专题16.1 期中期末专项复习之三角形十九大必考点（原卷版）

专题161 三角形十九大必考点 【人版】 【考点1 三角形的个数】.........................................................................................................................................1 【考点2 判断能否组成三角形】.............................................................................................................................2 【考点3 确定第三边的取值范围】.........................................................................................................................3 【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】.....................................................................................................3 【考点5 三角形的三边关系的应用】.....................................................................................................................4 【考点6 根据三角形的中线求面积】.....................................................................................................................5 【考点7 根据三角形的中线求长度】.....................................................................................................................6 【考点8 与三角形的高有关的计算】.....................................................................................................................7 【考点9 格中的三角形】.........................................................................................................................................8 【考点10 三角形的稳定性】....................................................................................................................................9 【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】.................................................................................................9 【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】..................................................................................................11 【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】......................................................................................................13 【考点14 三角形的外角性质的运用】..................................................................................................................14 【考点15 多边形的对角线】..................................................................................................................................16 【考点16 多（少）算一个角问题】......................................................................................................................17 【考点17 求截角后多边形的边数或内角和】......................................................................................................18 【考点18 多边形的内角和与外角和的综合运用】..............................................................................................18 【考点19 平面图形的镶嵌】..................................................................................................................................20 【考点1 三角形的个数】 【例1】（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形 个； 如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10 条线，请你求出图中的三角形的个数． 【变式1-1】（2022·河南南阳·七年级期末）如图所示，点D，E 分别是△B 的边B，B 上的 点，分别连结D，DE，则图中的三角形一共有（ ） 1 ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式1-2】（2022·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1 个三角形，第② 个图形中有3 个三角形，第③个图形中有6 个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中 三角形的个数是（ ） ．10 B．15 ．21 D．28 【变式1-3】（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点、B、、D、E 称为“格点”（格线的 交点），以这5 个格点中的3 点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形． 【考点2 判断能否组成三角形】 【例2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三 角形的是（ ） ．1cm，2cm，3cm B．4 cm，4 cm，8cm ．4 cm，5cm，9cm D．5cm，6cm，9cm 【变式2-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角 形三边长的是（ ） ．2m，2m，3m B．3m，8m，10m ．三条线段之比为 1：2：3 D．3，5，4（＞0） 【变式2-2】（2022·湖南·八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长 的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） ．2cm B．8cm ．12cm D．13cm 1 【变式2-3】（2022·江苏·江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2m、3 m、4 m、5 m、 6 m 的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 （ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．7 个 【考点3 确定第三边的取值范围】 【例3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边 的长度分别是2m，8m 和xm，若x 是奇数，则x 可能等于（ ） ．5m B．9m ．11m D．13m 【变式3-1】（2022·河南新乡·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5 和7，若三角形 周长为偶数，那么第三边的长可能是（ ） ．2 B．4 ．7 D．14 【变式3-2】（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首 尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（ ） ．1 B．2 ．7 D．8 【变式3-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3 边长分别是x cm、(3 x−3)cm， (x+2)cm，它的周长不超过39m．则x 的取值范围是（ ） ．5 3 <x<5 B．5<x ≤8 ．5 3 <x ≤8 D．1<x<5 【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】 【例4】（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末），b，是三角形的三边长，化简 |a−b−c|−|b−c+a|+|c−a−b|后等于（ ） ．b+a−3c B．b+c−a ．3a+3b+3c D．a+b−c 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知：△B 中，D 是B 边上的中线．求证： D+BD＞1 2（B+）． 【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D 是△B 内一点．求证： 1 (1)BD＋D＜B＋； (2)D＋BD＋D＜B＋B＋． 【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知，b，是一个三角形的三边长，化简|2+b | | ﹣﹣b 2 |+| ﹣﹣ ﹣﹣b 2| ﹣ ． 【考点5 三角形的三边关系的应用】 【例5】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个 木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均 可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ） ．10 B．8 ．7 D．5 【变式5-1】（2022·湖北·公安县学研究中心八年级阶段练习）如图，为了估计池塘两岸， B 的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得P＝12 m，PB＝8 m，那么，B 间的距离不 可能是（ ） ．12 m B．15 m ．18 m D．21 m 【变式5-2】（2022·广东·饶平县三饶中学八年级期中）如图，四个工厂、B、、D，试找一 个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小． 【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧， A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米．一个行人P在马路MN上行走，当P到 1 A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米． 【考点6 根据三角形的中线求面积】 【例6】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在△B 中，已知点 D、E 分别为边B、D 上的中点，且S Δ ABC=¿4cm 2，则S ΔBEC的值为（ ） ．2cm 2 B．1cm 2 ．05cm 2 D．025cm 2 【变式6-1】（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，D、E 分别是B、的中点， S ΔCDE=2，则△ABC的面积为（ ） ．4 B．8 ．10 D．12 【变式6-2】（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图，在△ABC中D、F为BC上的 点，且F为CD的中点，CD=2BD，连接AD，E是AD的中点，连接BE、EF、EC，若 S△≝¿=3¿，则△ABC的面积是______． 【变式6-3】（2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习）设△B 的面积为，如图①将边 B、分别2 等份，BE1、D1相交于点，△B 的面积记为S1；如图②将边B、分别3 等份， BE1、D1相交于点，△B 的面积记为S2；……， 依此类推，若S5= 3 11则的值为（ ） 1 ．1 B．2 ．6 D．3 【考点7 根据三角形的中线求长度】 【例7】（2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，△B 中，B＝10，＝8，点 D 是B 边上的中点，连接D，若△D 的周长为20，则△BD 的周长是__________． 【变式7-1】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）如图，在△B 中，D 是边B 上的 中线，△BD 的周长比△D 的周长多3，B 与的和为13，则B 的长为______． 【变式7-2】（2022·四川·富顺第三中学校八年级期中）在等腰△B 中，B=，中线 BD 将这个 三角形的周长分为 15 和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） ．7 B．10 ．7 或 11 D．7 或 10 【变式7-3】（2022·吉林长春·七年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， △ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11． (1)求AB、AC的长． (2)求BC边的取值范围． 【考点8 与三角形的高有关的计算】 【例8】（2022·山东·临沭县第三初级中学八年级阶段练习）如图，在△B 中，D、E 分别是 △B 的高且B＝2，B＝4，D＝3；则E＝_____． 1 【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，在△B 中，D，E 分 别是边B 上的中线和高，点D 在点E 的左侧，已知E=2m，DE=1m，S△ABC=8m2，则E= _______m 【变式8-2】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）如图，△B 中，E，D 是△B 的两条 高，B＝6，D＝3． (1)请画出E，D； (2)求△B 的面积； (3)若E＝4，求B 的长． 【变式8-3】（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于 D． （1）如图①，已知AE⊥BC于E，求证：CD=2 AE （2）如图②，P 是线段上任意一点（P 不与、重合），过P 作PE⊥BC于E，PF ⊥AB 于F，求证：2 PE+PF=CD （3）在图②中，若P 是延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、 1 PF、D 之间的关系． 【考点9 格中的三角形】 【例9】（2022·江苏·靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，在方格纸内将Δ ABC水平向 右平移4 个单位得到△A ' B 'C '． (1)补全△A ' B 'C '，利用格点和直尺画图； (2)图中AC与A 'C '的关系是： ； (3)画出AB边上的高线CD； (4)画出Δ ABC中AB边上的中线CE． 【变式9-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，在边长为1个单位的正 方形格中，△ABC经过平移后得到△A ' B 'C '，图中标出了点B的对应点B '． (1)画出△A ' B 'C '； (2)过点B作AC的垂线段BD，垂足为点D． (3)连接A A '、C C '，那么A A '与C C '的关系是______．线段AC扫过的图形的面积为_____ _． 【变式9-3】（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长 为1 个单位，每个小方格的顶点叫格点． 1 (1)画出△ABC的AB边上的高CD，垂足为D； (2)求出△ABC的面积为_________； (3)图中，能使S△QBC=3的格点Q，共有_________个． 【考点10 三角形的稳定性】 【例10】（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）下列图形中有稳定性的是 （ ） ．正方形 B．长方形 ．直角三角形 D．平行四边形 【变式10-1】（2022·湖北武汉·八年级期中）下列哪个图形具有稳定性（ ） ． B． ． D． 【变式10-2】（2022·广东揭阳·七年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条 钉成）不变型，至少要再钉上根木条，这里的=（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）要使六边形木架（用6 根木条钉成）不变形， 至少要再钉上________根木条，所依据的原理是________． 【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例11】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】 如图1，在△B 中，若∠BD＝∠DE＝∠E，则D，E 叫做∠B 的“三分线”．其中，D 是“近 B 三分线”，E 是“远B 三分线”． 1 【理解应用】 (1)在△B 中，∠A ＝60°，∠B＝70°，若∠的三分线D 与∠B 的角平分线BE 交于点P， 则∠PB＝____________； (2)如图2，在△B 中，B、分别是∠B 的近B 三分线和∠B 近三分线，若B⊥，求∠的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在△B 中，B、分别是∠B 的远B 三分线和∠B 远B 三分线，且∠A ＝m°，直线 PQ 过点分别交、B 于点P、Q，请直接写出∠1 2 ﹣∠的度数（用含m 的代数式表示） 【变式11-1】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图：P、PB 是∠B、∠B 的平线，∠=40º， ∠BP=________． 1 【变式11-2】（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，∠＝70°，BP、P 分别平分∠B 和 ∠B，则∠P 的度数是 ． （2）如图2，∠＝70°，BP、P 分别平分∠EB 和∠FD，则∠P 的度数是 ． （3）如图3，∠＝70°，BP、P 分别平分∠B 和∠D，求∠P 的度数． 【变式11-3】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，B∥D，点E 是B 上一点，连结 E． (1)如图1，若E 平分∠D，过点E 作EM E ⊥ 交D 于点M，试说明∠＝2∠ME； (2)如图2，若F 平分∠B，F 平分∠DE，且∠F＝70°，求∠E 的度数． (3)如图3，过点E 作EM⊥E 交∠DE 的平分线于点M，M⊥M 交B 于点，⊥B，垂足为．若 ∠＝1 2∠E 请直接写出∠MB 与∠之间的数量关系． 【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例12】（2022·辽宁盘锦·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD， ∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度数； （2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交 于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P 在射线OM上移动时（点P 与点，M，D 三点不