第三章 位置与坐标压轴题考点训练（解析版）

第三章 位置与坐标压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．经过点M（4，－2）与点（x，y）的直线平行于x 轴，且点到y 轴的距离等于5，由点 的坐标是（ ） ．（5，2）或（－5，－2） B．（5，－2）或（－5，－2） ．（5，－2）或（－5，2） D．（5，－2）或（－2，－2） 【答】B 【分析】根据“平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同”可得y=-2,根据到y 轴距离等于5 的点分布在y 轴两侧，可得x=5 或x=-5,从而确定了点的坐标 【详解】解：∵点M（4，－2）与点（x，y）的直线平行于x 轴， ∴点M 与点的纵坐标相同， y=-2, ∴ ∵点到y 轴的距离等于5， x=5 ∴ 或x=-5, ∴点的坐标为（5，－2）或（－5，－2） 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中特殊点的坐标特点熟练掌握特殊点的坐标特点是解 题关键 2．在平面直角坐标系中，点 在 轴的负半轴上，则下列关于 、 取值的 式子正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据 轴的负半轴上的点的横坐标为，纵坐标小于解答即可． 【详解】解：因为点 在 轴的负半轴上， 所以 ， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握 轴上的点的坐标特点是解答本题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点M 坐标为 ，若 轴，且线段 ，则点坐标为 （ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】根据 轴，则 的纵坐标与 的纵坐标相等，根据 ，即可确定点坐 标． 【详解】解：∵点M 坐标为 ， 轴， ∴坐标为 或 故选 【点睛】本题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知与x 轴平行的点纵坐标都相等． 4．根据下列表述，能确定位置的是（ ） ．北纬 ，东经 B．郑州市建设路 ．北偏东 D．郑东新区奥斯卡影院2 排 【答】 【分析】根据确定位置需要两个不同要素判定即可． 【详解】北纬 ，东经 ，能确定位置，故符合题意； B 郑州市建设路，不能确定位置，故B 不符合题意； 北偏东 ，不能确定位置，故不符合题意； D 郑东新区奥斯卡影院2 排，不能确定位置，故D 不符合题意．故选：． 【点睛】本题考查了位置的确定方法，熟练掌握位置确定的方法是解题的关键． 5．下列说法不正确的是（ ） ．x 轴上的点的纵坐标为0 B．点P（﹣1，3）到y 轴的距离是1 ．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q （x，y）在第四象限 D．点（﹣2 1 ﹣，|b|）一定在第二象限 【答】D 【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符 号特点逐一判断可得． 【详解】解：．在x 轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意； B．点P（﹣1，3）到y 轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意； ．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选 项不合题意； D．﹣2 1 ﹣＜0，|b|≥0，所以点（﹣2 1 ﹣，|b|）在x 轴或第二象限，故原说法错误，故本选 项符合题意．故选D． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的性质，正确理解平面直角坐标系的性质是本题的 解题关键． 6．如图，面积为3 的等腰 ， ，点B、点在x 轴上，且 、 ，规定 把 “先沿y 轴翻折，再向下平移1 个单位”为一次变换，这样连续经过2023 次变换 后， 顶点的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意可得点 ，第1 次变换后，点的坐标为 ，第2 次变换后，点 的坐标为 ，第3 次变换后，点的坐标为 ，第4 次变换后，点的坐标为 ， 第5 次变换后，点的坐标为 ……，以此可发现规律：当经过次变换后，为奇数时， 点的横坐标为 ，纵坐标为 ；当经过次变换后，为偶数时，点的横坐标为2，纵坐标 为 ，以此即可解答． 【详解】解：∵面积为3 的等腰 ， ， 、 ， ∴点到x 轴的距离为3，横坐标为2， ∴ ， ∴第1 次变换的坐标为 ， 第2 次变换的坐标为 ， 第3 次变换的坐标为 ， 第4 次变换后，点的坐标为 ， 第5 次变换后，点的坐标为 ， 以此可发现规律：当经过次变换后，为奇数时，点 的横坐标为 ，纵坐标为 ； 当经过次变换后，为偶数时，点的横坐标为2，纵坐标为 ， 第2023 次变换后，点的坐标为 ， 故选：． 【点睛】本题考查了翻折变换、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形变化， 根据对称和平移的性质总结出点坐标变化的规律是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系上有个点 ，点 第次向上跳运个单位至点 紧 接着第 次向左跳动 个单位至点 ，第次向上跳动个单位，第 次向右跳运 个单位，第次又向上跳动个单位，第次向左跳动 个单位， ，依此规律跳动下去， 点 第 次跳动至点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】解决本题的关键是根据图形，写出各点坐标，利用具体数值分析出题目的规律， 再进一步解答．注意到第奇数次都是向上跳一个单位，而偶数次跳的次数也是有规律的． 【详解】解：由题中规律可得出如下结论：设点Pm 的横坐标的绝对值是， 则在y 轴右侧的点的下标分别是4（-1）和4-3， 在y 轴左侧的点的下标是：4-2 和4-1； 判断P2016的坐标，就是看2016=4（-1）和2016=4-3 和2016=4-2 和2016=4-1 这四个式子中 第一个有整数解，从而判断出点的横坐标， 点P 第2016 次跳动至点P2016的坐标是（505，1008）． 故选：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点 的坐标的规律，总结规律时要注意观察数字之间的联系，大胆的猜想． 8．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1， 0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律 探索可得，第2022 个点的坐标为（ ） ．（2022，8） B．（63，5） ．（64，5） D．（64，4） 【答】 【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推， 第一列有1 个点，第二列有2 个点…第列有个点，可得前列共有 个点，第列最下面 的点的坐标为（，0），最后按照规律可得第2022 个点的坐标． 【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类 推，第一列有1 个点，第二列有2 个点…第列有个 ∴前列共有 个点，第列最下面的点的坐标为（，0）， ∵ =2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇 数时，点的顺序是由上而下， ∴第2016 个点的坐标为（63，0）， 第2017 个点的坐标为（64，0）， 第2018 个点的坐标为（64，1）， 第2019 个点的坐标为（64，2）， 第2020 个点的坐标为（64，3）， 第2021 个点的坐标为（64，4）， 第2022 个点的坐标为（64，5）， 故选：． 【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关 键． 9．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 在y 轴上，顶点 、 、 、 、 、 、 …在x 轴上，已知正方形 的边长为1， ， …则正方形 的边长是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】由题易知 ，∴ ，∴ ，∴ ．同理， ；由此猜想 ．∴当 时， ．故选D． 评卷人 得分 二、填空题 10．如图， ， 以点为顶点， 为腰在第三象限作等腰直角 ．则点 的坐标为 ． 【答】 【分析】作 轴，垂直为D，证明 ，得到 ， 进而得到 ，根据点 在第三象限即可求解． 【详解】解：如图，作 轴，垂直为D，则 ， ∵点、B 坐标分别为 ， ， ∴ ， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ． 故答为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系等知识，熟知相关知识， 添加辅助线，证明 是解题关键． 11．如图，点 与点 关于直线 对称，则 ． 【答】-5 【分析】根据点 与点 关于直线 对称求得，b 的值，最后代入求解即 可． 【详解】解：∵点 与点 关于直线 对称 =-2 ∴ ， ,解得b=-3 +b=-2+ ∴ （-3）=-5 故答为-5． 【点睛】本题考查了关于y=-1 对称点的性质，根据对称点的性质求得、b 的值是解答本题 的关键． 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知△B 是等腰直角三角形，且∠B＝90°，若点 的坐标（3，1），则点B 的坐标为 ． 【答】（2，4）或（4，﹣2） 【分析】分两种情况讨论：当点B 在第一象限时，过作⊥x 轴于，过B 作BD⊥于D；当点 B'在第四象限时，过作E y ⊥轴于E，过B'作B'F E ⊥于F，分别依据全等三角形的对应边相等， 即可得到点B 的坐标． 【详解】如图，当点B 在第一象限时，过作⊥x 轴于，过B 作BD⊥于D，则=1，=3， 易得△BD≌△（S）， =BD=1 ∴ ，D==3， B ∴（2，4）； 当点B'在第四象限时，过作E y ⊥轴于E，过B'作B'F E ⊥于F，则E=1，E=3， 易得△E B'F ≌△ （S）， F=E=1 ∴ ，B'F=E=3， B' ∴（4，-2）， 故答为（2，4）或（4，-2）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形等知识 点，画出图形，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 13．如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分别以 ， 为直角边在第三、 第四象限作等腰 ，等腰 ，连接 交 轴于 点，点 的坐标是 ． 【答】 【分析】作 轴于 ，求出 ，证 ，得B=，再由 ，证 ，推出 =2，由点 的坐标为 即可得出点 的坐标为 ． 【详解】解：如图，作 轴于 ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ，=B ， 在 和 中， ， ， ， 又因为点 的坐标为 ， ， ， 又∵点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考 查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定 理有 ， ， ， ，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 14．如图，在四边形 中， ， ， ， 在 、 上分别找一点E、F，使得 的周长最小，则 周长的最小值 为 ． 【答】 【分析】作B 关于D 的对称点B1，关于D 的对称点B2，连接B1、B2，与D、D 分别交于 E、F，找到 的周长最小的情况．再过 作 延长线的垂线，交延长线与点M， 利用勾股定理求出 ，即 的周长的最小值． 【详解】如图所示，作B 关于D 的对称点B1，关于D 的对称点B2，连接B1、B2，与D、D 分别交于E、F，则此时 的周长最小． 证明如下：∵作B 关于D 的对称点B1，关于D 的对称点B2， ∴ ， ∴ ∵两点之间线段最短 ∴ 的周长最小， ． 过 作 延长线的垂线，交延长线与点M， ∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ ∴在 中， ．，∴ = ． 故答为： ． 【点睛】本题考查对称的性质和勾股定理．根据两点间线段最短找到 的周长最小的 情况是本题解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 15．（1）如图，已知点 （﹣4，4），一个以 为顶点的 45°角绕点 旋转，角 的两边分别 交 x 轴正半轴，y 轴负半轴于 E、F，连接 EF．当△EF 是直角三角形 时，点 E 的坐标是__ _______ （2）已知实数 x+y=12，则 的最小值是_____ 【答】（1）（8，0）或（4，0） （2）13 【详解】（1） 作D 垂直于y 轴于点D，如图所示： 当∠FE=90° FD+ FE=90° ∴∠ ∠ EF+ FE=90° ∵∠ ∠ FD= EF ∴∠ ∠ FE=90° ∵∠ ，∠EF=45° EF=45°= EF ∴∠ ∠ F=EF ∴ 在三角形DF 与三角形FE 中 ∴△DF≌△FE (S) F=D=4,E=DF=D+F=8 ∴ E ∴（8，0） 当∠EF=90°时，同理可得：F=8，E=4，∴E（4，0） 综上：E 点的坐标为（8，0）或（4，0） （2）∵ ∴ 把 代入 得： 即 由两点距离公式 可知，上式表示点M（x，0）到点（0，3）与B （12，2）距离和如图所示，找到的对称点 ,即最小值为 的距离，则 = 【点睛】本题（1）解题关键在 于，构造全等三角形，通过全等的性质得到边的长度，从而解得坐标值（2）解题关键在于， 把数化为形，通过两点之间的距离解得最小值问题 16．如图，在平面直角坐标系中，线段B 在x 轴上点，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3， 0），现同时将点，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位，分别得到点，B 的对 应点，D，连接，BD，D．得平行四边形BD （1）补全图形，直接写出点，D 的坐标； （2）若在y 轴上存在点M，连接M，MB，使S MB=S △ 四边形BD，求出点M 的坐标． （3）若点P 在直线BD 上运动，连接P，P．请画出图形，探索∠P、∠DP、∠BP 的数量关系 并说明理由． 【答】（1） ， ；详见解析；（2） 点的坐标为 或 ；（3）详见 解析，①当点 在 上， ；②当点 在线段 的延长线上时， ③当点 在线段 的延长线上时， 【分析】（1）根据平移法则作图即可，由平移法则可得出点，D 的坐标； （2）求出 ，设 坐标为 ，利用三角形面积公式列式求解即可； （3）分类讨论：当点P 在BD 上，如图1，作PE D ∥，根据平行线的性质得D PE B ∥ ∥，则 ∠DP= EP ∠ ，∠BP= EP ∠ ，易得∠DP+ BP= EP+ EP= P ∠ ∠ ∠ ∠；当点P 在线段BD 的延长线上时，如 图2，同样有∠DP= EP ∠ ，∠BP= EP ∠ ，由于∠EP- EP= BP- DP ∠ ∠ ∠ ，于是∠BP- DP= P ∠ ∠；同理可 得当点P 在线段DB 的延长线上时，∠DP- BP= P ∠ ∠． 【详解】解：（1）如图， ∵将 ， 分别向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位， ∴ ， ； （2）∵ ， ， ∴ ， 设 坐标为 ， ∴ ，解得 ∴ 点的坐标为 或 ； （3）三种情况 ①当点 在 上，如图1， 由平移的性质得， ， 过点 作 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ②当点 在线段 的延长线上时，如图2， 由平移的性质得， ， 过点 作 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ③当点 在线段 的延长线上时，如图3， 同（2）的方法得出 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段 的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查三角形面积公式和平行线的性质． 17．在平面直角坐标系 中，对于点 ， ， ， ，记 ， ，将 称为点 ， 的横纵偏差，记为 ，即 ． 若点 在线段 上，将 的最大值称为线段 关于点 的横纵偏差，记为 ． (1) ， ， ① 的值是 ； ②点 在 轴上，若 ，则点 的坐标是 ． (2)点 ， 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ． ①当点 的坐标为 时，求 的值； ②当线段 在 轴上运动时，直接写出 的最小值及此时点 的坐标． 【答】(1)①5；② 或 ； (2)①当点 的坐标为 时， 的值为4；② 的最小值是3，此时点 的坐标是 或 【分析】（1）①根据 的含义即可求得； ②设 ，则可得 与 ，由 即得关于x 的方程，解方程即可； （2）①由已知易得点P 的坐标，设点 为线段 上任意一点，则 ，从而可得 与 ，进而求得 ，由t 的取值范围即可求得 的最大值，最后可求得 的值； ②由已知易得 ， ， 或 ，设点 ，则 ，求出 及 ，当 = 时， 有最小值，从而可得关于t 的方 程，解方程即可求得t 的值，从而可求得此时 的最小值及点P 的坐标． 【详解】（1）① ， ， ， ， 则 ， 故答是5． ② ，点 在 轴上，设 ， ， ， ， ， 或 ，解得， 或 ， 的坐标是 或 ． 故答是 或 ． （2）① 点 、 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ， 设点 为线段 上任意一点，则 ； 点 的坐标为 ， ， ， ； 由 ，可得 ； ， 的最大值是4， ． ② ， ， 或 ， 设点 ，则 ， ， ， 当 ， ， 时， 有最小值， 即 时， 有最小值， 或 ，则 有最小值为3， 点 的坐标为 或 ， 的最小值是3，此时点 的坐标是 或 ． 【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知 识，有一定的难度，关键是理解题目中 及 的意义． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一 点M（﹣2，m）． (1)请用含m 的式子表示△BM 的面积； (2)当m＝- 时，在y 轴上有一点P，使△BMP 的面积与△BM 的面积相等，请求出点P 的坐 标． 【答】（1）－2m；（2）点P 坐标是(0，﹣ )或(0， ) 【分析】(1)过M 作E x ⊥轴于E，根据点M 在第三象限可得ME=-m，根据、B 坐标可求出B 的长，利用三角形面积公式即可得答；（2）先根据（1）计算S△BM，再分两种情况：当点 P 在y 轴正半轴上时、当点P 在y 轴负半轴上时，利用割补法表示出S△BMP，根据S△BMP=S△BM 列方程求解可得． 【详解】（1）如图1 所示，过M 作E x ⊥轴于E， ∵（﹣1，0），B（3，0）， ∴＝1，B＝3， B ∴＝4， ∵在第三象限内有一点M（﹣2，m）， ME ∴ ＝|m|＝﹣m， S ∴△BM＝ B×ME＝ ×4×（﹣m）＝﹣2m； （2）当m=- 时，M（-2，- ） S ∴△BM=-2×（- ）=3， 点P 有两种情况： ①当点P 在y 轴正半轴上时，设点p（0，k） S△BMP=5×（ +k）- ×2×（ +k）- ×5× - ×3×k= k+ ， S ∵△BMP=S△BM， ∴ k+ =3， 解得：k= ， ∴点P 坐标为（0， ）； ②当点P 在y 轴负半轴上时，设点p（0，）， S△BMP=-5- ×2×（-- ）- ×5× - ×3×（-）=- - ， S ∵△BMP=S△BM， - ∴ - =3， 解得：=﹣ ∴点P 坐标为（0，﹣ ）， 故点P 的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）． 【点睛