专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型（解析版）

专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-3 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。 P P A B O P P P A B P 【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半 径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x 轴 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 【答】 【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点的坐标为 得到 ，再证 明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值， 即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 的一条直角边 在x 轴上，点的坐标为 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵点M 为 中点，点为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ； 在 中， ，∴ ， ∵将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点在以为圆心，半径为4 的圆上运动， ∴当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值， ∵ ，∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为3，故选． 另解：取B 的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定 ， 故点M 为以Q 为圆心，MQ 为半径的圆上运动，故M 的最小值为Q-MQ=3 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30 度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ． 【答】 / 【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由 ，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径 为1 的 上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 （定长）， 点 是定点， 是定长， 点 在半径为1 的 上， ， 的最大值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值 为 ． 【答】 【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆 心，为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任 一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共 线时， 的值最小，可求 ，从而可求解． 【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ， 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆， 如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小， 四边形 是正方形， ， ， 是 的中点， ， ， 由旋转得： ， ， ， 的值最小为 ．故答： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性 质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿 运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】根据折叠的性质得出 在 为圆心， 为半径的弧上运动，进而分类讨论当点 在 上时，当 点 在 上时，当 在 上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形 中， ， ∴ ， ， 如图所示，当点 在 上时，∵ ∴ 在 为圆心， 为半径的弧上运动， 当 三点共线时， 最短，此时 ， 当点 在 上时，如图所示，此时 当 在 上时，如图所示，此时 综上所述， 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的 关键． 例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ， 可知点F 在以 为直径的半圆上运动，当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求 解即可． 【详解】解：设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴点F 在以 为直径的半圆上运动， ∴当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值， ∵ ，∴ ，，∴ ， 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动 轨迹是解题的关键． 例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点，，的坐标分别为 ，以点为圆心、2 为 半径画 ，点P 在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M 为线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值为 ． 【答】3 【分析】本题考查了垂径定理， 的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与 中点，明确点 的运动轨迹是解题的关键． 如图，连接 ，由垂径定理可得， ，则 在以 为直径的 上运动，如图，连接 交 于 ，当 三点共线时，线段 的值最小，由勾股定理得， ，根据线段 的最小 值为 ，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵点M 为线段 的中点，∴由垂径定理可得， ， ∴ 在以 为直径的 上运动，如图，连接 交 于 ， ∴当 三点共线时，线段 的值最小，∴ 的半径为 ， 由勾股定理得， ， ∴线段 的最小值为 ，故答为：3． 例7．（2023 上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一 点，且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点为圆心， 为 半径作 ，点P 为矩形 内一点，且 ，所以点P 在 的劣弧 上运动，根据点 绕 点 逆时针旋转 到点 ，所以 ， ，则 ，所以当 最小 时， 最小，然后连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小，最后过点作 于E， 交 延长线于F，利用勾股定理求出 ， 的长，从而求得 ，即可求解． 【详解】解：在矩形 外，以边 为斜边作等腰直角三角形 ， ，再以点为圆心， 为半径作 ，如图， ∵点P 为矩形 内一点，且 ，∴点P 在 的劣弧 上运动， ∵点 绕点 逆时针旋转 到点 ，∴ ， ， ∴ ∴当 最小时， ，连接 ，交 于P，此时， 最小，则 也最小， 在 中，∵ ， ，∴ ，∴ ， 过点作 于E， 交 延长线于F，∴ ， ∵ ， ，∴ ∵矩形 ∴ ∴ ∴四边形 正方形， ∴ ，∴ ， 在 中，由勾股定理，得 ， ∴ ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出 取最小值的点P 位置是解题的关键． 例8．（2023 下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出： （1）如图①，在 中， ， ， ，则 的长为__________； 问题探究：（2）如图②，已知矩形 ， ， ，点P 是矩形 内一点，且满足 ，连接 ，求线段 的最小值； 问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地 ，其中 ， ， ，点E 为 边上一点，且 ， ，为了美化环境，要求四边 形 的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值． 【答】（1）4；（2） ；（3） 【分析】（1）作 于点，利用等腰三角形的性质可得 ， ，然后利用锐角三角 函数的知识可求得 的长；（2）由题意可知，点P 在以 为直径，以 的中点为圆心的圆上运动， 当，P，共线时，线段 的值最小，利用勾股定理求出 的长即可求解；（3）延长 、 ，相交于 点F．由 ，求出 ，作 交 于点G，作 于点，交 于点M，可 得 ，设 ，求出 ，所以当 的面积最大时，绿化区域 的面积最大，求出 的面积即可求解． 【详解】（1）如图1，作 于点． ∵ ， ， ，∴ ， ． ∵ ，∴ ．故答为：4； （2）如图2，∵ ，∴点P 在以 为直径，以 的中点为圆心的圆上运动，当，P，共线时， 线段 的值最小．∵ ，∴ ，∴ ， ∴段 的值最小值 ； （3）如图3，延长 、 ，相交于点F． ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ． 作 交 于点G，作 于点，交 于点M， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，设 ， 则 ， ，∴ ， ∴当 的面积最大时，绿化区域 的面积最大． 当E 在 的中点时， 的面积最大． 连接 ， 交 于点，则 ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性 质，勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题． 课后专项训练 1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角 ， 连 ，则 的最大值是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】如图所示，以 为斜边，在 右侧作等腰直角 ，过点作 交 延长线于E，连 接 ，则 ， ，先证明点B 在以为圆心， 为半径的圆周上运动 （ 右侧），故当点在线段 上时， 最大，再求出 的长，进而利用勾股定理求出 的长 即可得到答． 【详解】解：如图所示，以 为斜边，在 右侧作等腰直角 ，过点作 交 延长线于 E，连接 ，∴ ， ， ∵ ，∴点B 在以为圆心， 为半径的圆周上运动（ 右侧）， ∴当点在线段 上时， 最大，∵ 是以 为边的等腰直角三角形， ∴ ， ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，∴ ，在 中，由勾股定理得 ， ∴ 的最大值 ，故选D． 【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与 判定，正确作出辅助线确定点B 的轨迹是解题的关键． 2．（2023 春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 面积的最 大值是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】作 的外接圆 ，连接 ，当 的 边上的高经过点时， 面积的最大， 此时 是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：作 的外接圆 ，连接 ，当 的 边上的高经过点时， 面积的最 大，如图，过点作 ，并延长 交 于点 ，连接 ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形， ∴ ，∴ ，∴ ，故选． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出 面积的最大时点的 位置时关键 3．（2022 秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是 上任意一点，点在 外，已知 是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ） ． B．4 ． D．6 【答】 【分析】以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，证明 得到 ，分析 出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心， 长为半径的圆，在求出点D 到线段 的最大距离，即可求出面 积的最大值． 【详解】解：如图，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ， ∵ ，∴ ，即 ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∴点D 的运动轨迹是以点M 为圆心， 长为半径的圆，要使 的面积最大，则求出点D 到线段 的最大距离，∵ 是边长为4 的等边三角形，∴点M 到 的距离为 ， ∴点D 到 的最大距离为 ，∴ 的面积最大值是 ，故选． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆， 再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 4．（2023·山东济南·一模）正方形BD 中，B=4，点E、F 分别是D、B 边上的动点，且始终满足DE=F， DF、E 相交于点G 以G 为斜边在G 下方作等腰直角△G 使得∠G=90°，连接B．则B 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】首先证明 ，从而 ，再根据 ，可求 ，可知点 的运动轨迹为以点M 为圆心，M 为半径的圆，从而可求B 最小值． 【详解】解：如图，取D 中点，连接G，以为斜边作等腰直角三角形M， 则 ，在 和 中， ，∴ （SS），∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 是直角三角形，∴ ，∵ 为等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， 又∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴点的运动轨迹为以点M 为圆心，M 为半径的圆， 如图，连接BM，交圆M 于 ，过点M 作 于点P， ∵ ， ， ∴ ，∴ 为等腰直角三角形， ∵ ，∴P=MP= =1，∴BP=4-1=3， 在 中， ，∴ ． B ∴ 的最小值为 ．故选：． 【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决． 5．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边 上一动点点 不与点 ， 重合，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小 值为 ． 【答】2 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接 ，得到 ，进而得到点 在以点 为圆心，为半径的圆上，当 ， ， 三点共线时，线段 的 长度最小，求出此时 的长度即可．解题的关键是确定点 的运动轨迹． 【详解】解：连接 ， 点 和 关于 对称， ， 在以 圆心，为半径的圆上， 当 ， ， 三点共线时， 最短， ， ， ，故答为： ． 6．（2023 春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G 是 内的一点，且 ， 是等 边三角形，若 ，则 的最大值为 ． 【答】 【分析】如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ．说明 ， ， ， 四点共圆，求出 ，利用三角形三边关系可得结论． 【详解】解：如图，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ． ∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ，∴点 在 的外接圆上，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 的最大值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，P 为 的中点，连 接 ．在矩形 外部找一点E，使得 ，则线段 的最大值为 ． 【答】 / 【分析】以 的中点为圆心， 为半径画圆，可得所画圆是 的外接圆，弦 右侧圆弧上任意 一点E 与 构成的 ，使得四边形 是圆内接四边形，，可得 ，连接 并延长与圆的交点即为 的最长距离，作 于点， 是 的中位线，，根据勾股定理求出 和 的值，进而可得 的最大值． 【详解】解：如图，以 的中点为圆心， 为半径画圆， 在矩形 中， ， ，， ∵ ，∴所画圆是 的外接圆， 弦 右侧圆弧上任意一点E 与 构成的 ，使得四边形 是圆内接四边形， ∴ ，连接 并延长与圆的交点即为 的最长距离， 作 于点，∴是 的中点， 是 的中位线， 为 的中点， ， ， ， ， ， ， ．故答为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题 的关键是综合利用以上知识找到点E． 8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形BD 中， ， ，点E 在B 上，且 ，点M 为 矩形内一动点，使得 ，连接M，则线段M 的最小值为______． 【答】 ## 【分析】作 的外接圆 ，得到点M 的轨迹是矩形内以为圆心，E 为半径的 ，连接、E、，交 于 ，分析得到当M 与 重合时，M 取得最小值．分别过点作 于点，过点作 于 点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 如图，作 的外接圆 ，点M 的轨迹是矩形内以为圆心，E 为半径的 ，连接、E、，交 于 ， 当M 与 重合时，M 取得最小值．过点作 于点， ∵ ∴ ，∴ ， ， 过点作 于点G，∴ ， ，G=6-2=4， ∴ ，则 ．故答为： ． 【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M 的轨迹． 9．（2023 江苏扬州·三模）如图，在等边△B 和等边△DE 中，B＝6，D＝4，以B、D 为邻边作平行四边形 BFD，连接F．若将△DE 绕点旋转一周，则线段F 的最小值是______． 【答】 【分析】过点F 作GF∥D，过点作G∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F 在以G 为圆 心，以D 长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可． 【详解】如图，过点F 作GF∥D，过点作G∥DF，二线交于点G， ∴四边形DF