专题16.1 二次根式【九大题型】（解析版）

专题161 二次根式【九大题型】 【人版】 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】.........................................................................................................1 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】.........................................................................................................2 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】........................................................................................................4 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】............................................................................................................4 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】.................................................................................................. 6 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】......................................................................................7 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】..................................................................................9 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】................................................................................................10 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】................................................................................................................ 12 【知识点1 二次根式的定义】 形如❑ √a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑ √❑叫做二次根号，a叫做被开方数 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 【例1】（2022 春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ） ❑ √3，❑ √m，❑ √x 2+1，3 √4，❑ √−m 2−1， ❑ √a 3 （≥0），❑ √2a+1（＜1 2） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解答】解：❑ √3一定是二次根式； 当m＜0 时，❑ √m不是二次根式； 对于任意的数x，x2+1＞0，则❑ √x 2+1一定是二次根式； 3 √4是三次方根，不是二次根式； ﹣m2 1 ﹣＜0，则❑ √−m 2−1不是二次根式； ❑ √a 3 是二次根式； 当＜1 2时，2+1 可能小于0，不是二次根式． 故选：． 【变式1-1】（2022 春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ） ．❑ √−2 B．−❑ √2 ．3 √2 D．❑ √x 1 【分析】根据二次根式的定义，形如❑ √a（≥0）的式子是二次根式，即可解答． 【解答】解：、❑ √−2无意义，故不符合题意； B、−❑ √2是二次根式，故B 符合题意； 、3 √2不是二次根式，故不符合题意； D、❑ √x（x≥0）是二次根式，故D 不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•宜城市期末）在式子❑ √2，3 √3，❑ √x 2+1，x+y 中，二次根式有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据二次根式的定义，形如❑ √a（≥0）的式子是二次根式，即可解答． 【解答】解：在式子❑ √2，3 √3，❑ √x 2+1，x+y 中，二次根式有❑ √2，❑ √x 2+1， 共有2 个， 故选：B． 【变式1-3】（2022 春•凤庆县期末）下列各式：❑ √5、❑ √a 2，❑ √−3，3 √8，❑ √x−1( x⩾1)， ❑ √x 2+2 x+1中，一定是二次根式的有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可． 【解答】解：∵式子❑ √a（≥0）是二次根式， ∴❑ √5，❑ √a 2，❑ √x−1（x≥1），❑ √x 2+2 x+1是二次根式，❑ √−3无意义，3 √8是三次根式， ∴一定是二次根式的有：❑ √5，❑ √a 2，❑ √x−1（x≥1），❑ √x 2+2 x+1， 故选：B． 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 【例2】（2022 春•莱州市期末）若❑ √12n是整数，则正整数的最小值是（ ） ．1 B．3 ．6 D．12 【分析】根据12＝22×3，若❑ √12n是整数，则12 一定是一个完全平方数，据此即可求得 的值． 【解答】解：∵12＝22×3， ∴❑ √12n是整数的正整数的最小值是3． 故选：B． 【变式2-1】（2022 春•昭阳区校级月考）若❑ √80n是整数，则正整数的最小值是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】先化简❑ √80，然后根据二次根式的定义判断即可． 1 【解答】解：∵❑ √80=¿4❑ √5， ∴正整数的最小值是：5． 故选：D． 【变式2-2】（2022 春•信州区校级月考）当x＝ −1 2 时，代数式3−❑ √2 x+1有最大值， 其最大值是 3 ． 【分析】根据二次根式的非负性分析求值． 【解答】解：∵❑ √2 x+1≥0， ∴−❑ √2 x+1≤0， 3 ∴−❑ √2 x+1≤3， ∴当2x+1＝0 时，即x¿−1 2， 3−❑ √2 x+1有最大值为3， 故答为：−1 2 ；3． 【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知为实数，则代数式❑ √27−12a+2a 2的最小 值为（ ） ．0 B．3 ．3 ❑ √3 D．9 【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值． 【解答】解：∵原式¿ ❑ √27−12a+2a 2 ¿ ❑ √2(a 2−6a+9)+9 ¿ ❑ √2(a−3) 2+9 ∴当（﹣3）2＝0，即＝3 时 代数式❑ √27−12a+2a 2的值最小，为❑ √9即3 故选：B． 【知识点2 二次根式有意义的条件】 （1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：❑ √a≥0 【知识点3 判断二次根式有意义的条件】 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被 开方数都必须是 非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分 母不为零． 1 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 【例3】（2022 春•来凤县期末）若代数式❑ √ 1 5 x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围 是（ ） ．x＞5 B．x≥5 ．x≠5 D．x＜5 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答． 【解答】解：∵1 5x 1≥0 ﹣ ， ∴x≥5． 故选：B． 【变式3-1】（2022 春•泰山区期末）若式子 ❑ √a+1 a−2 有意义，则的取值范围为（ ） ．≥﹣1 B．≠2 ．≥﹣1 且≠2 D．＞﹣1 【分析】既要使二次根式❑ √a+1有意义，即+1≥0，又要使分式有意义，即﹣2≠0 即可． 【解答】解：由题意得， +1≥0 且﹣2≠0， 即≥﹣1 且≠2， 故选：． 【变式3-2】（2022 春•泰山区期末）若❑ √(3 x−4) 2=4−3 x，则x 的取值范围是 x ≤4 3 ． 【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可求出答． 【解答】解：由题意可知：4 3 ﹣x≥0， ∴x≤4 3 ， 故答为：x≤4 3 ． 【变式3-3】（2022 春•睢县期中）若 ❑ √4 x 6−¿ x∨¿¿有意义，则x 的取值范围为 x ≥0 且 x ≠6 ． 【分析】应从两方面考虑x 的取值范围：分母不为0 和二次根式有意义． 【解答】解：由 ❑ √4 x 6−¿ x∨¿¿有意义，则6 | ﹣x|≠0 且4x≥0， 解得x≥0 且x≠6． 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 【例4】（2022 春•海淀区校级期末）已知，b 都是实数，b¿ ❑ √1−2a+❑ √4 a−2−2，则b 1 的值为 4 ． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，b 的值，进而得出答． 【解答】解：由题意可得， { 1−2a≥0 4 a−2≥0， 解得：¿ 1 2， 则b＝﹣2， 故b的值为（1 2）﹣2＝4． 故答为：4． 【变式4-1】（2022 春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式❑ √a 2=¿a∨¿后， 研究了如下四个问题，其中错误的是（ ） ．在＞1 的条件下化简代数式a+ ❑ √a 2−2a+1的结果为2 1 ﹣ B．a+ ❑ √a 2−2a+1的值随变化而变化，当取某个数值时，上述代数式的值可以为06 ．当a+ ❑ √a 2−2a+1的值恒为定值时，字母的取值范围是≤1 D．若❑ √a 2−2a+1=(❑ √a−1) 2，则字母必须满足≥1 【分析】根据二次根式的性质，得到❑ √a 2−2a+1=¿| 1| ﹣¿{ a−1(a＞1) 0(a=1) 1−a(a＜1) ，然后逐个选 项进行判断即可． 【解答】解：❑ √a 2−2a+1=¿| 1| ﹣¿{ a−1(a＞1) 0(a=1) 1−a(a＜1) ， 当＞1 时，a+ ❑ √a 2−2a+1=¿+ 1 ﹣＝2 1 ﹣， 当＝1 时，a+ ❑ √a 2−2a+1=¿+ 1 ﹣＝2 1 ﹣＝1， 当＜1 时，a+ ❑ √a 2−2a+1=¿﹣+1＝1， 因此选项、选项、D 选项均正确，只有B 选项不正确， 故选：B． 【变式4-2】（2022 春•海安市校级月考）若x，y 是实数，且y ＜❑ √x−1+❑ √1−x+ 1 2，求 ¿1−y∨ ¿ y−1 ¿的值为 ﹣ 1 ． 1 【分析】根据二次根式有意义的条件可得{ x−1≥0 1−x ≥0，解不等式组可得x＝1，进而可得y ＜1 2，再根据绝对值的性质可得1﹣y＞0，然后化简约分即可． 【解答】解：由题意得：{ x−1≥0 1−x ≥0， 解得：x＝1， 则y＜1 2， ¿1−y∨ ¿ y−1=1−y y−1=−¿¿1， 故答为：﹣1． 【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知满足|2017 | ﹣+❑ √a−2018=¿，则﹣20172 的值是 2018 ． 【分析】先依据二次根式有意义得到≥2018，进而化简原式求出答． 【解答】解：∵|2017 | ﹣+❑ √a−2018=¿， 2018≥0 ∴﹣ ， 故≥2018， 则原式可变为：﹣2017+❑ √a−2018=¿， 故﹣2018＝20172， 则﹣20172＝2018． 故答为：2018． 【知识点4 二次根式的性质】 性质1：(❑ √a) 2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：❑ √a 2=|a|={ a（a≥0） −a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对 值 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 【例5】（2022 春•平山县期末）二次根式❑ √(−2) 2的值是（ ） ．﹣2 B．2 或﹣2 ．4 D．2 【分析】根据算术平方根的意义，可得答． 【解答】解：❑ √(−2) 2=¿2，故D 正确， 故选：D． 【变式5-1】（2022 春•金东区期中）下列计算正确的是（ ） 1 ．❑ √9=¿±3 B．❑ √2 2+3 2=¿5 ．❑ √4=¿2 D．❑ √(−3) 2=−¿3 【分析】根据二次根式的性质即可求出答． 【解答】解：、原式＝3，故不符合题意． B、原式¿ ❑ √4+9=❑ √13，故B 不符合题意． 、原式＝2，故符合题意． D、原式＝3，故D 不符合题意． 故选：． 【变式5-2】（2022 春•乐清市期末）当＝5 时，二次根式❑ √4+a的值是（ ） ．3 B．2 ．1 D．﹣1 【分析】把＝5 代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：当＝5 时，二次根式❑ √4+a=❑ √4+5=❑ √9=¿3， 故选：． 【变式5-3】（2022 春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（ ） ．❑ √25=±5 B．❑ √−(❑ √5) 2=❑ √5 ．❑ √16 1 4 =4 1 2 D．3 √( 1 8 ) 2 = 1 4 【分析】根据算术平方根的定义，二次根式有意义的条件，立方根的定义可进行判断． 【解答】解：．∵52＝25， ∴❑ √25=5，不符合题意； B．∵−(❑ √5) 2=−5＜0， ∴❑ √−(❑ √5) 2无意义，B 不符合题意； ❑ √16 1 4 =❑ √ 65 4 = ❑ √65 2 ≠4 1 2 ，不符合题意； D3 √( 1 8 ) 2= 3 √ 1 64 = 1 4 ，D 符合题意， 故选：D． 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 【例6】（2022•泗水县二模）已知y= ❑ √( x−3) 2−x+4，当x 分别取正整数1，2，3，4， 5，…，2022 时，所对应y 值的总和是（ ） ．2026 B．2027 ．2028 D．2029 【分析】根据二次根式的性质得出当x 3≥0 ﹣ 时，y＝1；当x 3 ﹣＜0 时，y＝7 2 ﹣x，分别 求出x＝1，x＝2 时，y 的值，再求出答即可． 【解答】解：y¿ ❑ √( x−3) 2−¿x+4＝|x 3| ﹣﹣x+4， 当x 3≥0 ﹣ ，即x≥3 时，y＝x 3 ﹣﹣x+4＝1； 1 当x 3 ﹣＜0，即x＜3 时，y＝3﹣x﹣x+4＝7 2 ﹣x， 当x＝1 时，y＝5， 当x＝2 时，y＝3， 所以当x 分别取正整数1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，… ，2022 时，所对应y 值的总和 5+3+1+1+1+1+•••+1 ＝9+2019×1 ＝9+2019 ＝2028， 故选：． 【变式6-1】（2022 秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写 出正确的解答． 已知m 为实数，化简：− ❑ √−m 3−m ❑ √ −1 m 解：原式¿−m ❑ √−m−m⋅1 m ❑ √−m ¿(−m−1)❑ √−m． 【分析】根据二次根式的性质，m❑ √ −1 m 成立，则m 为负数，由此可先判断已知解答是 错误的，再化简解答即可． 【解答】解：不正确， 根据题意，m❑ √ −1 m 成立，则m 为负数， − ❑ √−m 3−m ❑ √ −1 m ＝m❑ √−m+ ❑ √ −m 2 m ＝m❑ √−m+❑ √−m ＝（m+1）❑ √−m． 【变式6-2】（2022 春•凤凰县月考）若式子❑ √4−4 a+a 2与❑ √a 2−8a+16的和为2，则的 取值范围是 2≤≤4 ． 【分析】根据二次根式的性质，得出﹣2≥0 且﹣4≤0，进而确定的取值范围． 【解答】解：∵❑ √4−4 a+a 2+ ❑ √a 2−8a+16 ¿ ❑ √(a−2) 2+ ❑ √(a−4) 2 ＝| 2|+| 4| ﹣ ﹣， 1 当＞4 时，原式＝﹣2+ 4 ﹣＝2 6 ﹣，因此不符合题意； 当2≤≤4 时，原式＝﹣2+4﹣＝2，因此符合题意； 当＜2 时，原式＝2 +4 ﹣ ﹣＝6 2 ﹣，因此不符合题意； 2≤≤4 ∴ ， 故答为：2≤≤4． 【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式❑ √x 2( x+1)=−x ❑ √x+1成立的x 的取值范围在数轴上 表示为（ ） ． B． ． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围． 【解答】解：由题意可知：{ x ≤0 x+1≥0， 解得：﹣1≤x≤0， 故选：． 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 【例7】（2022 春•黄骅市期中）已知，b，在数轴上的位置如下图：化简代数式❑ √a 2−¿| +b|+ ❑ √(c−a) 2+¿|b+|的值为 ﹣ 【分析】首先根据数轴确定、b、的符号，再由二次根式的性质及有理数的加减法法则 确定各个绝对值里面的式子的符号，然后去掉绝对值符号，从而对所求代数式进行化简． 【解答】解：根据数轴可以得到：b＜＜0＜，且|b|＞||， + ∴b＜0，﹣＞0，b+＜0， ∴❑ √a 2−¿|+b|+ ❑ √(c−a) 2+¿|b+|， ＝|| |+ ﹣b|+| |+| ﹣ b+|， ＝﹣+（+b）+（﹣）﹣（b+）， ＝﹣++b+﹣﹣b﹣， ＝﹣． 故答为：﹣． 1 【变式7-1】（2022•宁波）已知：＜0，化简❑ √4−(a+ 1 a ) 2 − ❑ √4+(a−1 a ) 2 =¿ ． 【分析】根据二次根式的性质化简． 【解答】解：∵原式¿ ❑ √ 4−(a 2+2+ 1 a 2 )−❑ √ 4+(a 2−2+ 1 a 2 )= ❑ √−(a−1 a ) 2 − ❑ √(a+ 1 a ) 2 又∵二次根式内的数为非负数 ∴−1 a =¿0 ∴＝1 或﹣1 ∵＜0 ∴＝﹣1 ∴原式＝0 2 ﹣＝﹣2． 【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数、b、在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的 值❑ √a 2− ❑ √(c−a+b) 2+¿|b+|− 3 √b 3=¿ ﹣ b ． 【分析】根据数轴得出＜b＜0＜，||＞||＞|b|，根据二次根式的性质得出|| | + ﹣﹣b|+|b+|﹣ b，去掉绝对值符号后合并即可． 【解答】解：∵从数轴可知：＜b＜0＜，||＞||＞|b|， ∴原式＝|| | + ﹣﹣b|+|b+|﹣b