专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型（原卷版）

专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ 为定值，当点P 在直线B 上运动时，求Q 点轨迹？ 解析：当P 与Q 夹角固定且P:Q 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始 位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； ⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为 其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，M 为B 的中点，为B 上一点，过点作 G∥B，交M 的延长线于点G，若＝8，B＝6，则四边形G 周长的最小值是（ ） ．24 B．22 ．20 D．18 例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形BD 中， ， ， ，点E 在线 段B 上运动（含B、两点）．连接E，以点为中心，将线段E 逆时针旋转60°得到F，连接DF，则线段DF 长度的最小值为______． 例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E 为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．3 D． 例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变 量t 的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为 ， 将点 代入得： ，整理得 ∵t 为任意实数，等式恒成立，∴ ， ∴ ， ∴这条直线的函数表达式为 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点 在平面直角坐标系中的运动轨迹是直 线l，求直线l 的函数表达式． 问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，且 ， ，则点的 坐标为_________． 结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，Q 是直线 上的一个动点，连接 ，过点P 作 ，且 ，连接 ，求线段 的最小值． 例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形 中， ，E、F 分别是边 上的动点， 连接 ，G、分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为__________． 例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P 为边 上一动 点，作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ． 例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图， 中， ， ，点D 是边 上一动 点，以点为旋转中心，将 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ，则 的长的最小值为 （ ） ． B． ．1 D． 课后专项训练 1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是 边的中点， 点P 是 边上一个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最 小值是（ ） ． B．1 ． D． 2．（2023 上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形 中， ， ，E 为 上一点．且 ，F 为 边上的一个动点．连接 ，将 绕着点E 顺时针旋转 到 的位置，其中点 B、点F 的对应点分别为点、点G，连接 和 ，则 的最小值为（ ）． ． B．3 ． D． 3（2023 上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形 的边长为4，点 是正方形对角线 所在 直线上的一个动点，连接 ，以 为斜边作等腰 （点 ， ， 按逆时针排序），则 长的 最小值为（ ） ． B． ．4 D． 4．（2023 上·河北保定·九年级校考期中）如图，在 中， ，且 ，点D 是斜边 上的一个动点，过点D 分别作 于点M， 于点，连接 ，点为 的中 点，则线段 的最小值为（ ） ． B．5 ． D． 5．（2023 上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，连结 ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ） ．12 B．10 ．96 D．48 6．（2023 上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为4， ，点E 是直线 上一个动点，连接 ，线段 绕点B 顺时针旋转 得到 ，则线段 长度的最小值等于（ ） ． B． ． D． 7．（2022·江苏·徐州市三模）如图， 中， ， ， 为 边上的一动点，以 、 为边作 ，则线段 的最小值为______． 8．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B 为 上一点， 于，四 边形 为正方形，P 为射线 上一动点，连接 ，将 绕点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ． 9．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点是y 轴上 一动点，设其坐标为 ，线段 绕点逆时针旋转 至线段 ，则点B 的坐标为 ，连接 ， 则 的最小值是 ． 10．（2023 上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知 中， ， ， ， ， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ． 11．（2023 上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形 中， ， ， 为边 上的 点，且 ． 为 边上的动点，以 为边在其右侧作等腰直角三角形 ， ．设 中点 为 ，则 的最小值为 ． 12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在 中， ，点P 为 边上任意 一点，连接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为_________． 13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PB，∠BP＝45°，B＝P，将三角形放在平面直角坐标 系中，若点（ ，0），点B 在y 轴正半轴上，则P 的最小值是 _____． 14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，B＝2．D 是B 上一动点，以D 为斜边向右 侧作等腰Rt△DE，使∠ED＝90°，连接BE，则线段BE 的最小值为__________________． 15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形 中， ，点E 为边 上一动点，将点绕点E 顺 时针旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△B 中，B＝5，B=3，＝4，点P 从点出发沿B 运动到B 点，以P 为斜 边作如图的等腰直角三角形PQ，∠PQ＝90°，则Rt△PQ 的外心运动的路径长为 _____，BQ 的最小值为 ___ __． 17．（2023·江苏盐城·三模）如图，、 B 两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点为y 轴上一动点，以 为边向下作Rt ，使得 ， ，连接线段 ，则线段 的最小值为____． 18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形BD 的边长为4，∠BD＝120°，E 是边D 的中点，F 是边D 上 的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，连接F'、BF'，则△BF'的周长的最小值是____ ____________． 19．（2022·河南南阳·二模）如图所示， ， ， 于点B，点D 是线段B 上一个动点， 且 于点D， ，连接E，则E 长的最小值是______． 20．（2023 江西九江九年级期末）（1）回归材：北师大七年级下册P44，如图1 所示，点P 是直线m 外 一点， ，点是垂足，点、B、在直线m 上，比较线段P，P，PB，P 的长短，你发现了什么？最短 线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______． （2）小试牛刀：如图2 所示， 中， ， ， ．则点P 为B 边上一动点，则P 的 最小值为______． （3）尝试应用：如图3 所示 是边长为4 的等边三角形，其中点P 为高D 上的一个动点，连接BP， 将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、E． ①请直接写出DE 的最小值．②在①的条件下求 的面积． （4）拓展提高：如图4， 顶点F 在矩形BD 的对角线上运动，连接E． ． ， ，请求出E 的最小值．