附3 将军饮马模型

精编120 个中考热点解题技巧思想以及常见几何模型添加技巧精髓 三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题， 都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归 等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最 值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用 轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 【模型描述】 如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使 得路程最短？ A B 将军 军营 河 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P+PB 最小？ P B A 这个问题的难点在于P+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需 转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 折点 端点 A' P B A 【模型展示】 【模型】一、两定一动之点点 在、B 上分别取点M、，使得△PM 周长最小． M N P'' P' N M B A P O O P A B 此处M、均为折点，分别作点P 关于（折点M 所在直线）、B（折点所在直线）的对称点， 化折线段PM+M+P 为P’M+M+P’’，当P’、M、、P’’共线时，△PM 周长最小． 【精典例题】如图，点P 是∠B 内任意一点，∠B=30°，P=8，点M 和点分别是射线和射线B 上的动点，则△PM 周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PM 周长即PM+P+M 的最小值，此处M、均为折点，分别作点P 关于B、对称点 P’、P’’，化PM+P+M 为P’+M+P’’M． P' P'' N M A B O P 当P’、、M、P’’共线时，得△PM 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接P’、P’’，可得 △P’P’’为等边三角形，所以P’P’’=P’=P=8． P O B A M N P'' P' 【模型】二、两定两动之点点 在、B 上分别取点M、使得四边形PMQ 的周长最小。 Q' P' M N B A P O Q Q O P A B N M 考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+M+Q 最小值即可，类似，分别作点P、Q 关于、B 对称，化折线段PM+M+Q 为P’M+M+Q’，当P’、M、、Q’共线时，四边形PMQ 的周长最 小。 【模型】三、一定两动之点线 在、B 上分别取M、使得PM+M 最小。 P' M N B A P O O P A B N M 此处M 点为折点，作点P 关于对称的点P’，将折线段PM+M 转化为P’M+M，即过点P’作 B 垂线分别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一：两定一动模型 模型 作法 结论 l B A 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使P＋PB 最小． l P A B 连接B 交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得P＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点 B'， 连接B'交直线l 于点P，点P 即为所求作的点． P＋PB 的最小值为B' 题型精讲 l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得 最大． l P A B 连接B 并延长交直线l 于点 P，点P 即为所求作的点． 的最大值为B l A B 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P，使得 最大． l B' A B P 作点B 关于直线的对称点B'， 连接B'并延长交直线l 于点 P，点P 即为所求作的点． 的最大值为B' l A B 当两定点、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使得 最小． l P A B 连接B，作B 的垂直平分线交 直线l 于点P，点P 即为所求 作的点． 的最小值为0 【例1】如图，点的坐标为（3，y），当△B 的周长最短时，求y 的值． x y B(2,0) A(0,3) O 【解析】解：解：（1）作关于x=3 的对称点′，连接′B 交直线x=3 与点． ∵点与点′关于x=3 对称，∴=′．∴+B=′+B． 当点B、、′在同一条直线上时，′+B 有最小值，即△B 的周长有最小值． ∵点与点′关于x=3 对称，∴点′的坐标为（6，3）． 设直线B′的解析式y=kx+b，将点B 和点′的坐标代入得：k＝ ，b＝− ． ∴y= x- ． 将x=3 代入函数的解析式，∴y 的值为 【例2】如图，正方形BD 中，B＝7，M 是D 上的一点，且DM＝3，是上的一动点，求|D －M| 的最小值与最大值． M B C A D N 【解析】解：当D=M 时，即点DM 的垂直平分线与的交点，|D-M|=0， 因为|D-M|≤DM，当点运动到点时取等号，此时|D-M|=DM=3， 所以|D-M|的最小值为0，最大值为3 【例3】如图1（注：与图2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 , , ． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2） 是抛物线对称轴上的一点，求满足 的值为最小的点 坐标（请在图1 中 探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形？若存在，请求出点 坐标，若不存在请说明理由（请在图2 中探索） 【答】（1） ，函数的对称轴为： ；（2）点 ；（3）存在， 点 的坐标为 或 ． 【解析】 解： 根据点 , 的坐标设二次函数表达式为： ， ∵抛物线经过点 ， 则 ，解得： ， 抛物线的表达式为： ， 函数的对称轴为： ； 连接 交对称轴于点 ，此时 的值为最小， 设B 的解析式为： ， 将点 的坐标代入一次函数表达式： 得： 解得： 直线 的表达式为： ， 当 时， ， 故点 ； 存在，理由： 四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形， 则 ， 点 在第四象限，故：则 ， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 题型二：一定两动模型 模型 作法 结论 A O B P 点P 在∠B 内部，在B 边上找点D， 边上找点，使得△PD 周长最小． D C P'' P' P B O A 分别作点P 关于、B 的对称点 P′、P″，连接P′P″，交、B 于 点、D，点、D 即为所求． △PD 周长的最小值为P′P″ P B O A 点P 在∠B 内部，在B 边上找点D， D C P' P B O A 作点P 关于B 的对称点P′，过 PD＋D 的最小值为P′ 边上找点，使得PD＋D 最小． P′作P′⊥交B 于D，点、点D 即为所求． 【例4】如图，点P 是∠B 内任意一点，∠B=30°，P=8，点M 和点分别是射线和射线B 上的 动点，则△PM 周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PM 周长即PM+P+M 的最小值，此处M、均为折点，分别作点P 关于B、对称点 P’、P’’，化PM+P+M 为P’+M+P’’M． P' P'' N M A B O P 当P’、、M、P’’共线时，得△PM 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接P’、P’’，可得 △P’P’’为等边三角形，所以P’P’’=P’=P=8． P O B A M N P'' P' 【例5】如图，点P 是∠B 内任意一点，且∠B＝40°，点M 和点分别是射线和射线B 上的动点，当△PM 周长取最小值时，则∠MP 的度数为（ ） ．140° B．100° ．50° D．40° 【解答】解：分别作点P 关于、B 的对称点P1、P2， 连接P1P2，交于M，交B 于，则P1＝P＝P2，∠P1M＝∠MP，∠P＝∠P2， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，P＝P2，则△PM 的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1P2＝2∠B＝80°，∴等腰△P1P2中，∠P1P2+∠P2P1＝100°， ∴∠MP＝∠PM+∠P＝∠P1M+∠P2＝100°，故选：B． 【例6】如图，在正方形BD 中，点E，F 分别是边D，B 的中点，连接DF，过点E 作 E DF ⊥ ，垂足为，E 的延长线交D 于点G． （1）猜想DG 与F 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点作M D ∥，分别交D，B 于点M，，若正方形BD 的边长为10，点P 是M 上一点， 求△PD 周长的最小值． 【答】（1）结论：F=2DG，理由见解析；（2）△PD 的周长的最小值为10+2 ． 【详解】 （1）结论：F=2DG． 理由：∵四边形BD 是正方形， D=B=D=B ∴ ，∠D= =90° ∠ ， DE=E ∵ ， D=D=2DE ∴ ， EG DF ∵ ⊥ ， DG=90° ∴∠ ， DF+ DGE=90° ∴∠ ∠ ，∠DGE+ DEG=90° ∠ ， DF= DEG ∴∠ ∠ ， DEG DF ∴△ ∽△ ， ∴ = = ， F=2DG ∴ ． （2）作点关于M 的对称点K，连接DK 交M 于点P，连接P， 此时△PD 的周长最短．周长的最小值=D+PD+P=D+PD+PK=D+DK． 由题意：D=D=10，ED=E=5，DG= ，EG= ，D= = ， E=2D=2 ∴ ， M= ∴ =2， DM==K= ∴ =1， 在Rt DK △ 中，DK= = =2 ， PD ∴△ 的周长的最小值为10+2 ． 【例7】如图，抛物线y=x2 5x+ ﹣ 与坐标轴分别交于点，，E 三点，其中（﹣3，0）， （0，4），点B 在x 轴上，=B，过点B 作BD x ⊥轴交抛物线于点D，点M，分别是线段， B 上的动点，且M=B，连接M，M，． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）当△M 是直角三角形时，求点M 的坐标； （3）试求出M+的最小值． 【答】（1）抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4；D 点坐标为（3，5）；（2）M 点的坐标为 （0， ）或（0， ）；（3）M+的最小值为 ． 【详解】 （1）把（﹣3，0），（0，4）代入y=x2 5x+ ﹣ 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4； =B ∵ ，⊥B， B==3 ∴ ， B ∴（3，0）， BD x ∵ ⊥轴交抛物线于点D， D ∴ 点的横坐标为3， 当x=3 时，y=﹣ ×9+ ×3+4=5， D ∴ 点坐标为（3，5）； （2）在Rt B △ 中，B= =5， 设M（0，m），则B=4 m ﹣，=5﹣（4 m ﹣）=m+1， M= B ∵∠ ∠， ∴当 时，△M B ∽△，则∠M= B=90° ∠ ， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 当 时，△M B ∽△，则∠M= B=90° ∠ ， 即 ，解得m= ，此时M 点坐标为（0， ）； 综上所述，M 点的坐标为（0， ）或（0， ）； （3）连接D，D，如图， =B ∵ ，⊥B， ∴平分∠B， = B ∴∠∠， BD ∵ ∥， B= DB ∴∠ ∠ ， DB=B==5 ∵ ，M=B， M DB ∴△ △ ≌ ， M=D ∴ ， M+=D+ ∴ ， 而D+≥D（当且仅当点、、D 共线时取等号）， D+ ∴ 的最小值= ， M+ ∴ 的最小值为 ． 题型三：两定两动模型 模型 作法 结论 P B O A Q 点P、Q 在∠B 内部，在B 边上找点 D，边上找点，使得四边形PQD 周 长最小． 分 别作点P、Q 关于、B 的对称点 P′、Q′，连接P′Q′，分别交、B 于点、D，点、D 即为所求． P ＋D ＋DQ 的最小值为 P′Q′，所以四边形PQD 周 长的最小值为PQ＋P′Q′ 【例8】如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为 边上的两个动点，且 ，若想使得四边形 的周长最小，则 的长度应 为__________ 【答】 【详解】 解：如图，在D 上截取线段F=DE=2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一点 即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，过G 点作B 的平行线交D 的延长 线于点． E ∵ 为D 的中点，∴E=2 G=DF=5 ∴ ，E=2+4=6，∠=90°， B//G ∵ ∴ , ∴ , ∴ ， Q= ∴ ， BP=B-PQ-Q=7-2- ∴ ． 故答为 ． 【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P 到直线l1的距离为6，点Q 到直 线l2的距离为4，PQ=4√30 ，在直线l1上有一动点，直线l2上有一动点B，满足B⊥l2，且 P+B+BQ 最小，此时P+BQ=______． 【答】16． 【详解】 作PE l ⊥1于E 交l2于F，在PF 上截取P=8，连接Q 交l2于B，作B l ⊥1于，此时P+B+BQ 最 短．作QD PF ⊥ 于D．在Rt PQD △ 中，∵∠D=90°，PQ= ，PD=18，∴DQ= = ，∵B=P=8，B P ∥，∴四边形BP 是平行四边形，∴P=B，D=10， ∴P+BQ=B+BQ=Q= = =16．故答为16． 题型四：两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线l 上找M、两点 (M 在左)，使得M＋M＋B 最 M＋M＋B 的 最 小 值 为"B＋d B l d B l M ′ " 小，且M＝d 将向右平移d 个单位到′，作′ 关于l 的对称点"，连接"B 与直线l 交于 点，将点向左平移d 个单位即为M，点 M，即为所求 如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d， 在l1、l2分别找M、两点，使 得M⊥l1，且M＋M＋B 最小． 将向下平移d 个单位到，连接′B 交直线l2 于点，过点作M⊥l1，连接M 点M、即 为所求． M＋M＋B 的 最小值 为'B＋d 【例10】在平面直角坐标系中，矩形B 如图所示，点在x 轴正半轴上，点在y 轴正半轴上， 且＝6，＝4，D 为中点，点E、F 在线段上，点E 在点F 左侧，EF＝2 当四边形BDEF 的周 长最小时，求点E 的坐标． 【解析】如图，将点D 向右平移2 个单位得到D'(2，2)，作D'关于x 轴的对称点D"(2，－ 2)，连接BD"交x 轴于点F，将点F 向左平移2 个单位到点E，此时点E 和点F 为所求作的 点，且四边形BDEF 周长最小 理由： ∵四边形BDEF 的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD 与EF 是定值 ∴BF＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD" 设直线BD"的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入， 得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝，b＝－5，∴直线BD"的解析式为y＝x－5． B l2 l1 B l2 l1 ′ M 令y＝0，得x＝，∴点F 坐标为(，0)．∴点E 坐标为(，0)． 【例11】村庄和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的 桥，桥址应如 何选择，才使与B 之间的距离最短？ 【解答】 设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接B'交l1于1，作12⊥l2于2， 则→1→2→B 为最短路线，即与B 之间的距离最短 题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动 点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【详解】 在 中， ，D 是 的中线，可得点B 和点D 关于直线D 对称，连结 E，交D 于点P，此时 最小，为E 的长，故选B 2、如图，在正方形BD 中，E 是B 上一点，BE＝2，B＝8，P 是上一动点，则PB+PE 的最 小值_____． l1 l2 B 【答】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交于点P，此时PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形BD 为正方形，且BE＝2，B＝8， ∠ ∴ DB＝90°，D＝B＝8，E＝B-BE＝6， 在Rt△DE 中，根据勾股定理，得 DE＝ ＝ ＝10． ∴PB+PE 的最小值为10． 故答为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 交 轴于点 ， 轴，反比 例函数 的图象经过点 ，点 的坐标为 ， ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点 为 轴上一动点，当 的值最小时，求出点 的坐标． 【答】（1） ；（2） 【详解】 解：（1）∵ 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ，即 把点 代入的 得， ∴反比例函数的解析式为： ． 答：反比例函数的解析式为： ． （2）过点 作 垂足为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则点 关于 轴的对称点 ，直线 与 轴的交点就是所求点 ，此时 最小， 设直线B1的关系式为 ，将 , ，代入得， 解得： ， ， ∴直线 的关系式为 ， 当 时， ， ∴点 答：点 的坐标为 ． 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+与x 轴交于（﹣1，0）B（3，0）两点， 与y 轴交于点，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在y 轴上找一点M，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点，P，为顶点，为直角边的三角形是直角 三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）抛物线解析式为y= x ﹣ 2+2x+3；直线的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为 （0，3）； （3）符合条件的点P 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）， 【详解】 解：（1）设抛物线解析式为y=（x+1）（x 3 ﹣）， 即y=x2 2x 3 ﹣ ﹣， ∴ 2=2 ﹣