专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型（原卷版）

专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-3 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。 P P A B O P P P A B P 【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半 径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x 轴 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ． 例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值 为 ． 例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿 运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的最小值为 ． 例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． 例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点，，的坐标分别为 ，以点为圆心、2 为 半径画 ，点P 在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M 为线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值为 ． 例7．（2023 上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一 点，且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ． 例8．（2023 下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出： （1）如图①，在 中， ， ， ，则 的长为__________； 问题探究：（2）如图②，已知矩形 ， ， ，点P 是矩形 内一点，且满足 ，连接 ，求线段 的最小值； 问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地 ，其中 ， ， ，点E 为 边上一点，且 ， ，为了美化环境，要求四边 形 的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值． 课后专项训练 1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角 ， 连 ，则 的最大值是（ ） ． B． ． D． 2．（2023 春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 面积的最 大值是（ ）． ． B． ． D． 3．（2022 秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是 上任意一点，点在 外，已知 是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ） ． B．4 ． D．6 4．（2023·山东济南·一模）正方形BD 中，B=4，点E、F 分别是D、B 边上的动点，且始终满足DE=F， DF、E 相交于点G 以G 为斜边在G 下方作等腰直角△G 使得∠G=90°，连接B．则B 的最小值为（ ） ． B． ． D． 5．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边 上一动点点 不与点 ， 重合，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小 值为 ． 6．（2023 春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G 是 内的一点，且 ， 是等 边三角形，若 ，则 的最大值为 ． 7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，P 为 的中点，连 接 ．在矩形 外部找一点E，使得 ，则线段 的最大值为 ． 8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形BD 中， ， ，点E 在B 上，且 ，点M 为 矩形内一动点，使得 ，连接M，则线段M 的最小值为______． 9．（2023 江苏扬州·三模）如图，在等边△B 和等边△DE 中，B＝6，D＝4，以B、D 为邻边作平行四边形 BFD，连接F．若将△DE 绕点旋转一周，则线段F 的最小值是______． 10．（2023 秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， ， ，点 为 所在平面内一点， ，以 、 为边作平行四边形 ， 则 的最小值为 ． 11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点 是正方形 的内部一个动点（含边界），且 ，点 在 上， ，则以下结论：① 的最小值为；② 的最小值为 ；③ ；④ 的最小值为 ；正确的是 ． 12．（2021·广东·中考真题）在 中， ．点D 为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为_____． 13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝4，E 为边B 上一动点，F 为E 中点，G 为 DE 上一点，BF＝FG，则G 的最小值为______． 14．（2023 秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形 中， ，点 是以 为直径的 圆上的点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最大值与 最小值的和 ． 15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形 中， ，Q 是矩形 左侧一点， 连接 、 ，且 ，连接 ，E 为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ． 16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角 中， ， ，点 是平面内一点， ，连接 ，将 绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 填度数度时， 可以取最大值，最大值等于 ． 17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图， 是腰长为4 的等腰直角三角形， ，以为圆 心，2 为半径作半圆，交 所在直线于点M，．点E 是半圆上仟意一点．连接 ，把 绕点B 顺时针旋 转90°到 的位置，连接 ， ． (1)求证： ；(2)当 与半圆相切时，求弧 的长；(3)直接写出 面积的最大值． 18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ， 点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．(1)如图，点 点 在线段 的延长线 上，若点 点 为点 的“对应点”．①在图中画出点 ；②连接 交线段 于点 求证： (2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为 外 一点，点 为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的最大值与最小值的差 （用含的式子表示） 19．（2023 下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P 是线段 上一动点（点 P 不与，重合），连接 ，过点作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点逆时针旋转 得到线 段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若 的边长为2； ①求 的最小值；②求 的最大值． 20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x 轴交 于点和点 ，与y 轴交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是抛物线上一点，满足 ，求点P 的坐标；(3)若点Q 在第四象限内，且 ，点M 在y 轴正半轴， ，线段 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．