专题16.1 期中期末专项复习之三角形十九大必考点（解析版）

专题161 三角形十九大必考点 【人版】 【考点1 三角形的个数】.........................................................................................................................................1 【考点2 判断能否组成三角形】.............................................................................................................................4 【考点3 确定第三边的取值范围】.........................................................................................................................6 【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】.....................................................................................................8 【考点5 三角形的三边关系的应用】...................................................................................................................10 【考点6 根据三角形的中线求面积】...................................................................................................................13 【考点7 根据三角形的中线求长度】...................................................................................................................18 【考点8 与三角形的高有关的计算】...................................................................................................................20 【考点9 格中的三角形】.......................................................................................................................................24 【考点10 三角形的稳定性】..................................................................................................................................30 【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】...............................................................................................31 【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】..................................................................................................39 【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】......................................................................................................49 【考点14 三角形的外角性质的运用】..................................................................................................................57 【考点15 多边形的对角线】..................................................................................................................................64 【考点16 多（少）算一个角问题】......................................................................................................................67 【考点17 求截角后多边形的边数或内角和】......................................................................................................70 【考点18 多边形的内角和与外角和的综合运用】..............................................................................................72 【考点19 平面图形的镶嵌】..................................................................................................................................76 【考点1 三角形的个数】 【例1】（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形 个； 如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10 条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答】（1）10；24；（2）330个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形来判断图1 和图2 中三角形的个数即可； 1 （2）通过数三角形的个数可知，图1 中有10 个三角形，图2 中，增加一条线后三角形的 个数为10+10×1+4×1，增加2 条线后，三角形的个数为10+10×2+4× (2+1)，增加3 条线后，三角形的个数为10+10×3+4× (3+2+1)，依次类推即可推出增加n条线后，三 角形的个数，据此即可得到增加10 条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1 中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2 中三角形个数为24； （2）增加1 条线，三角形个数为：10+10×1+4×1； 增加2 条线，三角形个数为：10+10×2+4× (2+1)； 增加3 条线，三角形个数为：10+10×3+4× (3+2+1)； 则增加n条线，三角形个数为：10+10×n+4×(n+n−1+n−2+⋯+1)， 所以增加10 条线，三角形个数为10+10×10+4× (10+9+8+⋅⋅⋅+1)=330个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关 键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 【变式1-1】（2022·河南南阳·七年级期末）如图所示，点D，E 分别是△B 的边B，B 上的 点，分别连结D，DE，则图中的三角形一共有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【答】 【分析】根据三角形的概念求解即可． 【详解】解：由题意可得， 图中的三角形有：△ED，△D，△B，△BDE，△BD，共5 个． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念．三角形是由同 一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形． 【变式1-2】（2022·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1 个三角形，第② 个图形中有3 个三角形，第③个图形中有6 个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中 三角形的个数是（ ） 1 ．10 B．15 ．21 D．28 【答】 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第个图中三角形的个数为1+2+3+⋅⋅⋅+n=n(n+1) 2 ， 故第⑥个图形中三角形的个数为：6× (6+1) 2 =21， 故选：． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般 化规律，然后根据规律去求特定的值． 【变式1-3】（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点、B、、D、E 称为“格点”（格线的 交点），以这5 个格点中的3 点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形． 【答】3 【分析】根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可． 【详解】：一共可以画出9 个三角形：△BE、△BD、△E、△D、△BE、△BD、△DE、△BDE、 △DE， 1 直角三角形有：△BE、△EB、△ED， 故答为3． 【点睛】本题考查了格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【考点2 判断能否组成三角形】 【例2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三 角形的是（ ） ．1cm，2cm，3cm B．4 cm，4 cm，8cm ．4 cm，5cm，9cm D．5cm，6cm，9cm 【答】D 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：．1＋2＝3，不满足三角形两边之和大于第三边，故不能组成三角形，不符合 题意； B．4＋4＝8，不满足三角形三边关系，故B 不能组成三角形，不符合题意； ．5＋4＝9，不满足三角形两边之和大于第三边，故不能组成三角形，不符合题意； D．5＋6＞9，满足三角形两边之和大于第三边，故D 能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差 小于第三边是解题的关键． 【变式2-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角 形三边长的是（ ） ．2m，2m，3m B．3m，8m，10m ．三条线段之比为 1：2：3 D．3，5，4（＞0） 【答】 【分析】根据构成三角形的条件逐项判断即可．构成三角形的条件：两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边即可． 【详解】解：．2+2>3，能构成三角形，故此选项不合题意； B．3+8>11，能构成三角形，故此选项不合题意； ．设最小边为，则剩余两边是2．3．+2=3，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为＞0，所以3+4 >5 ，能构成直角三角形，故此选项不合题意 故选：． 【点睛】本题考查构成三角形的条件，解题的关键是计算较小两边之和和是否大于最大边 长． 【变式2-2】（2022·湖南·八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长 1 的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） ．2cm B．8cm ．12cm D．13cm 【答】B 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可． 【详解】解：设第三边的长为x cm， 则7−5<x<7+5，即2<x<12 ∴四根木棒中，长度为8cm的木棒，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两 边差小于第三边是解题的关键． 【变式2-3】（2022·江苏·江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2m、3 m、4 m、5 m、 6 m 的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 （ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．7 个 【答】D 【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断． 【详解】解：以其中的三条线段为边组成三角形的有： 2m，3m，4m；3m，4m，5m； 3m，4m，6m；4m，5m，6m； 3m，5m，6m；2m，4m，5m； 2m，5m，6m 共有7 种情况． 故选：D． 【点睛】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三 边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可． 【考点3 确定第三边的取值范围】 【例3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边 的长度分别是2m，8m 和xm，若x 是奇数，则x 可能等于（ ） ．5m B．9m ．11m D．13m 【答】B 【分析】先求出第三边的取值范围．再根据x 是奇数解答即可． 【详解】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2， 6 ∴＜x＜10， 又∵x 为奇数， 1 ∴x＝7 或9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的运用．关键是掌握第三边的范围是：大于已知 的两边的差，而小于两边的和． 【变式3-1】（2022·河南新乡·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5 和7，若三角形 周长为偶数，那么第三边的长可能是（ ） ．2 B．4 ．7 D．14 【答】B 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】设第三边为，根据三角形的三边关系知，2＜＜12． 由于这个三角形的周长为+12，而且周长是偶数， ∴为偶数，可以为4、6、8、10． 故选：B． 【点睛】本题从边的方面考查三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之 差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合 的舍去． 【变式3-2】（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首 尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（ ） ．1 B．2 ．7 D．8 【答】 【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC ,CE，并设 AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6， 0<b<2，从而可得4<a+b<8，2<a−b<6，再在△ACE中，根据三角形的三边关系定 理可得a−b<d<a+b，从而可得2<d<8，由此即可得出答． 【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC ,CE，并设AC=a,CE=b， 1 在△ABC中，5−1<a<1+5，即4<a<6， 在△CDE中，1−1<b<1+1，即0<b<2， 所以4<a+b<8，2<a−b<6， 在△ACE中，a−b<d<a+b， 所以2<d<8， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键． 【变式3-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3 边长分别是x cm、(3 x−3)cm， (x+2)cm，它的周长不超过39m．则x 的取值范围是（ ） ．5 3 <x<5 B．5<x ≤8 ．5 3 <x≤8 D．1<x<5 【答】 【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39m 可列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，可得{ x+(3 x−3)>x+2 x+( x+2)>3 x−3 ( x+2)+(3 x−3)>x x+(3 x−3)+( x+2)≤39 ， ∴{ x> 5 3 x<5 x> 1 3 x ≤8 ， ∴5 3 <x<5． 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是 解题的关键． 【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】 【例4】（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末），b，是三角形的三边长，化简 |a−b−c|−|b−c+a|+|c−a−b|后等于（ ） ．b+a−3c B．b+c−a ．3a+3b+3c D．a+b−c 【答】B 【分析】根据三角形三边之间的关系得出、b、之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【详解】解：∵、b、是三角形的三边长， 1 + ∴b＞，b+＞，+b＞， ∴﹣b﹣＜0，b + ﹣＞0，﹣﹣b＜0， | ∴﹣b |+| ﹣ b +| | ﹣ ﹣﹣﹣b|＝﹣+b++b ++ ﹣ ﹣﹣b＝b+﹣． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形 任意两边之和大于第三边． 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）已知：△B 中，D 是B 边上的中线．求证： D+BD＞1 2（B+）． 【答】证明见解析 【分析】根据三角形三边关系定理可得BD+D＞B，D+D＞，由此可得BD+D+D+D＞B+． 已知D 是B 边上的中线可得BD=D，即可证得D+BD＞1 2（B+）． 【详解】证明：∵BD+D＞B，D+D＞， ∴BD+D+D+D＞B+． ∵D 是B 边上的中线，BD=D， ∴D+BD＞1 2（B+）． 【点睛】本题是对三角形三边关系和三角形中线性质的综合考查．三角形三边关系定理： 三角形两边之和大于第三边 【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D 是△B 内一点．求证： (1)BD＋D＜B＋； (2)D＋BD＋D＜B＋B＋． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BD 交于E，从而找到BD＋D 与B＋的中间量BE+E，再利用不等式的 传递性(若<b，b<，则<．)得出BD＋D＜B＋ ； 1 （2）同理可得D+D<B+B，BD+D<B+，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以 2 即可． （1） 证明：延长BD 交于E， 在△BE 中，有B+E＞BE， ∴B＋=B+E+E＞BE+E， 在△ED 中，有DE+E＞D， ∴BE+E= BD+DE+E＞BD+D， ∴B＋＞BE+E＞BD+D， ∴BD＋D＜B＋； （2） 解：由（1）同理可得： BD＋D＜B＋①， D＋D＜B＋B②， BD＋D＜B＋③， ①+②+③得：2（D+BD+D）<2（B+B+）， ∴D+BD+D<B+B+． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不 等式的性质是解题的关键． 【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）已