专题21.2 期中期末专项复习之勾股定理十八大必考点（原卷版）

专题212 勾股定理十八大必考点 【人版】 【考点1 勾股数】..................................................................................................................................................... 1 【考点2 勾股树】..................................................................................................................................................... 2 【考点3 利用勾股定理求两点间距离】................................................................................................................. 3 【考点4 利用勾股定理求线段长度】.....................................................................................................................4 【考点5 勾股定理中的分类讨论】.........................................................................................................................4 【考点6 勾股定理中的规律探究】.........................................................................................................................5 【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】..................................................................................................6 【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】..........................................................................................7 【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】......................................................................................9 【考点10 利用勾股定理求面积】..........................................................................................................................10 【考点11 勾股定理在格中的应用】...................................................................................................................... 11 【考点12 勾股定理在翻折中的应用】..................................................................................................................12 【考点13 利用勾股定理求最值】..........................................................................................................................13 【考点14 勾股定理的证明】..................................................................................................................................14 【考点15 勾股定理与无理数】..............................................................................................................................18 【考点16 判断是否是直角三角形】......................................................................................................................19 【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】..............................................................................................20 【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】.......................................................................................21 【考点1 勾股数】 【例1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级阶段练习）下列各组数是勾股数的是____ _____（填序号）． ①6，8，10；②15，2，25；③3 2，4 2，5 2；④7，24，25；⑤❑ √3，❑ √4，❑ √5 【变式1-1】（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期中）若3，4，是一组勾股数，则＝__ ___． 【变式1-2】（2022·河南安阳·八年级阶段练习）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了 一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 1 则当a=24时，b+c的值为（ ）．162 B．200 ．242 D．288 【考点2 勾股树】 【例2】（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所 有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、B、、D 的边长分别是 5、3、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） ．13 B．26 ．47 D．94 【变式2-1】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）阅读材料： 分析探索题：细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题． OA2 2=(2) 2+4=8,S1=2； QA3 2=(❑ √8) 2+4=12,S2=2❑ √8 2 =❑ √8=2❑ √2； OA4 2=(❑ √12) 2+4=16,S3=2❑ √12 2 =❑ √12=2❑ √3…… (1)请用含有n(n为正整数)的等式Sn=¿______； (2)推算出OA10=¿______； (3)求出S1 2+S2 2+S3 2+……S10 2 的值． 【变式2-2】（2022·湖北·随州市曾都区学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长 为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为 边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S100的值为（ ） 1 ．( ❑ √2 2 ) 99 B．( ❑ √2 2 ) 100 ．( 1 2) 99 D．( 1 2) 100 【变式2-3】（2022·山东·济宁市兖州区东方中学八年级期中）有一个边长为1 的正方形， 经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角 形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变 得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） ．2022 B．2021 ．2020 D．1 【考点3 利用勾股定理求两点间距离】 【例3】（2022·河北邢台·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A (−2,1)，点B (4,6)， 点C (−4,2)，点D (2,3)，则下列说法正确的是（ ） ．AB=2CD B．BC=2 AD ．AC=2BD D．BC=2CD 【变式3-1】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点 P(-1，2)到原点的距离是_____________ 【变式3-2】（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）平面直角坐标系中两点，其中点A的 坐标为(1,1)，点B的坐标为(4,5)，则AB两点间的距离是_________． 【变式3-3】（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点 A (m, 0)、B (0, 3)，且AB=5，那么m 的值是________． 【考点4 利用勾股定理求线段长度】 【例4】（2022·重庆八中八年级期末）如图，在四边形BD 中，∠D=∠ACB=90°， AD=8，CD=6，且四边形BD 的面积为49，则B 的长为______． 1 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，将 矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形EFGD，边BC与DE交于点P，延长BC交FG于点 Q，若BQ=2BP，则BP的长为______． 【变式4-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△B 和Rt△DE 中，＝B＝2，D＝ E，∠BD＝15°，连接E，BD 交于点F，则BF 的长为（ ） ．2❑ √2 B．❑ √2 ．2❑ √3 D．❑ √3 【考点5 勾股定理中的分类讨论】 【例5】（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）已知△B 中，B=17，=10，B 边上的高 D=8，则边B 的长为（ ） ．21 B．6 ．21 或6 D．21 或9 【变式5-1】（2022·陕西榆林·八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3 和5，求第 三边的长． 【变式5-2】（2022·安徽安庆·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条 线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M， N是线段AB的勾股分割点．若AM=1，MN=2，则BN的长为______． 1 【变式5-3】（2022·云南·保山市第七中学八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P 从点B 出发，沿射线B 以2m/s 的速度 移动，设运动的时间为t(s)． (1)求B 边的长． (2)当△ABP为直角三角形时，求t 的值． 【考点6 勾股定理中的规律探究】 【例6】（2022·河南濮阳·八年级期中）如图，OP=1，过点P 作P P1⊥OP，且P P1=1， 得O P1=❑ √2；再过点P1作P1 P2⊥O P1且P1 P2=1，得O P2=❑ √3；又过点P2作 P2 P3⊥O P2且P2 P3=1，得O P3=2…，依此法继续作下去，得O P2022的值为（ ） ．❑ √2021 B．❑ √2022 ．❑ √2023 D．❑ √2024 【变式6-1】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，已知△B 是腰长 为1 的等腰直角三角形，以Rt△B 的斜边为直角边，画第二个等腰Rt△D，再以Rt△D 的斜 边D 为直角边，画第三个等腰Rt△DE，…，依此类推，则第2022 个等腰直角三角形的斜边 长是__________． 【变式6-2】（2022·湖北湖北·八年级期末）图1 是第七届国际数学育大会（ME-7）的会徽 图，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2）演化而成的．如图2 中的 O A1=A1 A2=A2 A3=⋅⋅⋅A7 A8=1，按此规律，在线段O A1，O A2，O A3，…O A20中， 长度为整数的线段有（ ）条． 1 ．3 B．4 ．5 D．6 【变式6-3】（2022·山东济宁·一模）如图甲，直角三角形B 的三边，b，，满足2+b2＝2的 关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△B 是腰长为1 的等腰直角三角形，∠B ＝90°，延长至B1，使B1＝，以B1为底，在△B 外侧作等腰直角三角形1B1，再延长1至B2， 使1B2＝1，以B2为底，在△1B1外侧作等腰直角三角形2B2，…，按此规律作等腰直角三角形 B（≥1，为正整数），则2B2的长及△2021B2021的面积分别是（ ） ．2，22020 B．4，22021 ．2❑ √2，22020 D．2，22019 【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例7】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△B 中，=8m，B=6m， ∠B=90°，分别以B，B，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）m2 ．18 B．24 ．36 D．48 【变式7-1】（2022·广东·东莞市南城开心实验学校八年级期中）如图，在Rt△B 中， ∠=90°．若B=15，则正方形DE 和正方形BFG 的面积和为（ ） ．150 B．200 ．225 D．无法计算 【变式7-2】（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，以直角三角形的三边， 1 b，为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系 满足S1+S2=S3的图形有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-3】（2022·浙江杭州·八年级期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如图，作三个等 腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别为 S1，S2，S3，S4． （1）当AC=6，BC=8 时， ①求S1的值； ②求S4-S2-S3的值； （2）请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例8】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△B 中，B＝6，＝9，D B ⊥于D，M 为D 上任一点，则M2－MB2等于（ ） ．29 B．32 ．36 D．45 【变式8-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图， 在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平 1 分△ABC的外角∠ACD，且EF/¿BC交AC于M，若CM=4，则CE 2+CF 2的值为 （ ） ．8 B．16 ．32 D．64 【变式8-2】（2022·北京·首都师大二附八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂 美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC ，BD交于点O，若 AB=6，CD=10，则A D 2+BC 2=¿______． 【变式8-3】（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级阶段练习）如图，射线AM ⊥AN 于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E． （1）若BC=10，直接写出A C 2+ A B 2的值； （2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积； （3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，B E 2−C E 2的值是否为定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围． 【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】 【例9】（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形BD 中，BD⊥交于点E．求证：D2+B2 ＝B2+D2． 1 【变式9-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 为斜边B 中点， DE⊥DF，求证：E F 2=B E 2+C F 2． 【变式9-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90°， 点D 是AB上一点，作等腰Rt △DCE，且∠DCE=90°，连接AE． (1)求证：△CEA ≌△CDB； (2)求证：B D 2+ A D 2=D E 2． 【变式9-3】（2022·福建·漳平市师进修学校八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC中， ∠C=90°，AC=BC，在Rt △ABD中，∠D=90°，AD与BC交于点E，且 ∠DBE=∠DAB．求证： （1）∠CAE=∠DBC； （2）A C 2+C E 2=4 B D 2． 1 【考点10 利用勾股定理求面积】 【例10】（2022·四川广元·八年级期末）如图，在四边形BD 中，∠DAB=∠BCD=90 °， 分别以四边形BD 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若 S1=48，S2+S3=135，则S4=¿（ ） ．183 B．87 ．119 D．81 【变式10-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图，点E 是正方形BD 内一点，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，则正方形BD 的面积为（ ） ．10 B．13 ．36 D．169 【变式10-2】（2022·广东·河源市东华实验学校八年级期中）已知直角三角形的三边分别 为7，n+1，n+2（n+2是斜边），则该三角形的面积为_________． 【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直线l 上依次摆放着7 个正方形，斜 放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是S1,S2,S3,S4， 则S1+S2+S3+S4=¿__________． 【考点11 勾股定理在格中的应用】 【例11】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形格中的每个小 正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： 1 (1)画一个三角形△B，使它的三边长分别为❑ √8，❑ √5，3 (2)求方格图中所画的△B 的面积 【变式11-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知△ABC三边长分别为2❑ √2， ❑ √13，❑ √17，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形格（小正方形边长 均为1），再画出格点三角形B，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即 可求出△ABC的面积．请你帮助小迪计算出△ABC的面积； （2）若△≝¿三边长分别为❑ √5a，❑ √10a，❑ √13a，在图②的正方形格（小正方形边长均 为）中，画出格点三角形DEF，并求出