专题16.3 二次根式的加减【八大题型】（原卷版）

专题163 二次根式的加减【八大题型】 【人版】 【题型1 同类二次根式的判断】.............................................................................................................................1 【题型2 求同类二次根式中的参数】.....................................................................................................................1 【题型3 二次根式的加减运算】.............................................................................................................................2 【题型4 二次根式的混合运算】.............................................................................................................................3 【题型5 已知字母的值化简求值】.........................................................................................................................3 【题型6 已知条件式化简求值】.............................................................................................................................4 【题型7 二次根式的新定义运算】.........................................................................................................................4 【题型8 二次根式的应用】.....................................................................................................................................4 【知识点1 同类二次根式】 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同 类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被 开方数是否相同． 【题型1 同类二次根式的判断】 【例1】（2022 春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ） ．❑ √3与❑ √32 B．❑ √6与❑ √12 ．❑ √5与❑ √75 D．❑ √12与❑ √27 【变式1-1】（2022 春•郯城县期中）下列根式中，与❑ √6 x不是同类二次根式的是（ ） ．❑ √ x 6 B．❑ √ 6 x ．❑ √ 1 6 x D．❑ √6+x 【变式1-2】（2022 春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同， 则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一 组是（ ） ．❑ √8与❑ √32 B．❑ √45与❑ √20 ．❑ √27与❑ √75 D．❑ √24与❑ √80 【变式1-3】（2022 春•河西区校级月考）下列各式中与❑ √a+b是同类二次根式的是（ ） 1 A．1 a ❑ √(a+b) 2 B．1 3 ❑ √3(a+b) ．❑ √ a+b 2 D．❑ √ 9 a+b 【题型2 求同类二次根式中的参数】 【例2】（2022 春•怀远县期中）已知二次根式−❑ √x−2． （1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围； （2）已知−❑ √x−2为最简二次根式，且与❑ √ 5 2 为同类二次根式，求x 的值，并求出这两 个二次根式的积． 【变式2-1】（2022 秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式❑ √3a+8与❑ √12−a是同类二次 根式，那么3❑ √a的值为 ． 【变式2-2】（2022 春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果❑ √16(2m+n)和m−n−1 √m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、的值． 解：因为❑ √16(2m+n)与m−n−1 √m+7可以合并 所以{ m−n−1=2 16(2m+n)=m+7即{ m−n=3 31m+16n=7 解得{ m= 55 47 n=−86 47 问： （1）以上解是否正确？答 ． （2）若以上解法不正确，请给出正确解法． 【变式2-3】（2022 春•孟村县期中）若最简二次根式3 x−10 √2 x+ y−5和❑ √x−3 y+11是同 类二次根式． （1）求x，y 的值； （2）求❑ √x 2+ y 2的值． 【知识点2 二次根式的加减法则】 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进 行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变． 【题型3 二次根式的加减运算】 【例3】（2022 春•普兰店区期中）计算： （1）❑ √18−❑ √32+❑ √2 1 （2）7❑ √8a−4 a 2❑ √ 1 8a +7 a ❑ √2a． 【变式3-1】（2022 春•高密市校级月考）计算： （1）❑ √0.25+❑ √ 9 25 +❑ √0.49+¿|−❑ √ 1 100 | （2）❑ √0.01−❑ √ 1 100 +¿（﹣1）3❑ √(−0.01) 2+❑ √0 （3）4 ❑ √5+❑ √45−❑ √8+4 ❑ √2． 【变式3-2】（2022 秋•浦东新区期中）化简：❑ √8ab−b ❑ √ 2a b −a ❑ √ b 2a （＞0，b＞0） 【变式3-3】（2022 秋•浦东新区期末）计算下列各式： （1）❑ √5−❑ √6−❑ √20+❑ √ 2 3 +❑ √ 9 5 （2）❑ √12−❑ √0.5−2❑ √ 1 3−❑ √ 1 8 +❑ √18 （3）❑ √27 a−a ❑ √ 3 a +3 ❑ √ a 3 + 1 2a ❑ √75a 3 （4）2 3 x ❑ √9 x+6 x ❑ √ y x + y ❑ √ x y −x 2❑ √ 1 x ． 【题型4 二次根式的混合运算】 【例4】（2022 春•安庆期末）计算： （1）❑ √48÷ ❑ √3+¿2❑ √ 1 5 ×❑ √30−¿（2❑ √2+❑ √3）2 （2）（−1 2 ）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−❑ √2) 0− ❑ √(−4) 2+❑ √25 【变式4-1】（2022 春•岳池县期中）计算： ❑ √2×❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）2−❑ √2（❑ √2−❑ √6） 【变式4-2】（2022 春•天心区校级期中）计算： （1）（❑ √20+❑ √5+¿5）÷ ❑ √5−❑ √ 1 3 ×❑ √24−❑ √5； （2）❑ √18−❑ √ 9 2− ❑ √3+❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）0+ ❑ √(1−❑ √2) 2． 【变式4-3】（2022 秋•昌江区校级期末）（ ❑ √a+ b−❑ √ab ❑ √a+❑ √b ）÷（ a ❑ √ab+b + b ❑ √ab−a−a+b ❑ √ab ）（≠b）． 1 【题型5 已知字母的值化简求值】 【例5】（2022 秋•如东县期末）已知x＝1−❑ √3，求代数式（4+2❑ √3）x2+（1−❑ √3）x+8 ❑ √3． 【变式5-1】（2022 秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知¿ 1 2+❑ √3，求a 2−2a+1 a−1 − ❑ √a 2−2a+1 a 2−a 的值． 【变式5-2】（2022 春•容县校级月考）已知＝2，b＝3，求式子❑ √a 3b−❑ √ab+ ❑ √a 3b 3的值． 【变式5-3 】（2022 秋• 天河区校级月考）已知x¿ 1 ❑ √2021−❑ √2020，则x6 2 ﹣ ❑ √2020 x 5−x 4+x 3−2❑ √2021 x 2+2 x−❑ √2021的值为（ ） ．0 B．1 ．❑ √2020 D．❑ √2021 【题型6 已知条件式化简求值】 【例6】（2022 秋•虹口区校级期中）已知x−b a =¿2−x−a b ，且+b＝2，请化简并求值以 下代数式： ❑ √x+1−❑ √x ❑ √x+1+❑ √x + ❑ √x+1+❑ √x ❑ √x+1−❑ √x ． 【变式6-1】（2022 春•阳信县期中）已知❑ √ x−6 9−x = ❑ √x−6 ❑ √9−x ，且x 为奇数，求（1+x）• ❑ √ x 2−5 x+4 x 2−1 的值． 【变式6-2】（2022 秋•鼓楼区校级期末）若三个正数，b，满足+4❑ √ab+¿3b 2 ﹣❑ √bc−¿＝ 0，则 ❑ √a+❑ √b ❑ √c 的值是 ． 【变式6-3】（2022 春•芝罘区期末）若实数，b 满足（❑ √a+❑ √b）（❑ √a+❑ √b−¿2）＝3， 则❑ √a+❑ √b的值是 ． 【题型7 二次根式的新定义运算】 【例7 】（2022 春• 郧阳区期中）对于任意的正数m ，定义运算* 为：m* ¿{ ❑ √m−❑ √n(m≥n) ❑ √m+❑ √n(m＜n) ，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ． 【变式7-1】（2022 春•江岸区校级月考）对于实数、b 作新定义：@b＝b，※b＝b，在此定 义下，计算：（❑ √ 4 3 −❑ √ 3 2 ）@❑ √12−¿（❑ √75−¿4❑ √3）※2＝ ． 【变式7-2】（2022 秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当＞b 时，△b＝ +b；当≤b 时，△b＝﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（❑ √3△❑ √2）﹣（2❑ √3 3 △ 1 ❑ √2）＝ ． 【变式7-3】（2022 秋•厦门期末）若+b＝2，则称与b 是关于1 的平衡数． （1）3 与 是关于1 的平衡数，5−❑ √2与 是关于1 的平衡数； （2）若（m+❑ √3）×（1−❑ √3）＝﹣5+3❑ √3，判断m+❑ √3与5−❑ √3是否是关于1 的平衡 数，并说明理由． 【题型8 二次根式的应用】 【例8】（2022 春•定州市校级月考）2016 年6 月4 日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全 面加大城镇林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了 绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长 为❑ √243m、宽为❑ √128m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2 元的草坪，求在该长方形土地上全部 种植草坪的总费用（提示：❑ √6≈245） 【变式8-1】（2022 春•岱岳区期末）在一个边长为（2❑ √3+¿3❑ √5）m 的正方形的内部挖去 一个长为（2❑ √3+❑ √10）m，宽为（❑ √6−❑ √5）m 的矩形，求剩余部分图形的面积． 【变式8-2】（2022 春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为， b，，记p=a+b+c 2 ，那么这个三角形的面积S¿ ❑ √p( p−a)( p−b)( p−c)．这个公式 叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九 韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△B 中，＝9，b＝7，＝8． （1）求△B 的面积； （2）设B 边上的高为1，边上的高为2，求1+2的值． 【变式8-3】（2022 秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形BD 的绿地，长方 形绿地的长B 为8❑ √3米，宽B 为❑ √98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即 图中阴影部分），长方形花坛的长为❑ √13+¿1 米，宽为❑ √13−¿1 米． （1）长方形BD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6 元/m2的地 1 砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 1