专题16.4 二次根式的混合运算专项训练（50题）（解析版）

专题164 二次根式的混合运算专项训练（50 题） 【人版】 考卷信息： 本卷试题共50 道大题，本卷试题针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了二次根式的 混合运算的所有情况！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022 春•安庆期末）计算： （1）❑ √48÷ ❑ √3+¿2❑ √ 1 5 ×❑ √30−¿（2❑ √2+❑ √3）2 （2）（−1 2 ）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−❑ √2) 0− ❑ √(−4) 2+❑ √25 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并 即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）原式¿ ❑ √48÷3+¿2❑ √ 1 5 ×30−¿（8+4❑ √6+¿3） ＝4+2❑ √6−¿11 4 ﹣❑ √6 ＝﹣7 2 ﹣❑ √6； （2）原式＝4 1×1 4+5 ﹣ ﹣ ＝4 1 4+5 ﹣﹣ ＝4． 2．（2022 春•岳池县期中）计算： ❑ √2×❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）2−❑ √2（❑ √2−❑ √6） 【分析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可． 【解答】解： ❑ √2×❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）2−❑ √2（❑ √2−❑ √6） ＝2+3 4 ﹣❑ √3+¿4 2+2 ﹣ ❑ √3 ＝7 2 ﹣❑ √3 3．（2022 春•朝阳县期末）计算： （1）1 2 ❑ √12−¿（3❑ √ 1 3 +❑ √2）； （2）（❑ √3+¿1）（❑ √3−¿1）+❑ √24−¿（1 2）0． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去括号后合并即可； （2）利用平方差公式和零指数幂的意义计算． 1 【解答】解：（1）原式¿ ❑ √3−❑ √3−❑ √2 ¿−❑ √2； （2）原式＝3 1+2 ﹣ ❑ √6−¿1 ＝1+2❑ √6． 4．（2022 春•越秀区校级期末）计算： （1）（2❑ √12−¿6❑ √ 1 3 +¿3❑ √48）÷2❑ √3； （2）（2❑ √5+¿5❑ √2）（2❑ √5−¿5❑ √2）﹣（❑ √5−❑ √2）2． 【分析】（1）先计算括号，再计算除法即可； （2）利用乘法公式计算即可； 【解答】解：（1）（2❑ √12−¿6❑ √ 1 3 +¿3❑ √48）÷2❑ √3； ＝（4❑ √3−¿2❑ √3+¿12❑ √3）÷2❑ √3 ＝14❑ √3÷2❑ √3 ＝7 （2）（2❑ √5+¿5❑ √2）（2❑ √5−¿5❑ √2）﹣（❑ √5−❑ √2）2． ＝（2❑ √5）2﹣（5❑ √2）2﹣（5 2 ﹣❑ √10+¿2） ＝20 50 ﹣ ﹣（7 2 ﹣❑ √10） ＝﹣37+2❑ √10． 5．（2022 春•围场县期末）计算： （1）❑ √27×❑ √50÷ ❑ √6 （2）（❑ √12+❑ √20）+（❑ √3−❑ √5） （3）2 3 ❑ √9 x+¿6❑ √ x 4 （4）（2❑ √48−¿3❑ √27）÷ ❑ √6． 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则运算； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （4）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算． 【解答】解：（1）原式＝3❑ √3×5❑ √2÷ ❑ √6 ＝15； （2）原式＝2❑ √3+¿2❑ √5+❑ √3−❑ √5 ＝3❑ √3+❑ √5； （3）原式＝2❑ √x+¿3❑ √x 1 ＝5❑ √x； （4）原式＝（8❑ √3−¿9❑ √3）÷ ❑ √6 ¿−❑ √3÷ ❑ √6 ¿− ❑ √2 2 ． 6．（2022 春•河东区期末）计算：（❑ √3+❑ √2）（❑ √3−❑ √2）−❑ √54× 1 ❑ √6 ． 【分析】先利用平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后进行加减运算． 【解答】解：原式＝3 2 ﹣−❑ √ 54 6 ＝1 3 ﹣ ＝﹣2． 7．（2022 春•博乐市月考）计算： （1）❑ √18+❑ √98−❑ √27 （2）（π 1 ﹣）0+（−1 2 ）﹣1+|5−❑ √27| 2 ﹣❑ √3 （3）（ ❑ √48−1 4 ❑ √6）÷ ❑ √27； （4）|1−❑ √2|+|❑ √2−❑ √3|+|❑ √3−❑ √4|+…+|❑ √99−❑ √100| 【分析】（1）首先化简二次根式进而合并求出答； （2）首先利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出 答； （3）首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答； （4）直接去绝对值，进而求出答． 【解答】解：（1）❑ √18+❑ √98−❑ √27 ＝3❑ √2+¿7❑ √2−¿3❑ √3 ＝10❑ √2−¿3❑ √3； （2）（π 1 ﹣）0+（−1 2 ）﹣1+|5−❑ √27| 2 ﹣❑ √3 ＝1 2+3 ﹣ ❑ √3−¿5 2 ﹣❑ √3 ＝﹣6+❑ √3； （3）（ ❑ √48−1 4 ❑ √6）÷ ❑ √27 1 ＝（4❑ √3− ❑ √6 4 ）÷3❑ √3 ¿ 4 3 − ❑ √2 12 ； （4）|1−❑ √2|+|❑ √2−❑ √3|+|❑ √3−❑ √4|+…+|❑ √99−❑ √100| ¿ ❑ √2−¿1+❑ √3−❑ √2+❑ √4−❑ √3+⋯+❑ √100−❑ √99 ¿ ❑ √100−¿1 ＝9． 8．（2022 秋•灞桥区校级月考）计算： （1）（❑ √12−¿3❑ √ 1 3 ）﹣（❑ √ 1 8−❑ √18） （2） ❑ √27−❑ √60 ❑ √3 +¿2❑ √5 （3）（❑ √2+❑ √3）（❑ √2−❑ √3）+（2❑ √2+¿3❑ √3）2 （4）（4❑ √3−¿2❑ √12+¿3❑ √18）÷ ❑ √ 1 3 ． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可； （2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可； （3）利用平方差各完全平方公式计算； （4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并 后进行二次根式的乘法运算． 【解答】解：（1）原式＝2❑ √3−❑ √3− ❑ √2 4 +¿3❑ √2 ¿ ❑ √3+ 11❑ √2 4 ； （2）原式¿ ❑ √ 27 3 −❑ √ 60 3 +¿2❑ √5 ＝3 2 ﹣❑ √5+¿2❑ √5 ＝3； （3）原式＝2 3+8+12 ﹣ ❑ √6+¿27 ＝34+12❑ √6； （4）原式＝（4❑ √3−¿4❑ √3+¿9❑ √2）÷ 1 ❑ √3 ＝9❑ √2•❑ √3 1 ＝9❑ √6． 9．（2022 春•龙门县期末）计算：（3+❑ √5）（3−❑ √5）﹣（❑ √3−¿1）2． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步合并即可． 【解答】解：原式＝9 5 4+2 ﹣﹣ ❑ √3 ＝2❑ √3． 10．（2022 春•保定期末）计算题 （1）❑ √27−❑ √12 （2）❑ √27×❑ √ 1 3−¿（❑ √5+❑ √3）（❑ √5−❑ √3） 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘法法则和平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝3❑ √3−¿2❑ √3 ¿ ❑ √3； （2）原式¿ ❑ √27× 1 3−¿（5 3 ﹣） ＝3 2 ﹣ ＝1． 11．（2022 春•鄞州区期中）计算： （1）2❑ √10×❑ √ 1 5 +¿3❑ √2； （2）（﹣2❑ √6）2﹣（❑ √5−❑ √3）（❑ √5+❑ √3） 【分析】（1）先计算乘法，再合并同类二次根式即可得； （2）先计算乘方、利用平方差公式计算，再进一步计算可得答． 【解答】解：（1）原式＝2×❑ √10× 1 5 +¿3❑ √2 ＝2❑ √2+¿3❑ √2 ＝5❑ √2； （2）原式＝24﹣（5 3 ﹣） ＝24 2 ﹣ ＝22． 12．（2022 春•龙口市期中）计算 （1）（❑ √2−❑ √3）2+2❑ √ 1 3 •3❑ √2； 1 （2）（5❑ √48−¿6❑ √27+¿4❑ √15）÷ ❑ √3． 【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化 简为最简二次根式后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法 运算． 【解答】解：（1）原式＝2 2 ﹣❑ √6+¿3+2❑ √3 3 ×3❑ √2 ＝5 2 ﹣❑ √6+¿2❑ √6 ＝5； （2）原式＝（2022❑ √3+¿4❑ √15）÷ ❑ √3 ＝（2❑ √3+¿4❑ √15）÷ ❑ √3 ＝2+4❑ √5． 13．（2022 春•嘉兴期中）计算： （1）[❑ √2− ❑ √(−2) 2]⋅❑ √2+¿2❑ √2 （2）（❑ √5+¿1）2﹣（❑ √5+¿1）（❑ √5−¿1） 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法法则运算，最后合 并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝（❑ √2−¿2）•❑ √2+¿2❑ √2 ＝2 2 ﹣❑ √2+¿2❑ √2 ＝2； （2）原式＝5+2❑ √5+¿1﹣（5 1 ﹣） ＝6+2❑ √5−¿4 ＝2+2❑ √5． 14．（2022 春•天心区校级期中）计算： （1）（❑ √20+❑ √5+¿5）÷ ❑ √5−❑ √ 1 3 ×❑ √24−❑ √5； （2）❑ √18−❑ √ 9 2− ❑ √3+❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）0+ ❑ √(1−❑ √2) 2． 【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果； （2）原式各项后，计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝（❑ √4+¿1+❑ √5）−❑ √8−❑ √5=¿3+❑ √5−¿2❑ √2−❑ √5=¿3 2 ﹣ ❑ √2； 1 （2）原式＝3 ❑ √2−3 2 ❑ √2−¿（1+❑ √2）+1+（❑ √2−¿1）¿ 3 2 ❑ √2−¿1−❑ √2+¿1+❑ √2−¿1 ¿ 3 2 ❑ √2−¿1． 15．（2022 春•定州市期末）计算： （1） ❑ √18−2 ❑ √2− ❑ √8 2 +¿（❑ √5+¿1）0 （2）（❑ √a+❑ √b）2﹣（❑ √a−❑ √b）2． 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的性质计算； （2）根据完全平方公式把原式展开，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1） ❑ √18−2 ❑ √2− ❑ √8 2 +¿（❑ √5+¿1）0 ＝3❑ √2−❑ √2−❑ √2+¿1 ¿ ❑ √2+¿1； （2）（❑ √a+❑ √b）2﹣（❑ √a−❑ √b）2 ＝+2❑ √ab+¿b +2 ﹣ ❑ √ab−¿b ＝4❑ √ab． 16．（2022 秋•雁塔区校级期中）（1）化简： ❑ √12+❑ √27+ 1 4 ❑ √48−¿15❑ √ 1 3 ． （2）计算：（5+❑ √6）（5❑ √2−¿2❑ √3） 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）把后面括号内提❑ √2，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝2❑ √3+¿3❑ √3+❑ √3−¿5❑ √3 ¿ ❑ √3； （2）原式＝（5+❑ √6）•❑ √2（5−❑ √6） ¿ ❑ √2×（25 6 ﹣） ＝19❑ √2． 17．（2022 秋•琅琊区校级期中）计算： （1）❑ √18−❑ √ 9 5−¿（❑ √10−¿1）÷ ❑ √5 （2）（❑ √12+¿5❑ √8）⋅❑ √3 （3）❑ √4 0 2−24 2 （4）❑ √8− ❑ √(1−❑ √2) 2+¿（π 2 ﹣）0 +1 −❑ √2 +¿|❑ √2−❑ √3| 【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可； 1 （2）根据二次根式的乘法法则运算； （3）先利用平方差公式计算根号内的运算，然后利用二次根式的乘法法则运算； （4）根据二次根式的性质和零指数幂的意义运算． 【解答】解：（1）原式＝3❑ √2−3 ❑ √5 5 −❑ √10÷5+❑ √1÷5 ＝3❑ √2−3 ❑ √5 5 −❑ √2+ ❑ √5 5 ＝2❑ √2−2❑ √5 5 ； （2）原式¿ ❑ √12×3+¿5❑ √8×3 ＝6+10❑ √6； （3）原式¿ ❑ √(40+24)(40−24) ¿ ❑ √64×❑ √16 ＝8×4 ＝32； （4）原式＝2❑ √2+¿1−❑ √2+¿1−❑ √2 2 +❑ √3−❑ √2 ＝2+❑ √3− ❑ √2 2 ． 18．（2022 秋•资中县月考）计算： （1）（❑ √3+¿2−❑ √7）（❑ √3−¿2−❑ √7） （2）（❑ √3+¿2−❑ √7）2﹣（❑ √3−¿2−❑ √7）2． 【分析】（1）原式变形为[(❑ √3−❑ √7)+2][(❑ √3−❑ √7)−2]，利用平方差公式计算可得； （2）利用平方差公式计算即可得． 【解答】解：（1）(❑ √3+2−❑ √7)(❑ √3−2−❑ √7) ¿[(❑ √3−❑ √7)+2][(❑ √3−❑ √7)−2]， ¿(❑ √3−❑ √7) 2−2 2， ＝3 2 ﹣❑ √21+¿7 4 ﹣， ＝6 2 ﹣❑ √21； （2）(❑ √3+2−❑ √7) 2−(❑ √3−2−❑ √7) 2 ¿[(❑ √3+2−❑ √7)+(❑ √3−2−❑ √7)]⋅[(❑ √3+2−❑ √7)−(❑ √3−2−❑ √7)]， ¿(2❑ √3−2❑ √7)×4， ¿8 ❑ √3−8 ❑ √7． 1 19．（2022 春•卢龙县校级期中）计算 （1）❑ √2 1 4 ÷3❑ √28×（﹣5❑ √2 2 7 ） （2）3❑ √12−¿3❑ √ 1 3 + 1 2 ❑ √48−❑ √27 （3）（❑ √3+¿2）2007×（❑ √3−¿2）2008 （4）（❑ √5+❑ √2）2﹣（❑ √5−❑ √2）2． 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）根据积的乘方得到原式＝[（❑ √3+¿2）（❑ √3−¿2）]2007•（❑ √3−¿2），然后利用平 方差公式计算； （4）先利用完全平方公式计算，然后去括号后合并即可． 【解答】解：（1）原式¿ 1 3 ×（﹣5）×❑ √ 9 4 × 1 28 × 16 7 ¿−5 7； （2）原式＝6❑ √3−❑ √3+¿2❑ √3−¿3❑ √3 ＝4❑ √3； （3）原式＝[（❑ √3+¿2）（❑ √3−¿2）]2007•（❑ √3−¿2） ＝（3 4 ﹣）2007•（❑ √3−¿2） ＝2−❑ √3； （4）原式＝5+2❑ √10+¿2﹣（5 2 ﹣❑ √10+¿2） ＝7+2❑ √10−¿7+2❑ √10 ＝4❑ √10． 20．（2022 春•潜江校级月考）计算 （1）（1 ❑ √5 +❑ √20−¿3❑ √5）×❑ √10； （2）❑ √12−¿（﹣2013）0+（1 2）﹣1+|❑ √3−¿1|； （3）5❑ √ 1 5 + 1 2 ❑ √20−¿（❑ √3−¿2）（❑ √3+¿2）； （4）（2❑ √3−¿1）（❑ √3+¿1）﹣6❑ √48÷2❑ √3−¿（3❑ √2）2． 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算； （3）先利用平方差公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； 1 （4）先利用二次根式的乘除法则运算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝（ ❑ √5 5 +¿2❑ √5−¿3❑ √5）×❑ √10 ¿−4 ❑ √5 5 ×❑ √10 ＝﹣4❑ √2； （2）原式＝2❑ √3−¿1+2+❑ √3−¿1 ＝3❑ √3； （3）原式¿ ❑ √5+❑ √5−¿（3 4 ﹣） ＝2❑ √5+¿1； （4）原式＝6+2❑ √3−❑ √3−¿1 3 ﹣❑ √48÷3−¿18 ＝6+❑ √3−¿1 12 18 ﹣ ﹣ ¿ ❑ √3−¿25． 21．（2022 春•凉州区校级月考）计算： （1）❑ √24（−❑ √ 2 3 +¿3❑ √ 5 6 +❑ √5）； （2） 2 ❑ √2−1 +❑ √18−¿4❑ √ 1 2 （3）（5❑ √48−¿6❑ √27+¿4❑ √15）÷ ❑ √3． 【分析】（1）先进行二次函数的乘法运算，然后化简后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）利用二次根式的除法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝2❑ √6（−❑ √6 3 + ❑ √30 2 +❑ √5） ＝﹣4+6❑ √5+¿2❑ √30； （2）原式＝2（❑ √2+¿1）+3❑ √2−¿2❑ √2 ＝2❑ √2+¿2+❑ √2 ＝3❑ √2+¿2； （3）原式＝5❑ √48÷3−¿6❑ √27÷3+¿4❑ √15÷3 ＝20 18+4 ﹣ ❑ √5 ＝2+4❑ √5． 22．（2022 春•泰山区期中）计算： （1）❑ √18+¿2❑ √3−¿（❑ √27−❑ √2）； （2）﹣6❑ √8×2❑ √6÷4❑ √27； 1 （3）（❑ √13+❑ √2）（❑ √13−❑ √2）﹣（❑ √3+¿2❑ √2）2； （4）（6❑ √ 3 2−¿5❑ √ 1 2 ）（1 4 ❑ √8+❑ √ 2 3 ） 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘除法则运算； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算； （4）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝3❑ √2+¿2❑ √3−¿3❑ √3+❑ √2 ＝4❑ √2−❑ √3； （2）原式＝﹣6×2× 1 4 ×❑ √8×6× 1 27 ＝﹣4； （3）原式＝13 2 ﹣﹣（3+4❑ √6+¿8） ＝11 11 4 ﹣ ﹣❑ √6 ＝﹣4❑ √6； （4）原式＝（3❑ √6−5 ❑ √2 2 ）（ ❑ √2 2 + ❑ √6 3 ） ＝3❑ √3+¿6−5 2 −5 ❑ √3 3 ¿ 7 2 + 4 ❑ √3 3 ． 23．（2022 春•涿州市校级期中）计算： （1）（❑ √24−❑ √ 1 2 ）﹣