专题16.1 二次根式【九大题型】（原卷版）

专题161 二次根式【九大题型】 【人版】 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】.........................................................................................................1 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】.........................................................................................................1 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】........................................................................................................2 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】............................................................................................................2 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】.................................................................................................. 3 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】......................................................................................3 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】..................................................................................4 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】.................................................................................................. 4 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】.................................................................................................................. 5 【知识点1 二次根式的定义】 形如❑ √a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑ √❑叫做二次根号，a叫做被开方数 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 【例1】（2022 春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ） ❑ √3，❑ √m，❑ √x 2+1，3 √4，❑ √−m 2−1， ❑ √a 3 （≥0），❑ √2a+1（＜1 2） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式1-1】（2022 春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ） ．❑ √−2 B．−❑ √2 ．3 √2 D．❑ √x 【变式1-2】（2022 春•宜城市期末）在式子❑ √2，3 √3，❑ √x 2+1，x+y 中，二次根式有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-3】（2022 春•凤庆县期末）下列各式：❑ √5、❑ √a 2，❑ √−3，3 √8，❑ √x−1( x⩾1)， ❑ √x 2+2 x+1中，一定是二次根式的有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 【例2】（2022 春•莱州市期末）若❑ √12n是整数，则正整数的最小值是（ ） ．1 B．3 ．6 D．12 【变式2-1】（2022 春•昭阳区校级月考）若❑ √80n是整数，则正整数的最小值是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 1 【变式2-2】（2022 春•信州区校级月考）当x＝ −1 2 时，代数式3−❑ √2 x+1有最大值， 其最大值是 ． 【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知为实数，则代数式❑ √27−12a+2a 2的最小 值为（ ） ．0 B．3 ．3 ❑ √3 D．9 【知识点2 二次根式有意义的条件】 （1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：❑ √a≥0 【知识点3 判断二次根式有意义的条件】 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被 开方数都必须是 非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分 母不为零． 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 【例3】（2022 春•来凤县期末）若代数式❑ √ 1 5 x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围 是（ ） ．x＞5 B．x≥5 ．x≠5 D．x＜5 【变式3-1】（2022 春•泰山区期末）若式子 ❑ √a+1 a−2 有意义，则的取值范围为（ ） ．≥﹣1 B．≠2 ．≥﹣1 且≠2 D．＞﹣1 【变式3-2】（2022 春•泰山区期末）若❑ √(3 x−4) 2=4−3 x，则x 的取值范围是 ． 【变式3-3】（2022 春•睢县期中）若 ❑ √4 x 6−¿ x∨¿¿有意义，则x 的取值范围为 ． 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 【例4】（2022 春•海淀区校级期末）已知，b 都是实数，b¿ ❑ √1−2a+❑ √4 a−2−2，则b 的值为 ． 【变式4-1】（2022 春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式❑ √a 2=¿a∨¿后， 研究了如下四个问题，其中错误的是（ ） ．在＞1 的条件下化简代数式a+ ❑ √a 2−2a+1的结果为2 1 ﹣ B．a+ ❑ √a 2−2a+1的值随变化而变化，当取某个数值时，上述代数式的值可以为06 ．当a+ ❑ √a 2−2a+1的值恒为定值时，字母的取值范围是≤1 D．若❑ √a 2−2a+1=(❑ √a−1) 2，则字母必须满足≥1 1 【变式4-2】（2022 春•海安市校级月考）若x，y 是实数，且y ＜❑ √x−1+❑ √1−x+ 1 2，求 ¿1−y∨ ¿ y−1 ¿的值为 ． 【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知满足|2017 | ﹣+❑ √a−2018=¿，则﹣20172 的值是 ． 【知识点4 二次根式的性质】 性质1：(❑ √a) 2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：❑ √a 2=|a|={ a（a≥0） −a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对 值 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 【例5】（2022 春•平山县期末）二次根式❑ √(−2) 2的值是（ ） ．﹣2 B．2 或﹣2 ．4 D．2 【变式5-1】（2022 春•金东区期中）下列计算正确的是（ ） ．❑ √9=¿±3 B．❑ √2 2+3 2=¿5 ．❑ √4=¿2 D．❑ √(−3) 2=−¿3 【变式5-2】（2022 春•乐清市期末）当＝5 时，二次根式❑ √4+a的值是（ ） ．3 B．2 ．1 D．﹣1 【变式5-3】（2022 春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（ ） ．❑ √25=±5 B．❑ √−(❑ √5) 2=❑ √5 ．❑ √16 1 4 =4 1 2 D．3 √( 1 8 ) 2 = 1 4 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 【例6】（2022•泗水县二模）已知y= ❑ √( x−3) 2−x+4，当x 分别取正整数1，2，3，4， 5，…，2022 时，所对应y 值的总和是（ ） ．2026 B．2027 ．2028 D．2029 【变式6-1】（2022 秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写 出正确的解答． 已知m 为实数，化简：− ❑ √−m 3−m ❑ √ −1 m 解：原式¿−m ❑ √−m−m⋅1 m ❑ √−m ¿(−m−1)❑ √−m． 1 【变式6-2】（2022 春•凤凰县月考）若式子❑ √4−4 a+a 2与❑ √a 2−8a+16的和为2，则的 取值范围是 ． 【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式❑ √x 2( x+1)=−x ❑ √x+1成立的x 的取值范围在数轴上 表示为（ ） ． B． ． D． 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 【例7】（2022 春•黄骅市期中）已知，b，在数轴上的位置如下图：化简代数式❑ √a 2−¿| +b|+ ❑ √(c−a) 2+¿|b+|的值为 【变式7-1】（2022•宁波）已知：＜0，化简❑ √4−(a+ 1 a ) 2 − ❑ √4+(a−1 a ) 2 =¿ ． 【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数、b、在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的 值❑ √a 2− ❑ √(c−a+b) 2+¿|b+|− 3 √b 3=¿ ． 【变式7-3】（2022 春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求❑ √1−2 x+x 2+ ❑ √x 2−8 x+16的 值． 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m 是某三角形三边的长，则❑ √(m−4) 2− ❑ √(m−8) 2等 于（ ） ．2m 12 ﹣ B．12 2 ﹣m ．12 D．﹣4 1 【变式8-1】（2022 春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x❑ √ −y x 2 =¿ ． 【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果，b，为三角形B 的三边长，请化简： ❑ √(a−b+c) 2+ ❑ √(b−c−a) 2=¿ ． 【变式8-3】（2022 春•靖江市期末）已知：m 是❑ √5的小数部分，求❑ √ m 2+ 1 m 2−2的值． 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 【例9】（2022•思明区校级期末）若＝2021×2022 2021 ﹣ 2，b＝1013×1008 1012×1007 ﹣ ， ¿ ❑ √2019 2+2020+2021，则，b，的大小关系是（ ） ．＜b＜ B．＜＜b ．b＜＜ D．b＜＜ 【变式9-1】（2022•兴平市期中）像❑ √4−2❑ √3，❑ √ ❑ √96−❑ √63这样的根式叫做复合二次 根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ❑ √4−2❑ √3=❑ √3−2❑ √3+1= ❑ √(❑ √3) 2−2×❑ √3+1 2= ❑ √(❑ √3−1) 2=❑ √3−1； 再 如 ： ❑ √5+2❑ √6=❑ √3+2❑ √6+2= ❑ √(❑ √3) 2+2×❑ √6+(❑ √2) 2= ❑ √(❑ √3+❑ √2) 2=❑ √3+❑ √2．请用上 述方法探索并解决下列问题： （1）化简：❑ √11+2❑ √30=¿ ，❑ √24−6 ❑ √15=¿ ； （2）若+6❑ √5=¿（m+❑ √5）2，且，m，为正整数，求的值． 【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x¿ ❑ √a 2−6a+23，其中实数﹣4≤≤10，则 ❑ √x+5−4 ❑ √x+1+❑ √x+10−6 ❑ √x+1的值为 ． 【变式9-3】（2022 春•郧西县期末）像❑ √4−2❑ √3，❑ √ ❑ √48−❑ √45⋯这样的根式叫做复合 1 二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ❑ √4−2❑ √3=❑ √3−2❑ √3+1= ❑ √(❑ √3) 2−2❑ √3×1+1 2= ❑ √(❑ √3−1) 2=❑ √3−1．再如： ❑ √5+2❑ √6=❑ √3+2❑ √6+2= ❑ √(❑ √3) 2+2×❑ √3×❑ √2+(❑ √2) 2= ❑ √(❑ √3+❑ √2) 2=❑ √3+❑ √2． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：❑ √10+2❑ √21； （2）化简：❑ √14−8 ❑ √3． （3）若+6❑ √5=¿（m+❑ √5）2，且，m，为正整数，求的值． 1