专题3.2 一元一次方程的解法【十大题型】（原卷版）

专题32 一元一次方程的解法【十大题型】 【人版】 【题型1 一元一次方程的整数解问题】................................................................................................................. 1 【题型2 换元法解一元一次方程】.........................................................................................................................2 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】..................................................................................2 【题型4 错解一元一次方程问题】.........................................................................................................................2 【题型5 解一元一次方程】.....................................................................................................................................3 【题型6 探究一元一次方程解的情况】................................................................................................................. 3 【题型7 同解问题】................................................................................................................................................. 4 【题型8 一元一次方程的解与参数无关】............................................................................................................. 4 【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】..............................................................................................5 【题型10 含绝对值的一元一次方程】....................................................................................................................5 【知识点1 一元一次方程的解法】 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是 解一元一次方程的 一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=形式转化． 【知识点2 一元一次方程的解】 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【题型1 一元一次方程的整数解问题】 【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程 (k−2019) x−2017=6−2019 (x+1)的解是整数，则整数k的取值个数是（ ） ．5 B．3 ．6 D．2 【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k 为何值时，方程9 x−3=kx+15有正整数解． 求出这些解． 【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x 的方程mx=3−x的解为整数，则正 整数m 的值为______． 【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设 为整数，且关于 的一元一次方程 （1）当 时，求方程的解； 1 （2）若该方程有整数解，求 的值 【题型2 换元法解一元一次方程】 【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程 x 2019 +5=2019 x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程 5−y 2019−5=2019(5−y)−m的解为（ ） ．2013 B．−2013 ．2023 D．−2023 【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x 的方程 1 2022x＋2021＝2x＋m 的解是x＝2023，则关于y 的方程 1 2022（y＋1）＋2021＝2 （y＋1）＋m 的解是y＝___． 【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若x=−4是关于x的方程ax−b=1 (a≠0)的 解，则关于x的方程a (2 x−3)−b−1=0 (a≠0)的解为______． 【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x 的一元一次方程ax+b=0的解 是x=−2，则关于y 的一元一次方程a ( y−1)+b=0的解是______． 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x 的方程4 x−2m=3 x−1的解是x=2 x−3m 的解的2 倍，则m 的值为（ ） ．1 2 B．1 4 ．−1 4 D．−1 2 【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程1 2 ( x+1)=1的解与关于x 的方程 1−k 2 =x+1的解互为倒数，则k 的值是_________． 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程3 x+6=0与关于y的方程 5 y+2m=18的解互为相反数，则m=¿____． 【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程2−3( x+1)=0的解 与关于x的方程k+x 2 −2=2 x的解互为倒数，求k的值． 【题型4 错解一元一次方程问题】 【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x 的方程x+2 3 = x+a 5 −2时，小颖在去分 母的过程中，右边的“−2”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为x=4，则方程正确的 解是（ ） 1 ．x=−10 B．x=16 ．x=20 3 D．x=4 【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程x+1 2 −2 x−3 6 =1 去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（ ） ．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项 ．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x 的方程2﹣ ＝3 2x ﹣ 时，误将﹣2x 看作+2x，得方程的解x＝1． （1）求的值； （2）求此方程正确的解． 【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a−x=13（x 为未 知数）时，误将−x看作+x，解得方程的解x=−2，则＝________，原方程的解为_______ _． 【题型5 解一元一次方程】 【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程 的解是x=( ) ． B．- ． D．- 【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程： (1)4−2( x+4)=2( x−1)； (2)1 3 ( x+7)=2 5−1 2 ( x−5)； (3)0.3 x−0.4 0.2 +2=0.5 x−0.2 0.3 ． 【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程： (1)3 (2−x )=4−x． (2) x+1 2 −1=3 x−2 3 ． (3)9−3 y=5 y+5． (4)3 x−1 4 −1=5 x−7 6 ． 【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程 的解是 ____ 1 【题型6 探究一元一次方程解的情况】 【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、是有理数，关于x 的方程3m（2x 1 ﹣）﹣＝3 （2﹣）x 有至少两个不同的解，则另一个关于x 的方程（m+）x+3＝4x+m 的解的情况是（ ） ．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 ．只有一个解 D．无解 【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x 方程x=b 在不同的条件下解的情 况如下：（1）当≠0 时，有唯一解x= ；（2）当=0，b=0 时有无数解；（3）当=0，b≠0 时 无解．请你根据以上知识作答：已知关于x 的方程 •= ﹣ （x 6 ﹣）无解，则的值是 （ ） ．1 B．﹣1 ．±1 D．≠1 【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于 的方程 ，分别求 为何 值时，原方程： （1）有唯一解 （2）有无数多解 （3）无解 【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x 的方程4+3x=2 7 ﹣有唯一解，关于y 的方程2+y=（b+1）y 无解，判断关于z 的方程z=b 的解的情况． 【题型7 同解问题】 【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x 的方程：2 (x−1)+1=x与 3 (x+m)=m−1有相同的解，求关于y 的方程3−my 3 =m−3 y 2 的解． 【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1 和 方程3x＝2(x－1)的解相同，则m 的值为__________． 【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x 的方程4 x−5=3 (x−1)的解与 x+a 2 =2 x+a 3 +1的解相同，则的值为______． 【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于x的方程 3 x−7=2 x+a的解与方程4 x+3=7的解相同，求a 2+2a+1的值． 【题型8 一元一次方程的解与参数无关】 【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程 2kx+a 3 =1−x−bk 6 ，无论k为何值，它的解总是x=1，则代数式2a+b=¿_________． 1 【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知，b 为定值，且无论k 为何值，关于x 的方 程 的解总是x＝2，则 _________． 【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若，b 为常数，无论k 为何值时，关于x 的一元 一次方程(b+1)x=12−4 ka，它的解总是1，则，b 的值分别是_______． 【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x 的方程2kx+m 3 =2+ x−nk 6 ，无论k 为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+＝_____． 【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】 【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x 的一元一次方程x+b＝0（其中≠0，、b 为常数），若这个方程的解恰好为x＝﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程 2x+4＝0 的解为x＝﹣2，恰好为x＝2 4 ﹣，则方程2x+4＝0 为“恰解方程”． (1)已知关于x 的一元一次方程3x+k＝0 是“恰解方程”，则k 的值为 ； (2)已知关于x 的一元一次方程﹣2x＝m+是“恰解方程”，且解为x＝（≠0）．求m，的值； (3)已知关于x 的一元一次方程3x＝m+是“恰解方程”．求代数式3（m+2m2﹣）﹣ （6m2+m）+5 的值． 【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的 解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2 x=6和3 x+9=0为“友好方 程”． (1)若关于x 的方程3 x+m=0与方程2 x−6=4是“友好方程”，求m 的值． (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的解． 【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x 的一元一次方程＋x＝b （≠0）的解为x=b a，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4 的解为x＝2 且2= 4 2 ， 则方程2＋x＝4 是“商解方程”．请回答下列问题： (1)判断3＋x＝5 是不是“商解方程”． (2)若关于x 的一元一次方程6＋x＝3（m 3 ﹣）是“商解方程”，求m 的值． 【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下m 2 −n 3=m−n 2−3 不成立，但有些数 可以使得它成立，例如：m＝＝0．我们称使得m 2 −n 3 =m−n 2−3 成立的一对数m，为“神奇 数对”，记为（m，）．若（8，）是“神奇数对”，且关于x 的方程3x 6 ﹣＝与2x 1 ﹣＝3k 的解相等，则k 的值为_____． 【题型10 含绝对值的一元一次方程】 【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4 或﹣4，若 1 |y|＝，则y＝±，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5 可化为：2x+4＝5 或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5 时，则有：2x＝1，所以x＝ 当2x+4＝﹣5 时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣ 故，方程|2x+4|＝5 的解为x＝ 或x＝﹣ (1)解方程：|3x 2| ﹣ ＝4； (2)已知|+b+4|＝16，求|+b|的值； (3)在（2）的条件下，若，b 都是整数，则•b 的最大值是 （直接写出结果）． 【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x 的方程：||x＋3|－k|＝2． 【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程， 然后回答下列问题 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当 时，原方程可化为 ，它的解是 ； ②当 时，原方程可化为 ，它的解是 原方程的解为 或 （1）依例题的解法，方程算 的解是_______； （2）尝试解绝对值方程： ； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程： 【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问 题． 解方程：|x-3|=2． 解：当x-3≥0 时，原方程可化为x-3=2，解得x=5； 当x-3＜0 时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1． 所以原方程的解是x=5 或x=1． （1）解方程：|3x-2|-4=0． （2）解关于x 的方程：|x-2|=b+1 1