专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型（解析版）

专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ 为定值，当点P 在直线B 上运动时，求Q 点轨迹？ 解析：当P 与Q 夹角固定且P:Q 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始 位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； ⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为 其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，M 为B 的中点，为B 上一点，过点作 G∥B，交M 的延长线于点G，若＝8，B＝6，则四边形G 周长的最小值是（ ） ．24 B．22 ．20 D．18 【答】B 【分析】通过证明△BM≌△MG 可得B＝G，可得四边形G 的周长即为B++G，进而可确定当M⊥B 时，四边 形G 的周长有最小值，证明四边形G 为矩形可得G 的长，进而可求解． 【详解】∵G∥B，∴∠B＝∠MG，∵M 是B 的中点，∴BM＝M， 在△BM 和△MG 中， ，∴△BM≌△MG（S），∴M＝GM，B＝G， ∵B＝6，＝8，∴四边形G 的周长＝+G++G＝B++G＝14+G， ∴当G 最小时，即M⊥B 时四边形G 的周长有最小值， ∵∠＝90°，M⊥B，∴G∥，∴四边形G 为矩形，∴G＝8， ∴四边形G 的周长最小值为14+8＝22，故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定G 的值是解题的关键． 例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 【答】 / 【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ， 连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 为高 上的动点．∴ ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴ ，∴ 点在射线 上运动，如图所示， 作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 在 中， ，则 ， 则当 三点共线时， 取得最小值，即 ∵ ， ， ∴ ∴ 在 中， , ∴ 周长的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定， 勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形BD 中， ， ， ，点E 在线 段B 上运动（含B、两点）．连接E，以点为中心，将线段E 逆时针旋转60°得到F，连接DF，则线段DF 长度的最小值为______． 【答】 【分析】以B 为边向右作等边△BG，作射线GF 交D 于点，过点D 作DM⊥G 于M．利用全等三角形的性 质证明∠GF＝60°，得出点F 在平行于B 的射线G 上运动，求出DM 即可． 【详解】解：如图，以B 为边向右作等边△BG，作射线GF 交D 于点，过点D 作DM⊥G 于M． ∵四边形BD 是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BD＝120°， △ ∵BG 是等边三角形，∴∠BG＝∠EF＝60°，B＝G，E＝F， ∠ ∴ BE＝∠FG，∴△BE △ ≌GF（SS），∴∠B＝∠GF＝60°， ∴点F 在平行于B 的射线G 上运动， ∠ ∵ G＝∠GF＝60°，∴△G 是等边三角形， ∴B＝G＝＝6，∴D＝D﹣＝4， ∠ ∵ DM＝∠G＝60°，∴DM＝D•s60° ， 根据垂线段最短可知，当点F 与M 重合时，DF 的值最小，最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直 角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点 F 的在射线G 上运动，属于中考填空题中的压轴题． 例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E 为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．3 D． 【答】B 【分析】过点G 作G⊥B 于，过点G 作M∥B，由“S”可证△GE≌△EF，可得G＝E＝1，可得点G 在平行B 且到B 距离为1 的直线M 上运动，则当F 与D 重合时，G 有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G 作G⊥B 于，过点G 作M∥B， ∵四边形BD 是矩形，B＝ ，B＝3，∴∠B＝90°，D＝ ，D＝3， ∵E＝1，∴BE＝ ，∵∠GE＝∠＝∠GEF＝90°， ∴∠GE＋∠EG＝90°，∠GE＋∠FE＝90°，∴∠EG＝∠FE， 又∵GE＝EF，∴△GE≌△EF（S），∴G＝E＝1， ∴点G 在平行B 且到B 距离为1 的直线M 上运动， ∴当F 与D 重合时，G 有最小值，此时F＝E＝3， ∴G 的最小值＝ ，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键． 例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变 量t 的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为 ， 将点 代入得： ，整理得 ∵t 为任意实数，等式恒成立，∴ ， ∴ ， ∴这条直线的函数表达式为 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直 线l，求直线l 的函数表达式． 问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，且 ， ，则点的 坐标为_________． 结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，Q 是直线 上的一个动点，连接 ，过点P 作 ，且 ，连接 ，求线段 的最小值． 【答】(1)直线l 的函数表达式为 ;(2)点（-7，3）；(3)Q′最小值为 ． 【分析】（1）利用待定系数法将点P 代入解析式，利用恒等性质得出 ， ，求出直线解析 式即可；（2）设点坐标为（m，）过作E 垂直x 轴于E，过B 作BF⊥x 轴于F，证明△E≌△BF（S）得出 E=F，E=FB，根据点B（5，9）点（2，0）求出点F（5，0）即可； （3）过Q 作QG⊥x 轴于G，过Q′作Q′⊥x 轴于，先证△QPG≌△PQ′（S），设Q（， ）分三种情况， 当≤1 时，点Q′（ ，1 - ）Q = ′ ，当1≤≤4，点Q′（ ， 1-），Q = ′ ，当≥4 时，点Q′（ ，1-）Q = ′ ，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可． 【解析】(1)解：设这条直线的函数表达式为 ，将点 代入得： ，整 理得 ，∵t 为任意实数，等式恒成立，∴ ， ， ∴ ， ，∴这条直线的函数表达式为 ， ∴随着变量t 的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l， 直线l 的函数表达式为 ． (2)解:设点坐标为（m，）过作E 垂直x 轴于E，过B 作BF⊥x 轴于F，∴∠E+∠E=90°， ∵B=，∠B=90°，∴∠E+∠FB=90°，∴∠E=∠FB， 在△E 和△BF 中， ，∴△E≌△BF（S），∴E=F，E=FB， ∵点B（5，9）点（2，0），∴点F（5，0）∴=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点（-7，3）； (3)解：过Q 作QG⊥x 轴于G，过Q′作Q′⊥x 轴于， ∵∠QPQ =90° ′ ，∠QGP=∠Q P ′ =90°，∴∠QPG+∠Q P ′ =90°，∠Q P ′ +∠Q P ′ =90°，∴∠QPG=∠Q P ′ ， 在△QPG 和△PQ′中， ，∴△QPG≌△PQ′（S），∴PG=Q′，QG=P， ∵Q 是直线 上的一个动点，设Q（， ）， 当≤1 时，∴QG=P= ，PG= Q=1 - ，∴点Q′（ ，1 - ）， ∵Q = ′ ， ∵ 时，Q′随的增大而减小，当=1 时最小Q = ′ ， 当1≤≤4，∴QG=P= ，PG= Q= -1，∴点Q′（ ，1-）， ∵Q = ′ ，∵ ，=2 时，Q′最小= ， 当≥4 时，∴QG=P= ，PG= Q= -1，∴点Q′（ ，1-）， ∵Q = ′ ，∵ ，＞2 时，Q′随的增大而增大， =4 时，Q′最小= ， ∵ ＞3＞ ，∴Q′最小值为 ． 【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最 值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理， 函数的最值，分类思想的运用是解题关键． 例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形 中， ，E、F 分别是边 上的动点， 连接 ，G、分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为__________． 【答】 【分析】连接 ，利用中位线的性质 ，要使 最小，只要 最小，当 时， 最 小为6，由 确定 为等腰直角三角形，得出 ，由勾股定理得： 求出 即可． 【详解】解：连接 ，∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 ， 要使 最小，只要 最小，当 时， 最小， ∵ 的最小值为3，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵四边形 是菱形，∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握 中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键． 例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P 为边 上一动 点，作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出 方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ，∴ ， ∵ 于点D， 于点E， ，∴四边形 是矩形，∴ ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小， 此时， ，代入数据： ， ∴ ，∴ 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的 值最小是解题的关键． 例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图， 中， ， ，点D 是边 上一动 点，以点为旋转中心，将 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则 的长的最小值为 （ ） ． B． ．1 D． 【答】 【分析】在 上取一点K，使得 ，连接 ， ，然后证明出 ，然后根据 垂线段最短得到当 时， 的值最小，最后利用 角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，在 上取一点K，使得 ，连接 ， ， ∵ ， ，∴ ， ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴当 时， 的值最小， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ．∴ 的长的最小值为 ．故选 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短， 角直角三角形的性质等知识，解题的关 键是熟练掌握以上知识点． 课后专项训练 1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是 边的中点， 点P 是 边上一个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最 小值是（ ） ． B．1 ． D． 【答】B 【分析】以D 为边作等边三角形DE，连接EQ，由题意易得∠PD=∠QDE，PD=QD，进而可得 △PD≌△QED，则有∠PD=∠QED=90°，然后可得点Q 是在QE 所在直线上运动，所以Q 的最小值为Q⊥QE 时，最后问题可求解． 【详解】解：以D 为边作等边三角形DE，连接EQ，如图所示： ∵ 是等边三角形，∴ ， ∵∠DQ 是公共角，∴∠PD=∠QDE，∴△PD≌△QED（SS）， ∵ ， ，点D 是 边的中点， ∴∠PD=∠QED=90°， ，∴点Q 是在QE 所在直线上运动， ∴当Q⊥QE 时，Q 取的最小值，∴ ，∴ ；故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角 形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． 2．（2023 上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形 中， ， ，E 为 上一点．且 ，F 为 边上的一个动点．连接 ，将 绕着点E 顺时针旋转 到 的位置，其中点 B、点F 的对应点分别为点、点G，连接 和 ，则 的最小值为（ ）． ． B．3 ． D． 【答】 【分析】如图，将线段 绕点E 顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于．首先证明 ， 推出点G 的在射线 上运动，推出当 时， 的值最小，证明四边形 是矩形，进一步推出 ，则 ，即可得到 的最小值为 ． 【详解】解：如图，将线段 绕点E 顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于． ∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴点G 的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 3（2023 上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形 的边长为4，点 是正方形对角线 所在 直线上的一个动点，连接 ，以 为斜边作等腰 （点 ， ， 按逆时针排序），则 长的 最小值为（ ） ． B． ．4 D． 【答】D 【分析】根据正方形的性质和题干给定的 是以 为斜边作等腰直角三角形，证明 ， 得到 进一步证明 ，得到 ，由正方形的性质得点为 的中点，有点F 在 的垂直平分线 上运动，当点F 与点重合时， 的值最小． 【详解】解：连接 交 于点G，连接 并延长交 于点，如图， ∵四边形 是正方形，∴ ， ， ， ∵ 是以 为斜边作等腰直角三角形，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，则 ，∴ ， ∵点G 为正方形 对角线的交点，∴点为 的中点，∴点F 在 的垂直平分线 上运动， ∵ ，∴当点F 与点重合时， 的值最小，此时 ． 即 长的最小值为2．故答选：D． 【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相 似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键． 4．（2023 上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D 是斜边 上的一个动点，过点D 分别作 于点M， 于点，连接 ，点为 的中 点，则线段 的最小值为（ ） ． B．5 ． D． 【答】 【分析】由勾股定理求出 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，再利用三角形面积求出 ，可得 ，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ， ，且 ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 当 时， 的值最小， 此时， ， ， 的最小值为 ，故选：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对 角线相等． 5．（2023 上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ） ．12 B．10 ．96 D．48 【答】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接 ，作 于 点．由三角形中位线的性质得 ，由垂线段最短可知当 最小，即点E 与点重合时 的值最 小，然后利用勾股定理求出 的长即可． 【详解】解：连接 ，作 于点． ∵点 ， 分别是 ， 边上的动点，∴ 是 的中位线，∴ ， ∴当 最小，即点E 与点重合时 的值最小．设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为48．故选D． 6．（2023 上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为4， ，点E 是直线 上一个动点，连接 ，线段 绕点B 顺时针旋转 得到 ，则线段 长度的最小值等于（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，过点D 作 于点，证明 ，得出 ，点F 在直线 上运动，当点F 与重合时， 的值最 小，求出最小值即可． 【详解】解：连接 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，过点D 作 于点，如图所 示： ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，在 和 中 ， ∴ ，∴ ， ∴点F 在直线 上运