模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（解析版）

模型一：猪蹄与锯齿模型 【模型结论】 如图，直线M∥B，则：①∠PB＝∠+∠B； ②∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3； ③∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 【证明】：（1）∠PB＝∠+∠B 这个结论正确，理由如下 如图1，过点P 作PQ∥M， ∵PQ∥M，M∥B ∴ ，PQ∥M∥B ∴∠ ∠ ， ＝ PQ ∠ ， B ∠ ＝ BPQ， ∴∠+∠B ∠ ＝ PQ+∠BPQ ∠ ＝ PB ∠ ，即： PB ∠ ＝ +∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， ∠ 故答为： +∠B+∠P2 ∠ ＝ P1+∠P3， （3）由（2 ∠ ）的规律得， +∠B+∠P2+…+P2 ∠ ＝ P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 故答为：∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 【模型辨析】 ①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型介绍 大 招 平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模 型 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：B∥D，则∠1+∠2＝ 180°； 如图2：B∥D，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：B∥D，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：B∥D，则∠1+∠2+…+∠＝（﹣1）180°。 【证明】在图1 中，∵B∥D，∴∠1+∠2＝180°； 在图2 中，过E 作B 的平行线EF，∵B∥D，∴EF∥D， ∴∠1+∠EF＝180° ∠ ， 3+∠EF＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝360°； 在图3 中，过E 作B 的平行线E，过点F 作B 的平行线FM， ∵B∥D ∴ ，E∥D∥FM ∴∠ ， 1+∠FM＝180° ∠ ， MFE+∠FE＝180°， ∠E+∠4＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝540°； 在图4 中，过各角的顶点依次作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线B∥D，∠＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） ．132° B．134° ．136° D．138° 解：过E 作EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥D∥EF， ∴∠＝∠FE，∠BE＝∠FE， ∵∠＝44°，∠E 为直角， ∴∠FE＝44°，∠BE＝∠EF＝90° 44° ﹣ ＝46°， ∴∠1＝180° ∠ ﹣ BE＝180° 46° ﹣ ＝134°，故选：B． 变式训练 【变式1-1】．如图，∠BD＝90°，B∥DE，则α 与β 一定满足的等式是（ ） ．α+β＝180° B．α+β＝90° ．β＝3α D．α β ﹣＝90° 解：过作F∥B， ∵B∥DE， ∴B∥DE∥F， ∴∠1＝∠β，∠α＝180° ∠2 ﹣ ， ∴∠α ∠β ﹣ ＝180° ∠2 ∠1 ﹣ ﹣ ＝180° ∠ ﹣ BD＝90°，故选：D． 【变式1-2】．如图，B∥D，∠B＝ ∠BM，∠D＝ ∠MD，∠M＝160°，则∠＝ 50° ． 例题精讲 解：如图所示，过M 作ME∥B，则 ∵B∥D， ∴B∥ME∥D， ∴∠BM+∠BMD+∠DM＝180°×2＝360°， 又∵∠BMD＝160°， ∴∠BM+∠DM＝200°， 又∵∠B＝ ∠BM，∠D＝ ∠MD， ∴∠BM+∠DM＝ ×200°＝150°， ∴四边形BMD 中，∠＝360° 150° 160° ﹣ ﹣ ＝50°， 故答为：50°． 【变式1-3】．如图，B∥D，M 在B 上，在D 上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ． 解：如图，过点E、F 作EG、F 平行于B， ∵B∥D， ∵B∥EG∥F∥D， ∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EF＝180°，∠F+∠4＝180°， ∴∠1+∠MEF+∠EF+∠4＝540°， 故答为：540°． 考点二：锯齿模型 【例2】．若B∥D，∠DF＝ ∠DE，∠BF＝ ∠BE，则∠E：∠F＝ 3 ： 2 ． 解：过E、F 分别作EM∥B，F∥B， ∵B∥D， ∴D∥EM，D∥F， ∴∠DE＝∠DEM，∠BE＝∠BEM，∠DF＝∠DF，∠BF＝∠BF， ∴∠DEB＝∠DE+∠BE，∠DFB＝∠DF+∠BF， ∵∠DF＝ ∠DE，∠BF＝ ∠BE ∴∠DFB＝ ∠DE+ ∠BE＝ ∠DEB， ∴∠DEB：∠DFB＝3：2， 故答为：3：2． 变式训练 【变式2-1】．如图，直线B∥D，∠EF＝30°，∠FG＝90°，∠M＝30°，∠P＝40°，则 ∠GM 的大小是（ ） ．20° B．30° ．40° D．50° 解：如图，作G∥B，K∥B 交M 于K． ∵B∥G，K∥B，B∥D， ∴B∥G∥K∥D， ∴∠FE＝∠GF＝30°， ∵∠FG＝90°， ∴∠G＝∠GK＝60°， ∵∠P＝∠K＝40°＝∠M+∠MK，∠M＝30°， ∴∠MK＝40° 30° ﹣ ＝10°， ∴∠GM＝60° 10° ﹣ ＝50°，故选：D． 【变式2-2】．如图①，已知B∥D，E，BE 的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠BE 和∠DE 的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠BE1和 ∠DE1 的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠BE2 和∠DE2 的平分线，交点为 E3…第次操作，分别作∠BE 1 ﹣和∠DE 1 ﹣的平分线，交点为E． 如图②，若∠E＝b°，则∠BE 的度数是 2 b ° ． 解：如图①，过E 作EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥EF∥D， ∴∠BE＝∠BEF，∠DE＝∠EF， ∵∠BE＝∠BEF+∠EF， ∴∠BE＝∠BE+∠DE； 如图②，∵∠BE 和∠DE 的平分线交点为E1， ∴∠E1B＝∠BE1+∠DE1＝ ∠BE+ ∠DE＝ ∠BE． ∵∠BE1和∠DE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2＝∠BE2+∠DE2＝ ∠BE1+ ∠DE1＝ ∠E1B＝ ∠BE； 如图②，∵∠BE2和∠DE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3＝∠BE3+∠DE3＝ ∠BE2+ ∠DE2＝ ∠E2B＝ ∠BE； … 以此类推，∠E＝ ∠BE．∴当∠E＝b°时，∠BE 等于2b° 考点三：铅笔头模型 【例3】已知B∥D，试解决下列问题： （1）如图1 所示，∠1+∠2＝ 180° ． （2）如图2 所示，∠1+∠2+∠3 等于多少度？请说明理由． （3）如图3 所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ． （4）如图4 所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠＝ （﹣ 1 ） ×180° ． 解：（1）如图1，∵B∥D， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答为：180°； （2）如图2，过点E 作B 的平行线EF， ∵B∥D， ∴B∥EF，D∥EF， ∴∠1+∠EF＝180°，∠FE+∠3＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°； （3）如图3，过点E，点F 分别作B 的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°， 故答为：540°； （4）如图4 由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠＝（﹣1） ×180°， 故答为：（﹣1）×180°． 变式训练 【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数为（ ） ．55° B．60° ．65° D．70° 解：过点E 作EF∥l1，标记如图所示． ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥EF， ∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°． ∵∠2＝140°，∠1＝105°， ∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°， ∴∠3＝65°．故选：． 【变式3-2】．如图，一环湖公路的B 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方 向的FE 段，则∠B+∠+∠D+∠E 的度数是 540° ． 解：如图，根据题意可知： B∥EF， 分别过点，D 作B 的平行线G，D， 所以B∥G∥D∥EF， 则∠B+∠BG＝180°， ∠GD+∠D＝180°， ∠DE+∠DEF＝180°， ∴∠B+∠BG+∠GD+∠D+∠DE+∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B+∠BD+∠DE+∠E＝540°．故答为540°． 【变式3-3】．如图，两直线B 与D 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 900 °． 解：分别过E 点，F 点，G 点，点作L1，L2，L3，L4平行于B 利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5 个180°的角， ∴180×5＝900°． 故答为：900． 1．如图，已知B∥D，∠＝140°，∠E＝120°，则∠的度数是（ ） ．80° B．100° ．120° D．140° 解： 过E 作EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥EF∥D， + ∴∠∠EF＝180°，∠+∠EF＝180°， + ∴∠∠EF+∠EF+∠＝360°， 即∠+∠E+∠＝360°， ∵∠＝140°，∠E＝120°， ∴∠＝100°，故选：B． 实战演练 2．如图，B∥ED，α＝∠+∠E，β＝∠B+ + ∠∠D，则β 与α 的数量关系是（ ） ．2β＝3α B．β＝2α ．2β＝5α D．β＝3α 解：过点作F∥B， ∵B∥ED， ∴F∥DE， ∴∠B+ 2 ∠＝∠D+ 1 ∠＝180°， ∴β＝∠B+∠BD+∠D＝∠B+ 2+ ∠ ∠D+ 1 ∠＝360°， ∵B∥DE， + ∴∠∠E＝α＝180°， 2 ∴α＝β，故选：B． 3．如图，若B∥EF，用含α、β、γ 的式子表示x，应为（ ） ．α+β+γ B．β+γ﹣α ．180°﹣α﹣γ+β D．180°+α+γ+β 解：过作D∥B，过M 作M∥EF， ∵B∥EF， ∴B∥D∥M∥EF， ∴α+∠BD＝180°，∠DM＝∠M，∠MF＝γ， ∴∠BD＝180°﹣α，∠DM＝∠M＝β﹣γ， ∴x＝∠BD+∠DM＝180°﹣α+β﹣γ， 故选：． 4．①如图1，B∥D，则∠+∠E+∠＝180°；②如图2，B∥D，则∠P＝∠﹣∠；③如图3， B∥D，则∠E＝∠+ 1 ∠；④如图4，直线B∥D∥EF，点在直线EF 上，则∠α﹣∠β+∠γ＝ 180°．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 解： ①如图1，过点E 作直线EF∥B， ∵B∥ D， ∴B∥D∥EF， + 1 ∴∠∠＝180°，∠2+∠＝180°， + ∴∠∠B+∠E＝360°， 故本结论错误，不符合题意； ②如图2，∵∠1 是△EP 的外角， 1 ∴∠＝∠+∠P， ∵B∥ D， ∴∠＝∠1， 即∠P＝∠﹣∠， 故本结论正确，符合题意； ③如图3，过点E 作直线EF∥B， ∵B∥ D， ∴B∥D∥EF， + 3 ∴∠∠＝180°，∠1＝∠2， + ∴∠∠E 1 ﹣∠＝180°， 即∠E＝180°+ 1 ∠ ∠ ﹣ ， 故本结论错误，不符合题意； ④如图4，∵B∥EF， ∴∠α＝∠BF， ∵D∥EF， ∴∠γ+∠F＝180°， ∵∠BF＝∠F+∠β， ∴∠F＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故本结论正确，符合题意； 综上结论正确的个数为2，故选：B． 5 如图，已知B∥DE，∠＝40°，∠D＝100°，则∠D 的度数是 ． 解：过作F∥B， ∵B∥DE， ∴B∥F∥DE， ∴∠ ∠ ＝ F＝40° ∠ ， D ∠ ＝ FD， ∵∠D＝100°，∴∠FD＝100° 40° ﹣ ＝60°，∴∠D＝60°．故选：． 6．如图，直线m∥，B⊥B，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BD 的度数为 解：如图，过B 作BE∥m，过作F∥， ∵m∥ ∴ ，m∥BE∥F∥ ∴∠ ， BE ∠ ＝ 1＝35° ∠ ， DF ∠ ＝ 2＝62°， ∵ 又B⊥B ∴∠ ， B＝90°， ∴∠EB＝90° 35° ﹣ ＝55° ∴∠ ， BF ∠ ＝ EB＝55°， ∴∠BD＝∠BF+∠DF＝55°+62°＝117°，故选：B． 7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2 的度数为 150° ． 解：延长B 交l2于E， ∵∠α＝∠β， ∴B∥D， ∵l1∥l2， 3 ∴∠＝∠1＝30°， 2 ∴∠＝180° 3 ﹣∠＝150°．故答为：150°． 8．如图，若直线∥b，那么∠x＝ 度． 解：令与130°互补的角为∠1，如图所示． 1+130° ∵∠ ＝180° ∴∠ ， 1＝50°． ∵∥b ∴ ，x+48°+20° ∠ ＝ 1+30°+52°， ∴x＝64°．故答为：64． 9．如图，已知B∥D，EF⊥B 于点E，∠E＝∠FG＝20°，∠＝50°，则∠EFG 的度 数是 ． 解：过点作M∥B，延长EF 交D 于点，如图所示： ∵B∥D，EF⊥B， ∴B∥M∥D，E⊥D， ∴∠EM ∠ ＝ E＝20° ∠ ， EG＝90° ∠ ， G ∠ ＝ GM， ∴∠GM ∠ ＝ EG﹣∠EM＝30°， ∴∠G＝30°， ∴∠GF ∠ ＝ G+∠FG＝50°， ∵∠EFG △ 是FG 的外角， ∴∠EFG ∠ ＝ EG+∠GF＝140°．故选：． 10．如图，B∥D ∠ ， BF＝ ∠BE ∠ ， DF＝ ∠DE ∠ ，则 E ∠ ： F＝ ． 解：过点E、F 分别作B 的平行线EG、F，由平行线的传递性可得B∥EG∥F∥D， ∵B∥F ∴∠ ， BF ∠ ＝ BF， ∵F∥D ∴∠ ， DF ∠ ＝ DF ∴∠ ， BFD ∠ ＝ DF+∠BF ∠ ＝ DF+∠BF； ∠ 同理可得 BED ∠ ＝ DEG+∠BEG ∠ ＝ BE+∠DE； ∵∠BF＝ ∠BE ∠ ， DF＝ ∠DE， ∴∠BFD ∠ ＝ DF+∠BF ∠ ＝ DF+∠BF＝ ∠ （ BE+∠DE）＝ ∠BED， ∴∠BED ∠ ： BFD＝3：2． 11．（1）如图1，M∥，求证： ①∠MB+∠B+∠B＝360°； ②∠ME+∠EF+∠EF+∠F＝540°； （2）如图2，若平行线M 与间有个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥M，则M∥∥BG ∴∠BG+∠BM＝180°，∠BG+∠B＝180° ∴∠BG+∠BM+∠BG+∠B＝360° ∴∠MB+∠B+∠B＝360° ②如图，过E 作EP∥M，过F 作FQ∥， ∵M∥， ∴EP∥FQ， ∴∠ME+∠EP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠FQ+∠F＝180° ∴∠ME+∠EF+∠EF+∠F＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有个点，则所有角的和为（+1）•180°． 证明：如图2，过个点作M 的平行线，则这些直线互相平行且与平行， ∴所有角的和为（+1）•180°． 12．如图，B∥D，∠BE＝120°． （1）如图①，写出∠BED 与∠D 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠DF＝ ∠DE，EF 与DF 交于点F，求∠EFD 的度数； （3）如图③，过B 作BG⊥B 于G 点，∠DE＝4∠GDE，求 的值． 解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°， 证明：如图①，延长B 交DE 于点F， ∵B∥ D， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠BE＝120°， ∴∠BFE+∠BED＝∠BE＝120°， ∴∠D+∠BED＝120°； （2）如图②， ∵∠DEF＝2∠BEF，∠DF＝ ∠DE， 即∠DE＝3∠DF， 设∠BEF＝α，∠DF＝β， ∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠DE＝3β，∠EDF＝2β， 由（1）知：∠BED+∠DE＝120°， 3 ∴α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， 2 ∴α+2β＝80°， ∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180° 80° ﹣ ＝100°， 答：∠EFD 的度数为100°； （3）如图③， ∵BG⊥B， ∴∠BG＝90°， ∵∠BE＝120°． ∴∠GBE＝∠BE﹣∠BG＝30°， ∵∠DE＝4∠GDE， ∴∠GDE＝ ∠DE， ∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE， ∴∠G+30°＝∠E+ ∠DE， 由（1）知：∠BED+∠DE＝120°， ∴∠DE＝120°﹣∠E， ∴∠G+30°＝∠E+ （120°﹣∠E）， ∴∠G＝ ∠E， ∴ ＝ ． 13．如图1，点是直线D 上一点，是直线GE 上一点，B 是直线D、GE 之间的一点． ∠DB+∠B+∠BE＝360° （1）求证：D∥E； （2）如图2，作∠BF＝∠BG，F 与∠B 的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠B 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点P 是线段B 上一点（不同于点），Q 是GE 上任 意一点，QR 平分∠PQG，PM∥QR，P 平分∠PQ，求∠PM 的度数． （1）证明：如图1 中，作BK∥D， ∵BK∥D， ∴∠DB+∠BK＝180°， ∵∠DB+∠B+∠BE＝360°， ∴∠BK+∠BE＝180°， ∴BK∥E， ∴D∥E． （2）如图1 中，作BK∥D， ∵D∥GE， ∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x， 2 ∵∠B﹣∠F＝90°， 2 ∴y+4x﹣x 2 ﹣y＝90°， ∴x＝30°， ∠B＝60°． （3）如图3 中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠P＝∠PQ＝y． ∵∠PQ＝∠P+∠PQG， 2 ∴y＝60°+2x， ∴y﹣x＝30°， ∵∠MPQ＝∠PQR＝x， ∴∠MP＝∠PQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°． 14（1）问题情境：如图1，B∥D，∠PB＝120°，∠PD＝130°，求∠P 的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P 作PE∥B，通过平行线的性质，可求得∠P 的度数．请写 出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动，当点P 在、B 两点之间运动时，设∠PD＝∠α， ∠DP＝∠β，∠BP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ 之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P 不在、B 两点之间运动时（点P 与点、B、三点不重合