模型18 轴对称——将军饮马模型-解析版

轴对称 模型（十八）——将军饮马模型 类型一：（河）和两旁 模型1 如图，定点，B 分布在定直线l 的两侧，在直线l 上找一点P，使得 P＋PB 的值最小 【作法】如图，连接 B，与直线 l 的交点即为所求点P 模型2 如图，定点，B 分布在定直线l 的同侧，在直线l 上找一点P，使得P+PB 的 值最小 【作法】如图，作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接B＇，与直线 l 的交点即为所求点P 模型3 如图，点P 为角内一点，在射线，B 上分别找点M，，使得△PM 的周长最小 【作法】如图，分别作点 P 关于两射线，B 的对称点P₁ 和P₂，连接 P₁P₂ ，与两射线的交点即为所求点 M， 。 此图结论： 1P＝OP1＝P2 2. PM＋P＋M＝P1M＋B＋M＋≥P1P2 3. ∠P1＝P,∠P2B＝PB,∠P1P2＝2∠B 4. 对称：△MP≌△MP1 模型4 类型4：在∠M 的内部有点和点B，在M 上找一点，在上找一点D，使得四边 形BD 周长最短． 作法：作点关于M 的对称点’，作点B 关于的对称点B’ ，连接’ B’，与M 交于 点，与交于点D，连接，BD，B，四边形BD 即为所求． 模型5 在∠M 的内部有一点，在M 上找一点B，在上找一点，使得B＋B 最短． 点是定点，M，是定线， 点B、点是M、上要找的点，是动点． 作法：作点关于M 的对称点’，过点’作’⊥， 交M 于点B，B、即为所求。 模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点，直线l2上找一个点D，使得D ⊥l2, 且＋BD＋D 最短． 作法：将点沿D 方向向下平移D 长度d 至点’，连接’B，交l2于点D，过点D 作D ⊥l2于点，连接．则桥D 即为所求．此时最小值为’B+D 模型7 已知、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与，且M 长度等于定长d （动点M 位于动点左侧），使M+M+B 的值最小 作法一：将点向右平移长度d 得到点’， 作’关于直线l 的对称点’’，连接’’B， 交直线l 于点，将点向左平移长度d，得到点M。 作法二：作点关于直线l 的对称点1，将点1 向右平移长度d 得到点2，连接2 B，交直 线l 于点Q，将点Q 向左平移长度d，得到点Q。 【总结】研究几何最值： ⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短 类型二：差同旁 模型8 在定直线l 上找一个动点P，使动点P 到两个定点与B 的距离之差最小，即| 和两旁 P-PB |最小 作法：连接B，作B 的中垂线与l 的交点，即为所求 点P 此时|P-PB |=0 模型9 在定直线l 上找一个动点，使动点到两个定点与B 的距离之差最大，即|P-PB |最大 作法：延长B 交l 于点，点即为所求， 即点B、、三点共线时，最大值为B 的长度。 模型10 ：在定直线l 上找一个动点，使动点到两个定点与B 的距离之差最大，即|P- PB|最大 作法：作点B 关于l 的对称点B，连接B， 交交l 于点P 即为所求，最大值为B 的长度。 1．（2021·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥M，使从到B 的路径MB 最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过作河的垂线，要使最短，M⊥直线，＝M，连接B 即可得出，作出M、M、B 即可． 【详解】解：根据垂线段最短，得出M 是河的宽时，M 最短，即M⊥直线（或直线b），只要M+B 最短即可， 即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽． 连接B 交河的b 边岸于，作M 垂直于河岸交边的岸于M 点，所得M 即为所求． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在 于熟练掌握其知识点． 2．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有 、 两地，现要铺设一条引水管道，从 地把河水引 向 、 两地．下列四种方中，最节省材料的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的 连线而言． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线 段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 3．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，已知点 、 分别是等边三角形 中 、 边的中点， ， 点 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 【答】B 【分析】连接E 交D 于点F，连接BF，此时BF＋EF 的值最小，最小值为E． 【详解】解：连接E 交D 于点F，连接BF， ∵△B 是等边三角形，D 为B 中点， ∴BF＝F， ∴BF＋EF＝F＋EF＝E， 此时BF＋EF 的值最小，最小值为E， ∵D、E 分别是等边△B 中B、B 边的中点， ∴D＝E， ∵D＝6， ∴E＝6， ∴BF＋EF 的最小值为6， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 1．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰 中， ， ， 于 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，则 的最小值是____． 【答】3 【分析】如图，作 ，垂足为 ，交 于 点，过 点作 ，垂足为 ，则 为所 求的最小值，根据含 的直角三角形的性质求出 即可． 【详解】解：如图，作 ，垂足为 ，交 于 点，过 点作 ，垂足为 ，则 为所求的最小值． ∵ ， ， ∴ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是点 到直线 的最短距离， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ 的最小值是． 故答为：． 【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含 的直 角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线 段和的最小值． 2．（2020·海南三亚·八年级期末）如图，四边形BD 中， ， ，E、F 分别是D、B 上的动点， 当 的周长最小时， 的度数是______． 【答】40°##40 度 【分析】要使△EF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于B 和D 的对称点， M，即可得出 ，最后利用△M 内角和即可得出答． 【详解】作关于B 和D 的对称点，M，连接M，交D 于E1，交B 于F1，则M 即为△EF 的周长最小值． ∵ ， ， ∴∠DB=110°， 由对称可得：F1=F1，E1=E1M， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即当 的周长最小时， 的度数是40°， 故答为：40°． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对 等角等知识，根据已知得出 的周长最小时，E，F 的位置是解题关键． 3．（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 在坐标系中（1，1），B（4，2）， （3，4）． (1)在图中画出 关于x 轴的对称图形 ，并分别写出对应点1、B1、1的坐标． (2)求 ． (3)在y 轴上是否存在一点p，使得P+P 最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由． 【答】(1)见解析，1（1，-1），B1（4，-2）1(3，-4) (2)35 (3)存在，见解析 【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到 ； （2）利用三角形面积公式求解； （3）作点关于y 轴的对称点 ，连接 ，交y 轴于点P，则可得解． （1） 解：如图， 即为所求： ， ， 的坐标分别为：（1，-1）、（4，-2）、（3，-4）； （2） 解： ； （3） 解：存在． 如上图，作点关于y 轴的对称点 ，连接 ，则 与y 轴的交点即是点P 的位置． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 4．（2022·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，带着马走到河边 点饮水后，再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出 点，使 的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的周长最 小，不说明理由； （3）实践应用 ：如图，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、 分 别是 、 边上的动点，求 的最小值． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的最小值为 【分析】（1）作 点关于直线 小河的对称点 ，连接 ，交于 ，则 最小； （2）分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ， ， ，则 的周长最小； （3）过点作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，证明 ≌ ，可得 ， ，可证得△M≌△EM，从而得到当点，M，E 共线时，M+M 最小，最小值为E，且当E⊥时， E 最小，再根据 ，可得 ，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作 点关于直线 小河的对称点 ，连接 ，交于 ，则 最小； 理由：根据作法得： ， ∴ ， ∴当点 共线时， 最小； （2）如图 ，分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ， ， ， 则 的周长最小； 理由：根据作法得： ， ， ∴ ， ∴当点 共线时， 的周长最小； （3）如图，过点作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ∵ ，M=M， ∴△M≌△EM， ， ， ∴当点，M，E 共线时，M+M 最小，最小值为E，且当E⊥时，E 最小， 过点作F⊥B 于点F， ∵ ， ， ， ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∵ ， ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及 其变形的模型． 1．（2018·广东广州·中考真题）如图，在四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，B＞D，D＝B+D． （1）利用尺规作∠D 的平分线DE，交B 于点E，连接E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，①证明：E⊥DE； ②若D＝2，B＝4，点M，分别是E，B 上的动点，求BM+M 的最小值． 【答】（1）答见解析；（2）①证明见解析；② ． 【分析】（1）利用尺规作出∠D 的角平分线即可； （2）①延长DE 交B 的延长线于F．只要证明D=F，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；② 作点B 关于E 的对称点K，连接EK，作K B ⊥ 于，DG B ⊥ 于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+M=KM+M， 根据垂线段最短可知：当K、M、共线，且与K 重合时，KM+M 的值最小，最小值为K 的长 【详解】（1）如图，∠D 的平分线DE 如图所示， （2）延长DE 交B 的延长线于F， D F ∵∥， DE ∴∠ ＝∠F， DE ∵∠ ＝∠DE， DF ∴∠ ＝∠F， D ∴＝F， D ∵＝B+D＝B+BF， D ∴＝BF， DE ∵∠ ＝∠BEF， DE FEB ∴△ ≌△ ， DE ∴ ＝EF， D ∵＝F， E DE ∴⊥ ； ②作点B 关于E 的对称点K，连接EK，作K B ⊥ 于，DG B ⊥ 于G．连接MK， D ∵＝F，DE＝EF， E ∴ 平分∠DF，则△EK EB ≌△ ， K ∴＝B＝4， 在Rt△DG 中，DG ， K DG ∵∥ ， ∴ ， ∴ ， K ∴ ， MB ∵ ＝MK， MB+M ∴ ＝KM+M， ∴当K、M、共线，且与K 重合时，KM+M 的值最小，最小值为K 的长，∴BM+M 的最小值为 ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题 型． 2．（2017·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为 的正三角形纸片 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折 痕 （如图①），点 为其交点 （1）探求 与 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若 分别为 上的动点 ①当 的长度取得最小值时，求 的长度； ②如图③，若点 在线段 上， ，则 的最小值= 【答】（1）=2D，理由见解析；（2）① ；② ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠B= B= BD=30° ∠ ∠ ，得到=B，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′ B ⊥ 于交BE 于P，则此时P+PD 的长度取得最小值，根据 线段垂直平分线的性质得BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到B= BD= ，于是得到结论； （3）如图③，作Q 关于B 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，连接Q′D′，即为Q+P+PD 的最小值．根据轴 对称的定义得到∠Q′B= QB ∠ =30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即 可得到结论． 【详解】（1）=2D， 理由：∵△B 是等边三角形， B= B= BD=30° ∴∠ ∠ ∠ ， =B ∴ ， BD=D ∵ ， D B ∴⊥， BD=90° ∴∠ ， B=2D ∴ ， =2D ∴ ； （2）如图②，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′ B ⊥ 于交BE 于P， 则此时P+PD 的长度取得最小值， BE ∵ 垂直平分DD′， BD=BD′ ∴ ， B=60° ∵∠ ， BDD′ ∴△ 是等边三角形， B= ∴ BD= ， PB=30° ∵∠ ， ∴ ， PB= ∴ ； （3）如图③，作Q 关于B 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′， 连接Q′D′，即为Q+P+PD 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q′B= QB=30° ∠ ，∠QBQ′=60°， BQQ′ ∴△ 为等边三角形，△BDD′为等边三角形， D′BQ′=90° ∴∠ ， ∴在Rt D′BQ′ △ 中， D′Q′= ． Q+P+PD ∴ 的最小值= ， 【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、解直角三角形，轴对称−−最短路径问题等知识， 解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考压轴题．