模型18 轴对称——将军饮马模型-原卷版

轴对称 模型（十八）——将军饮马模型 类型一：和两旁 模型1 如图，定点，B 分布在定直线l 的两侧，在直线l 上找一点P，使得 P＋PB 的值最小 【作法】如图，连接 B，与直线 l 的交点即为所求点P 模型2 如图，定点，B 分布在定直线l 的同侧，在直线l 上找一点P，使得P+ PB 的值最小 【作法】如图，作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接B＇，与直线 l 的交点即为所求点P 模型3 如图，点P 为角内一点，在射线，B 上分别找点M，，使得△PM 的周长 最小 【作法】如图，分别作点 P 关于两射线，B 的对称点P₁ 和P₂，连接 P1P2 ，与两射线的交点即为所求点 M， 。 此图结论： 1P＝OP1＝P2 2. PM＋P＋M＝P1M＋P2＋M≥P1P2 3. ∠P1＝∠P,∠P2B＝∠PB,∠P1P2＝2∠B 4. 对称：△MP≌△MP1 模型4 ：在∠M 的内部有点和点B，在M 上找一点，在上找一点D，使得四边 形BD 周长最短． 作法：作点关于M 的对称点’，作点B 关于的对称点B’，连接’B’，与M 交于点，与交于点D，连接，BD，B，四边形BD 即为所求． 模型5 在∠M 的内部有一点，在M 上找一点B，在上找一点，使得B＋B 最短． 点是定点，M，是定线， 点B、点是M、上要找的点，是动点． 作法：作点关于M 的对称点’，过点’作’⊥， 交M 于点B，B、即为所求。 模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点，直线l2上找一个点D，使 得D⊥l2, 且＋BD＋D 最短． 作法：将点沿D 方向向下平移D 长度d 至点’，连接’B，交l2于点D，过点 D 作D⊥l2于点，连接．则桥D 即为所求．此时最小值为’B+D 模型7 已知、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与，且M 长度等于定 长d（动点M 位于动点左侧），使M+M+B 的值最小 作法一：将点向右平移长度d 得到点’， 作’关于直线l 的对称点’’，连 接’’B，交直线l 于点，将点向左平移长度d，得到点M。 作法二：作点关于直线l 的对称点1，将点1向右平移长度d 得到点2，连接2 B， 交直线l 于点Q，将点Q 向左平移长度d，得到点Q。 【总结】研究几何最值： ⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短 类型二：差同旁 模型8 在定直线l 上找一个动点P，使动点P 到两个定点与B 的距离之差最小， 即|P-PB |最小 作法：连接B，作B 的中垂线与l 的交点，即为所求 点P 此时|P-PB |=0 模型9 在定直线l 上找一个动点，使动点到两个定点与B 的距离之差最大，即 |P-PB |最大 作法：延长B 交l 于点，点即为所求， 即点B、、三点共线时，最大值为B 的长度。 模型10 ：在定直线l 上找一个动点，使动点到两个定点与B 的距离之差最大， 即|P-PB|最大 作法：作点B 关于l 的对称点B，连接B， 交交l 于点P 即为所求，最大值为B 的长度。 和两旁 1．（2021·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥M，使 从到B 的路径MB 最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ） ． B． ． D． 2．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有 、 两地，现要铺设一条引水管道，从 地把 河水引向 、 两地．下列四种方中，最节省材料的是（ ） ． B． ． D． 3．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，已知点 、 分别是等边三角形 中 、 边的中点， ，点 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 1．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰 中， ， ， 于 ， 点 、 分别是线段 、 上的动点，则 的最小值是____． 2．（2020·海南三亚·八年级期末）如图，四边形BD 中， ， ，E、F 分别是D、B 上 的动点，当 的周长最小时， 的度数是______． 3．（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 在坐标系中（1，1），B （4，2），（3，4）． (1)在图中画出 关于x 轴的对称图形 ，并分别写出对应点1、B1、1的坐标． (2)求 ． (3)在y 轴上是否存在一点p，使得P+P 最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由． 4．（2022·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发， 带着马走到河边 点饮水后，再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图 中找出 点，使 的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的周长最小，不说明理由； （3）实践应用 ：如图，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、 分别是 、 边上的动点，求 的最小值． 1．（2018·广东广州·中考真题）如图，在四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，B＞D，D＝B+D． （1）利用尺规作∠D 的平分线DE，交B 于点E，连接E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，①证明：E⊥DE； ②若D＝2，B＝4，点M，分别是E，B 上的动点，求BM+M 的最小值． 2．（2017·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为 的正三角形纸片 按如下顺序进行两次折叠，展开 后，得折痕 （如图①），点 为其交点 （1）探求 与 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若 分别为 上的动点 ①当 的长度取得最小值时，求 的长度； ②如图③，若点 在线段 上， ，则 的最小值=