专题16.3 二次根式的加减【八大题型】（解析版）

专题163 二次根式的加减【八大题型】 【人版】 【题型1 同类二次根式的判断】.............................................................................................................................1 【题型2 求同类二次根式中的参数】.....................................................................................................................3 【题型3 二次根式的加减运算】.............................................................................................................................4 【题型4 二次根式的混合运算】.............................................................................................................................6 【题型5 已知字母的值化简求值】.........................................................................................................................7 【题型6 已知条件式化简求值】.............................................................................................................................9 【题型7 二次根式的新定义运算】....................................................................................................................... 11 【题型8 二次根式的应用】...................................................................................................................................12 【知识点1 同类二次根式】 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同 类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被 开方数是否相同． 【题型1 同类二次根式的判断】 【例1】（2022 春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ） ．❑ √3与❑ √32 B．❑ √6与❑ √12 ．❑ √5与❑ √75 D．❑ √12与❑ √27 【分析】化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答． 【解答】解：选项，❑ √3与4❑ √2不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B 选项，❑ √6与2❑ √3不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 选项，❑ √5与5❑ √3不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D 选项，2❑ √3与3❑ √3是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2022 春•郯城县期中）下列根式中，与❑ √6 x不是同类二次根式的是（ ） ．❑ √ x 6 B．❑ √ 6 x ．❑ √ 1 6 x D．❑ √6+x 【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同， 1 则它们是同类二次根式． 【解答】解：、❑ √ x 6 =1 6 ❑ √6 x，与❑ √6 x是同类二次根式； B、❑ √ 6 x = 1 x ❑ √6 x，与❑ √6 x是同类二次根式； 、❑ √ 1 6 x = 1 6 x ❑ √6 x，与❑ √6 x是同类二次根式； D、❑ √6+x与❑ √6 x不是同类二次根式， 故选：D． 【变式1-2】（2022 春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同， 则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一 组是（ ） ．❑ √8与❑ √32 B．❑ √45与❑ √20 ．❑ √27与❑ √75 D．❑ √24与❑ √80 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫 做同类二次根式．根据定义逐个判断可知答为D 【解答】解：∵❑ √24=¿2❑ √6，❑ √80=¿4❑ √5， 5≠6 ∵ ， ∴❑ √24与 ❑ √80不是同类二次根式， 故选：D． 【变式1-3】（2022 春•河西区校级月考）下列各式中与❑ √a+b是同类二次根式的是（ ） ．1 a ❑ √(a+b) 2 B．1 3 ❑ √3(a+b) ．❑ √ a+b 2 D．❑ √ 9 a+b 【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：、1 a ❑ √(a+b) 2=a+b a 与❑ √a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、1 3 ❑ √3(a+b)=1 3 ❑ √3a+3b与❑ √a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 、❑ √ a+b 2 = ❑ √2a+2b 2 与❑ √a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、❑ √ 9 a+b = 3 a+b ❑ √a+b与❑ √a+b是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型2 求同类二次根式中的参数】 【例2】（2022 春•怀远县期中）已知二次根式−❑ √x−2． 1 （1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围； （2）已知−❑ √x−2为最简二次根式，且与❑ √ 5 2 为同类二次根式，求x 的值，并求出这两 个二次根式的积． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x 2≥0 ﹣ ，求出不等式的解集即可； （2）先求出❑ √ 5 2=1 2 ❑ √10，得出x 2 ﹣＝10，求出x 即可． 【解答】解：（1）要使−❑ √x−2有意义，必须x 2≥0 ﹣ ， 即x≥2， 所以使得该二次根式有意义的x 的取值范围是x≥2； （2）❑ √ 5 2=1 2 ❑ √10， 所以x 2 ﹣＝10， 解得：x＝12， 这两个二次根式的积为−❑ √10×❑ √ 5 2=−¿5． 【变式2-1】（2022 秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式❑ √3a+8与❑ √12−a是同类二次 根式，那么3❑ √a的值为 3 ． 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答． 【解答】解：由题意得3+8＝12﹣， 解得＝1， 当＝1 时3❑ √a=¿3． 故答为：3． 【变式2-2】（2022 春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果❑ √16(2m+n)和m−n−1 √m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、的值． 解：因为❑ √16(2m+n)与m−n−1 √m+7可以合并 所以{ m−n−1=2 16(2m+n)=m+7即{ m−n=3 31m+16n=7 解得{ m= 55 47 n=−86 47 问： （1）以上解是否正确？答 不正确 ． （2）若以上解法不正确，请给出正确解法． 1 【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论． （2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同． 【解答】解：（1）不正确； （2）∵❑ √16(2m+n)与m−n−1 √m+7可以合并， ∴{ m−n−1=2 2m+n=m+7或{ m−n−1=2 16(2m+n)=m+7或{ m−n−1=2 4(2m+n)=m+7 解得{ m=5 n=2 或{ m= 55 47 n=−86 47 或{ m=19 11 n=−14 11 ． 故答为：不正确． 【变式2-3】（2022 春•孟村县期中）若最简二次根式3 x−10 √2 x+ y−5和❑ √x−3 y+11是同 类二次根式． （1）求x，y 的值； （2）求❑ √x 2+ y 2的值． 【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程 解组求解； （2）根据x，y 的值和算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）根据题意知{ 3 x−10=2 2 x+ y−5=x−3 y+11， 解得：{ x=4 y=3； （2）当x＝4、y＝3 时， ❑ √x 2+ y 2= ❑ √4 2+3 2=❑ √25=¿5． 【知识点2 二次根式的加减法则】 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进 行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变． 【题型3 二次根式的加减运算】 【例3】（2022 春•普兰店区期中）计算： （1）❑ √18−❑ √32+❑ √2 （2）7❑ √8a−4 a 2❑ √ 1 8a +7 a ❑ √2a． 【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答； 1 （2）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答． 【解答】解：（1）❑ √18−❑ √32+❑ √2 ＝3❑ √2−¿4❑ √2+❑ √2 ＝0 （2）7❑ √8a−4 a 2❑ √ 1 8a +7 a ❑ √2a ＝7×2❑ √2a−¿42× ❑ √2a 4 a +¿7❑ √2a ＝14❑ √2a−¿❑ √2a+¿7❑ √2a ＝20❑ √2a． 【变式3-1】（2022 春•高密市校级月考）计算： （1）❑ √0.25+❑ √ 9 25 +❑ √0.49+¿|−❑ √ 1 100 | （2）❑ √0.01−❑ √ 1 100 +¿（﹣1）3❑ √(−0.01) 2+❑ √0 （3）4 ❑ √5+❑ √45−❑ √8+4 ❑ √2． 【分析】（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法 则进行计算即可； （2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可； （3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝05+3 5 +¿07+1 10 ＝19； （2）原式＝01−1 10 −¿001+0 ＝﹣001； （3）原式＝4❑ √5+¿3❑ √5−¿2❑ √2+¿4❑ √2 ＝7❑ √5+¿2❑ √2． 【变式3-2】（2022 秋•浦东新区期中）化简：❑ √8ab−b ❑ √ 2a b −a ❑ √ b 2a （＞0，b＞0） 【分析】本题较简单，分别将各二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝2❑ √2ab−❑ √2ab− ❑ √2ab 2 ¿ ❑ √2ab 2 ． 1 【变式3-3】（2022 秋•浦东新区期末）计算下列各式： （1）❑ √5−❑ √6−❑ √20+❑ √ 2 3 +❑ √ 9 5 （2）❑ √12−❑ √0.5−2❑ √ 1 3−❑ √ 1 8 +❑ √18 （3）❑ √27 a−a ❑ √ 3 a +3 ❑ √ a 3 + 1 2a ❑ √75a 3 （4）2 3 x ❑ √9 x+6 x ❑ √ y x + y ❑ √ x y −x 2❑ √ 1 x ． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式¿ ❑ √5−❑ √6−¿2❑ √5+ ❑ √6 3 + 3 ❑ √5 5 ¿−2❑ √5 5 −2❑ √6 3 ； （2）原式＝2❑ √3− ❑ √2 2 −2❑ √3 3 − ❑ √2 4 +¿3❑ √2 ¿ 4 ❑ √3 3 + 9 ❑ √2 4 ； （3）原式＝3 ❑ √3a−❑ √3a+❑ √3a+ 5 2 ❑ √3a ¿ 11❑ √3a 2 ； （4）原式＝2x❑ √x+¿6❑ √xy+❑ √xy−¿x❑ √x ＝x❑ √x+¿7❑ √xy． 【题型4 二次根式的混合运算】 【例4】（2022 春•安庆期末）计算： （1）❑ √48÷ ❑ √3+¿2❑ √ 1 5 ×❑ √30−¿（2❑ √2+❑ √3）2 （2）（−1 2 ）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−❑ √2) 0− ❑ √(−4) 2+❑ √25 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并 即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）原式¿ ❑ √48÷3+¿2❑ √ 1 5 ×30−¿（8+4❑ √6+¿3） ＝4+2❑ √6−¿11 4 ﹣❑ √6 1 ＝﹣7 2 ﹣❑ √6； （2）原式＝4 1×1 4+5 ﹣ ﹣ ＝4 1 4+5 ﹣﹣ ＝4． 【变式4-1】（2022 春•岳池县期中）计算： ❑ √2×❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）2−❑ √2（❑ √2−❑ √6） 【分析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可． 【解答】解： ❑ √2×❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）2−❑ √2（❑ √2−❑ √6） ＝2+3 4 ﹣❑ √3+¿4 2+2 ﹣ ❑ √3 ＝7 2 ﹣❑ √3 【变式4-2】（2022 春•天心区校级期中）计算： （1）（❑ √20+❑ √5+¿5）÷ ❑ √5−❑ √ 1 3 ×❑ √24−❑ √5； （2）❑ √18−❑ √ 9 2− ❑ √3+❑ √6 ❑ √3 +¿（❑ √3−¿2）0+ ❑ √(1−❑ √2) 2． 【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果； （2）原式各项后，计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝（❑ √4+¿1+❑ √5）−❑ √8−❑ √5=¿3+❑ √5−¿2❑ √2−❑ √5=¿3 2 ﹣ ❑ √2； （2）原式＝3 ❑ √2−3 2 ❑ √2−¿（1+❑ √2）+1+（❑ √2−¿1）¿ 3 2 ❑ √2−¿1−❑ √2+¿1+❑ √2−¿1 ¿ 3 2 ❑ √2−¿1． 【变式4-3】（2022 秋•昌江区校级期末）（ ❑ √a+ b−❑ √ab ❑ √a+❑ √b ）÷（ a ❑ √ab+b + b ❑ √ab−a−a+b ❑ √ab ）（≠b）． 【分析】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【 解 答 】 解 ： 原 式 ¿ a+❑ √ab+b−❑ √ab ❑ √a+❑ √b ÷ a ❑ √ab(❑ √ab−a)+b ❑ √ab(❑ √ab+b)−(a+b)(❑ √ab+b)(❑ √ab−a) ❑ √ab(❑ √ab+b)(❑ √ab−a) ¿ a+b ❑ √a+❑ √b ÷ a 2−a ❑ √ab−b ❑ √ab−b 2−a 2+b 2 ❑ √ab(❑ √a+❑ √b)(❑ √a−❑ √b) ¿ a+b ❑ √a+❑ √b ⋅ ❑ √ab(❑ √a−❑ √b)(❑ √a+❑ √b) −❑ √ab(a+b) 1 ¿−❑ √a+❑ √b． 【题型5 已知字母的值化简求值】 【例5】（2022 秋•如东县期末）已知x＝1−❑ √3，求代数式（4+2❑ √3）x2+（1−❑ √3）x+8 ❑ √3． 【分析】将x＝1−❑ √3代入原式，再根据二次根式的性质和运算法则计算可得． 【解答】解：当x＝1−❑ √3时， 原式＝（4+2❑ √3）×（1−❑ √3）2+（1−❑ √3）2+8❑ √3 ＝（4+2❑ √3）×（4 2 ﹣❑ √3）+4 2 ﹣❑ √3+¿8❑ √3 ＝16 12+4 2 ﹣ ﹣❑ √3+¿8❑ √3 ＝8+6❑ √3． 【变式5-1】（2022 秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知¿ 1 2+❑ √3，求a 2−2a+1 a−1 − ❑ √a 2−2a+1 a 2−a 的值． 【分析】首先关键的值求得1 a=¿2+❑ √3，﹣1＝1−❑ √3＜0，然后把原代数式变形为﹣1 +1 a ，再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：∵¿ 1 2+❑ √3， ∴＝2−❑ √3， ∴1 a=¿2+❑ √3，﹣1＝1−❑ √3＜0， ∴a 2−2a+1 a−1 − ❑ √a 2−2a+1 a 2−a ¿ (a−1) 2 a−1 + a−1 a(a−1) ＝﹣1+1 a ＝1−❑ √3+¿2+❑ √3 ＝3． 【变式5-2】（2022 春•容县校级月考）已知＝2，b＝3，求式子❑ √a 3b−❑ √ab+ ❑ √a 3b 3的值． 【分析】根据题目中、b 的值可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【解答】解：∵＝2，b＝3， ❑ √a 3b−❑ √ab+ ❑ √a 3b 3 ¿a ❑ √ab−❑ √ab+ab ❑ √ab 1 ＝（﹣1+b）❑ √ab ＝（2 1+2×3 ﹣ ）×❑ √2×3 ＝7❑ √6． 【变式5-3 】（2022 秋• 天河区校级月考）已知x¿ 1 ❑ √2021−❑ √2020，则x6 2 ﹣ ❑ √2020 x 5−x 4+x 3−2❑ √2021 x 2+2 x−❑ √2021的值为（ ） ．0 B．1 ．❑ √2020 D．❑ √2021 【分析】把已知的条件进行分母有理化，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运 算即可． 【解答】解：∵x¿ 1 ❑ √2021−❑ √2020， ∴x¿ ❑ √2021+❑ √2020， ∴x6 2 ﹣❑ √2020 x 5−x 4+x 3−2❑ √2021 x 2+2 x−❑ √2021 ¿ x 4( x 2−2❑ √2020 x−1)+¿x（x 2−2❑ √2021 x+2）−❑ √2021 ¿ x 4[( x−❑ √2020) 2−2021]+¿x[( x−❑ √2021) 2−2019]−❑ √2021 ¿ x 4[(❑ √2021+❑ √2020−❑ √2020) 2−2021]+¿x [(❑ √2021+❑ √2020−❑ √2021) 2−2019]−❑ √2021 ¿ x 4(2021−2021)+x(2020−2019)−❑ √2021