第三章 一元一次方程压轴题考点训练（解析版）

第三章 一元一次方程压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．方程 的解是x=( ) ． B．- ． D．- 【答】D 【详解】方程两边同乘以24 可得-8[ ]-2=-1，去括号，可得-8（ ）-2=-1，即-4-4x+ -2=-1，4x=-5+ ，解得x=- 故选D 2．某书店推出如下优惠方：（1）一次性购书不超过100 元不享受优惠；（2）一次性购书 超过100 元但不超过300 元一律九折；（3）一次性购书超过300 元一律八折．某同学两次 购书分别付款80 元、252 元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元． ．288 B．306 ．288 或316 D．288 或306 【答】 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实 际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80 元．第二次就有两种情况，一种是 超过100 元但不超过300 元一律9 折；一种是购物超过300 元一律8 折，依这两种计算出 它购买的实际款数，再按第三种方计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第二次消费80 元的情况下，他的实质购物价值只能是80 元． （2）第二次购物消费252 元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不 同）： ①第一种情况：他消费超过100 元但不足300 元，这时候他是按照9 折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×09=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300 元，这时候他是按照8 折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×08=252，解得：x=315． 即在第二次消费252 元的情况下，他的实际购物价值可能是280 元或315 元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360 或80+315=395，均超过了300 元．因此 可以按照8 折付款：360×08=288 元或395×08=316 元，故选：． 【点睛】此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252 元可能有两种情况，需 要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 3．课外小组女同学原来占全组人数的 ,加入4 名女同学后,女同学就占全组的 ,则课外小 组原来的人数是( ) ．35 B．12 ．37 D．38 【答】B 【详解】设课外小组原来的人数是x，因为男生人数总是不变的，所以据此列方程： ，解得x=12 故选B 点睛：注意问题中的不变的量是男生，课外活动小组原来男生占总人数的 ，增加4 个 女生后，男生占总人数的 ，所以根据男生数量不变来列方程，此题容易纠结女生的数 量的变化而无从入手 4．2015 年11 月11 日某淘宝卖家卖出两件商品，它们的售价均为120 元，其中一件盈利 20%，一件亏损20%，在这次买卖中这位卖家（ ） ．不赔不赚 B．赔了10 元 ．赚了10 元 D．赔了50 元 【答】B 【详解】试题解析：设赚了20%的一件商品原价是x 元， 则（1+20%）x=120， 解得x=100． 设赔了20%的一件商品原价是y 元， 则（1-20%）y=120， 解得y=150， 100+150=250 ∵ （元）， 120×2=240（元）， 250-240=10（元）， ∴亏损10 元． 故选B． 考点：一元一次方程的应用． 5．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40 元；按原价的九 折出售，那么每件盈利20 元，则这种衬衫的原价是( ) ．160 元 B．180 元 ．200 元 D．220 元 【答】 【分析】设这种衬衫的原价是x 元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x 的一元一次方 程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种衬衫的原价是x 元， 依题意，得：06x+40=09x-20， 解得：x=200． 故选． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题 的关键． 6．方程 的解是 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解． 【详解】方程变形得： 即 ， 去分母得： ， 解得:x= 故选B 【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形 评卷人 得分 二、填空题 7．当m 的值为 (只需写出一个即可)，可以使关于x 的方程 的解为整 数． 【答】不唯一，如6 等 【详解】试题解析：由 ，得 x= ． x ∵、m 都是整数， m=-8 ∴ 或-1 或6、或13 等． 8．若关于x 的方程2x+m-3(m-1)=1+x 的解为负数，则m 的范围是 【答】m<1 【详解】试题分析：去括号得2x+m-3m+3=1+x，移项合并同类项得x=2m-2，由解为负数可 得2m-2＜0 解得m＜1 故答为：m＜1 9．某超市推出开业一周年，优惠大酬宾活动．规定：若一次性购物不超过200 元的不优惠； 超过200 元时，按全额9 折优惠．李大妈第一次购物付款90 元，第二次购物付款189 元， 若这两次购物合起来一次性付款可节省 元． 【答】 或9 【分析】第二次购物付款189 元，可推测189 元是优惠后付款，也可能是无优惠付款，故 分两种情况分析，即可求出答． 【详解】若第二次购物超过200 元，设此时所购物品价值为x 元 则 ∴ 两次所购物价值为 因此两次购物合并成一次性付款可节省： 元 若第二次购物没有过200 元 两次所购物价值为 这两次购物合并成一次性付款可以节省： 元 故答为： 或9． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程的性质， 并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答． 10．已知B 是一段只有3 千米长的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在B 段相遇，必 须倒车才能继续通过．如果小汽车在B 段正常行驶需10 分钟，大卡车在B 段正常行驶需 20 分钟，小汽车在B 段倒车的速度是它正常行驶速度的 ，大卡车在B 段倒车的速度是 它正常行驶的 ，小汽车需倒车的路程是大卡车的4 倍．问两车都通过B 这段狭窄路面的 最短时间是 分钟． 【答】50 【详解】解：小汽车X 通过B 段正常行驶需要10 分钟，小汽车在B 段倒车的速度是它正常 行驶速度的 ， 由此得出倒车时间B 段X=10÷ =50 分钟， 卡车Y 通过B 段正常行驶需20 分钟，大卡车在B 段倒车的速度是它正常行驶速度的 ， 由此得出倒车时间B 段Y=20÷ =160 分钟， 又因为：小汽车需要倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4 倍，得到小车进入B 段 ，大 车进入B 段 ， 由此得出实际Y 倒车时间=160× =32 分钟，实际X 倒车时间=50× =40 分钟． 若Y 倒X 进则是32+20=52 分钟两车都通过B 路段， 若X 倒Y 进则是40+10=50 分钟两车都通过B 路段， 所以两车都通过B 路段的最短时间是50 分钟． 故答为：50． 【点睛】本题属于应用题，有一定难度，解题时注意分别讨论小汽车和大卡车分别倒车所 用的时间． 11．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程 的解为 ． 【答】1 【分析】将 化为 ，对比 ，可知 ，由解为 ，可求得 【详解】解：由 得， ， ， 因为关于 的一元一次方程 的解为 ， 对比上下两式可得： ， 即 ，解得 本题的答为：1 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，应用常规的方法计算量大增，这里灵活地采 用了一种对比法的解法， 与 是相同一元一次方程的解，则满足方程的解也可满足 使方程成立，即 12．一个两位数的十位数字与个位数字的和是9 如果把这个两位数加上63，那么恰好成为 原两位数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原两位数是 【答】18 【分析】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x，根据原数加63 等于新数列方程解 答 【详解】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x， 10x+9-x+63=10（9-x）+x， x=1， 9-x=8 ∴ ， ∴原两位数是18 故答为：18 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解数间的关系是解题的关键 13．如图，数轴上线段 ，点 在数轴上表示的数是－10，点 在数轴上表示 的数是16，若线段 以6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2 个单位 长度/秒的速度向左匀速运动．当 点运动到线段 上时， 是线段 上一点，且有关系 式 成立，则线段 的长为 ． 【答】5 或35 【分析】随着点B 的运动，分别讨论当点B 和点重合、点在点和B 之间及点与点重合时的 情况． 【详解】解：设运动时间为t 秒， ①当t=3 时，点B 和点重合，点P 在线段B 上，0＜P≤2，且BD=D=4， P+3P=B+2P=2+2P， ∵ ， ∴BD=P+3P，即4=2+2P， ∴P=1， ∴PD=P+BD=5； ②当3＜t＜ 时，点在点和点B 之间，0＜P＜2， 当点P 在线段上时，BD=D-B=4-B，P+3P=+2P=B-B+2P=2-B+2P， ∵ ， ∴BD=P+3P，即4-B =2-B +2P， ∴P=1， ∴PD=P+D=5； 当点P 在线段B 上时，BD=D-B=4-B，P+3P=+4P=B-B+4P=2-B+4P， ∵ ， ∴BD=P+3P，即4-B =2-B +4P， ∴P= ， ∴PD=D-P=4- =35； ③当t= 时，点与点重合，0＜P≤2，BD=D-B=2，P+3P=4P， ∵ ， ∴BD=P+3P，即2 =4P， ∴P= ， ∴PD=D-P=4- =35； ④当 ＜t＜ 时，0＜P≤6，BD=D-B=4-B，P+3P=B-B+4P=2-B+4P， ∵ ， ∴BD=P+3P，即2 =4P， ∴P= ， ∴PD=D-P=4- =35； 综上，线段 的长为5 或35， 故答为：5 或35 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和 线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解． 评卷人 得分 三、解答题 14．（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一 个数为 ，则用含 的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在 横线上） （2）现将连续自然数1~2007 按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出 16 个数． ①图中框出的这16 个数的和是__________； ②在图（2）中，要使一个正方形框出的16 个数的和等于2016，2168，是否可能？若不 可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16 个数中的最小数和最大数． 【答】（1） ， ， ；（2）①352；②框出的16 个数它们的和可以等于2016， 且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析 【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是，则上面的数是-7，下面的数是+7； （2）①可以把这16 个数直接加起来即可， ②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是 4m+6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是 4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16 个数相加也就是四行数相加，令 其结果等于2016 或2168，看计算出的m 的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就 说明不存在． 【详解】解：（1）若中间的数是，那么上面的数是-7，下面的数是+7， 故这三个数从小到大排列分别是-7，，+7； （2）①16 个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46， 第二行的四个数之和是：46+4×7=74， 第三行的四个数之和是：74+4×7=102， 第四行的四个数之和是：102+4×7=130． 于是16 个数之和=46+74+102+130=352． 故图中框出的这16 个数之和是352； ②设这16 个数中最小的数为 ，则这16 个数分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 它们的和为 （ 为正整数）， 所以它们的和可以等于2016， 理由： ，解得 ， 所以 ， 因此框出的16 个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138， 它们的和不可能等于2168，理由： ，解得 ， 而 应为整数，所以16 个数的和不可能等于2168． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并 应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． 15．如图，数轴上线段B 长2 个单位长度，D 长4 个单位长度，点在数轴上表示的数是﹣ 10，点在数轴上表示的数是16．若线段B 以每秒6 个单位长度的速度向右匀速运动，同时 线段D 以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动． (1)问：运动多少秒后，点B 与点互相重合？ (2)当运动到B 为6 个单位长度时，则运动的时间是多少秒？ (3)P 是线段B 上一点，当点B 运动到线段D 上时，是否存在关系式 ？若存在， 求线段PD 的长；若不存在，请说明理由． 【答】(1) 运动3 秒后，点B 与点互相重合；(2) 运动 或 秒后，B 为6 个单位长度；(3) 存在关系式 ，此时PD= 或 ． 【分析】（1）设运动t 秒后，点B 与点互相重合，列出关于t 的方程，即可求解； （2）分两种情况：①当点B 在点的左边时，②当点B 在点的右边时，分别列出关于t 的方 程，即可求解． （3）设线段B 未运动时点P 所表示的数为x，分别表示出运动t 秒后，点表示的数，D 点 表示的数，点表示的数，B 点表示的数，P 点表示的数，从而表示出BD，P，P，PD 的长， 结合 ，得18 8 ﹣t﹣x=4|16 8 ﹣t﹣x|，再分两种情况：①当点在P 点右侧时，② 当点在P 点左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）由题意得：B=16-(-10)-2=24， 设运动t 秒后，点B 与点互相重合，则 6t+2t=24，解得：t=3． 答：运动3 秒后，点B 与点互相重合； （2）①当点B 在点的左边时， 由题意得：6t+6+2t=24 解得：t= ； ②当点B 在点的右边时， 由题意得：6t 6+2 ﹣ t=24， 解得：t= ． 答：运动 或 秒后，B 为6 个单位长度； （3）设线段B 未运动时点P 所表示的数为x， 运动t 秒后，点表示的数为16 2 ﹣t，D 点表示的数为20 2 ﹣t，点表示的数为﹣10+6t，B 点 表示的数为﹣8+6t，P 点表示的数为x+6t， ∴BD=20 2 ﹣t ( 8+6 ﹣﹣ t)=28 8 ﹣t， P=x+6t ( 10+6 ﹣﹣ t)=10+x， P=|16 2 ﹣t ( ﹣x+6t)|=|16 8 ﹣t﹣x|， PD=20 2 ﹣t ( ﹣x+6t)=20 8 ﹣t﹣x=20 (8 ﹣ t+x)， ∵ ， ∴BD﹣P=4P， 28 8 ∴ ﹣t (10+ ﹣ x)=4|16 8 ﹣t﹣x|， 即：18 8 ﹣t﹣x=4|16 8 ﹣t﹣x|， ①当点在P 点右侧时， 18 8 ﹣t﹣x=4(16 8 ﹣t﹣x)=64 32 ﹣ t 4 ﹣x， ∴x+8t= ， ∴PD=20 (8 ﹣ t+x)=20﹣ = ； ②当点在P 点左侧时， 18 8 ﹣t﹣x= 4(16 8 ﹣ ﹣t﹣x)= 64+32 ﹣ t+4x， ∴x+8t= ， ∴PD=20 (8 ﹣ t+x)=20﹣ = ． ∴存在关系式 ，此时PD= 或 ． 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离以及动点问题，掌握用代数式表 示数轴上的点以及两点间的距离，根据等量关系，列方程，是解题的关键． 16．已知甲沿周长为300 米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为米/秒，与此同时在甲 后面100 米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3 米/秒设运动时间为t 秒 (1)若=5，求甲、乙两人第1 次相遇的时间； (2)当t=50 时，甲、乙两人第1 次相遇 ①求的值； ②若 时，甲、乙两人第1 次相遇前，当两人相距120 米时，求的值 【答】（1）t=100（2）① =1 或7 ②t=5 或20 【分析】（1）根据相遇时，甲和乙的路程差等于200 米,列方程即可求解； （2）①由第1 次相遇时间为50 秒，分两种情况：当 时,乙和甲的路程差等于100 米； 当 时甲和乙的路程差等于200 米列方程即可求出值； ②当 时由①可知=7，分两种情况讨论：一种是乙距甲120 米，即在100 米的基础上 甲又比乙多跑20 米，此时两人在第一次相遇前相距120 米，另一种是甲距乙120 米，即在 200 米的基础上甲又比乙多跑80 米，此时两人在第一次相遇前相距120 米，即可得出t 值 【详解】（1）由题可列方程 ， 解得： ， 答：若 =5,甲、乙两人第1 次相遇的时间为100 秒 （2）①有两种情况： 当 时，则 ，解得 ， 当 时，则 ，解得 ， 所以=1 或7； ②当 时由①可知=7，根据题意可列方程： ，或 解得，t=5 或20 【点睛】本题主要一元一次方程的实际应用--追及问题，根据追及时间=路程差÷速度差， 分类列出关于t 的一元一次方程，是解题的关键 17．某人去水果批发市场采购香蕉，他看中了 、 两家香蕉。这两家香蕉品质一样，零 售价都为6 元/千克，批发价各不相同． 家规定：批发数量不超过1000 千克，全部按零售价的90%优惠；批发数量超过1000 千 克且不超过2000 千克，全部按零售价的85%优惠；批发数量超过2000 千克的全部按零售 价的78%优惠． 家的规定如下表： 数量范围（千 克） 0～500（包含500） 500 以上～1500（包含1500） 1500 以上 价格（元） 零售价的95% 零售价的80% 零售价的75% （1）如果他批发600 千克香蕉，则他在 、 两家批发各需要多少钱； （2）如果他批发 千克香蕉（ ），则他在 、 两家批发各需要多少钱 （用含有 的代数式表示）； （3）若恰好在两家批发所需总价格相同，则他批发的香蕉数量可能为多少千克？ 【答】（1）家：3240 元，B 家：3330 元；（2）家：51x，B 家：（45x+900）；（3）750 或1500 或5000 千克 【分析】（1）家批发需要费用：质量×单价×90%； B 家批发需要费用：500×单价×95%+（600-500）×单价×80%；把相关数值代入求解即可； （2）把x 代入（1）得到