2025年六升七数学衔接期分式方程增根问题解析试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期分式方程增根问题解析试卷及答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列方程中，属于分式方程的是（） A. \(2x + 3 = 7\) B. \(\frac{x}{2} = 4\) C. \(\frac{3}{x-1} = 2\) D. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 2. 方程\(\frac{2}{x-3} = 1\) 的解为（） A. \(x = 5\) B. \(x = 1\) C. \(x = 3\) D. \(x = -3\) 3. 解分式方程\(\frac{x}{x-2} = \frac{4}{x-2}\) 时，可能产生 增根的原因是（） A. 去分母时漏乘常数项 B. 分母\(x-2 = 0\) C. 未合并同类项 D. 移项错误 4. 方程\(\frac{3x}{x-1} = 6\) 的最简公分母是（） A. \(x\) B. \(x-1\) C. \(3x(x-1)\) D. \(x(x-1)\) 5. 若分式方程\(\frac{a}{x-3} = 2\) 有增根\(x=3\) ，则\(a\) 的 值为（） A. \(0\) B. \(2\) C. \(6\) D. 任意实数 6. 解方程\(\frac{2}{x} + \frac{1}{x-1} = 0\) 的正确第一步是 （） A. 直接移项 B. 两边乘以\(x(x-1)\) C. 通分合并 D. 代入特殊值 7. 方程\(\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-2}{x+1}\) 的解的情况是（ ） A. 唯一解\(x=0.5\) B. 无解 C. 解为全体实数 D. 有增根\(x=2\) 8. 若\(x = k\) 是方程\(\frac{1}{x-4} + 2 = \frac{5}{x-4}\) 的 增根，则\(k =\) （） A. \(4\) B. \(5\) C. \(0\) D. \(-4\) 9. 解方程\(\frac{3}{x-1} - \frac{2}{x} = 1\) 时，去分母后的整 式方程是（） A. \(3x - 2(x-1) = x(x-1)\) B. \(3x - 2(x-1) = 1\) C. \(3x \cdot x - 2(x-1) \cdot x = x(x-1)\) D. \(3x - 2(x-1) = x(x-1)\) 10. 关于增根，下列说法正确的是（） A. 增根是计算错误导致的 B. 增根一定满足原方程 C. 增根是去分母后整式方程的解 D. 增根不影响最终答案 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 11. 下列方程中，可能产生增根的有（） A. \(\frac{x}{x-1} = 2\) B. \(\frac{3}{x} = x-2\) C. \(\frac{2x+1}{x^2-4} = \frac{1}{x-2}\) D. \(\frac{5}{x+3} = \frac{x}{x+3}\) 12. 对于方程\(\frac{x}{x-2} = \frac{m}{x-2} + 1\)，以下结论 正确的是（） A. 当\(m \neq 0\) 时，方程无解 B. \(x=2\) 一定是增根 C. 解为\(x = m + 2\) D. 当\(m = -2\) 时，解为\(x=0\) 13. 解分式方程\(\frac{1}{x-3} + \frac{2}{x} = \frac{3} {x(x-3)}\) 时，操作正确的是（） A. 最简公分母为\(x(x-3)\) B. 去分母得\(x + 2(x-3) = 3\) C. 解得\(x = 3\) D. 需检验\(x=0\) 和\(x=3\) 14. 若\(x=1\) 是方程\(\frac{k}{x-1} = \frac{3}{x+1}\) 的增 根，则（） A. \(k\) 可为任意实数 B. 原方程无解 C. 去分母后整式方程的解为\(x=1\) D. \(k = \frac{3}{2}\) 15. 下列哪些值可能是方程\(\frac{2}{x-4} = \frac{x}{x-4}\) 的 增根（） A. \(x=0\) B. \(x=4\) C. \(x=2\) D. \(x=-4\) 16. 关于检验增根的必要性，正确的是（） A. 所有分式方程都必须检验 B. 只有去分母后才需检验 C. 增根会使分母为零 D. 检验可避免错误解 17. 方程\(\frac{x^2 - 4}{x-2} = 3\) 的解法中，正确的是（） A. 因式分解得\(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = 3\) B. 化简为\(x+2=3\) （\(x \neq 2\)） C. 解得\(x=1\) D. \(x=2\) 是增根 18. 若分式方程\(\frac{a}{x-5} = \frac{b}{x-5} + c\) 无解，则 可能（） A. \(a = b\) 且\(c \neq 0\) B. \(c = 0\) 且\(a \neq b\) C. \(x=5\) 是增根且无其他解 D. \(a = b = c = 0\) 19. 解方程\(\frac{3}{x-1} = \frac{2}{x+1}\) 的步骤包括（） A. 最简公分母\((x-1)(x+1)\) B. 去分母得\(3(x+1) = 2(x-1)\) C. 解得\(x = -5\) D. 经检验\(x=-5\) 是解 20. 以下对方程\(\frac{x-3}{x-3} = 1\) 的描述，正确的是（） A. 解为全体实数 B. \(x=3\) 是增根 C. 无解 D. 是恒等式（\(x \neq 3\)） 三、判断题（共10 题，每题2 分） 21. 分式方程的分母中必须含有未知数。（） 22. 增根是原方程的解，但不满足化简后的方程。（） 23. 方程\(\frac{x}{x-2} = 0\) 的解是\(x=0\) 。（） 24. 解分式方程\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = 2\) 时，可直接 移项求解。（） 25. 若分式方程无解，则它一定有增根。（） 26. \(x=2\) 是方程\(\frac{3}{x-2} = \frac{x}{x-2}\) 的增根。 （） 27. 方程\(\frac{x^2 - 1}{x-1} = x+1\) 的解是\(x=1\) 。（） 28. 检验增根只需代入化简后的整式方程。（） 29. 方程\(\frac{2x}{x-3} = 4\) 与整式方程\(2x = 4(x-3)\) 同 解。（） 30. 增根的产生仅与去分母操作有关。（） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 31. 解方程\(\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{x+1} {x(x-2)}\) 并检验增根。 32. 已知方程\(\frac{x}{x-3} + \frac{m}{x+3} = \frac{9} {x^2-9}\) 有增根\(x=3\) ，求\(m\) 的值。 33. 当\(k\) 为何值时，方程\(\frac{x}{x-1} - \frac{k}{x} = \frac{1}{x(x-1)}\) 会产生增根？并求出此时的增根。 34. 某工程队计划用若干天完成一项工程。若每天多施工\(\frac{1} {3}\)，可提前2 天完成；若每天少施工\(\frac{1}{4}\)，则延期3 天。设原计划每天施工量为\(x\) ，原计划天数\(y\)： (1) 列出关于\(x, y\) 的分式方程组； (2) 解方程组并说明解的实际意义。 答案 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.ABCD 12.BCD 13.ABD 14.BC 15.B 16.ABCD 17.ABC 18.AC 19.ABCD 20.D 21.√ 22.× 23.√ 24.× 25.× 26.√ 27.× 28.× 29.× 30.× 31. 解：去分母\(3x - (x-2) = x+1\) ，得\(2x + 2 = x + 1\) → \(x = -1\) 。检验：当\(x=-1\) 时，分母\(x(x-2) \neq 0\)，是解。 32. 解：去分母\(x(x+3) + m(x-3) = 9\) ，代入增根\(x=3\) ： \(3(6) + m(0) = 9\) → \(18=9\) （矛盾），故\(m\) 为任意实数时 均有增根\(x=3\)。 33. 解：去分母\(x^2 - k(x-1) = 1\) → \(x^2 - kx + k - 1 = 0\)。 增根为\(x=0\) 或\(x=1\)。 - 若\(x=0\) 是增根：代入得\(k-1=0\) → \(k=1\)； - 若\(x=1\) 是增根：代入得\(1 - k + k - 1 = 0\)（恒成立），此 时\(k\) 任意但需排除\(x=1\) 为解的情况。 34. (1) \(\begin{cases} \frac{xy}{\frac{4}{3}x} = y-2 \\ \frac{xy}{\frac{3}{4}x} = y+3 \end{cases}\) 化简为\ (\begin{cases} \frac{3}{4}y = y-2 \\ \frac{4}{3}y = y+3 \end{cases}\) (2) 解第一式：\(\frac{3}{4}y = y-2\) → \(y=8\)；第二式：\ (\frac{4}{3}y = y+3\) → \(y=9\)（矛盾），故无解，说明题目条 件冲突。