小值， 那么要使△B 的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？ 20．如图，抛物线y＝x2+ x+与x 轴交于，B 两点（点B 在点左侧），与y 轴交于点，直线 y＝kx+b 经过点，，且＝2＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）点E 为上方抛物线上一动点，过点E 作EF∥y 轴交于点F，求线段EF 的最大值； （3）在（2）的结论下，若点G 是x 轴上一点，当∠GF 的度数最大时，求点G 的坐标．