第三章 整式及其加减压轴题考点训练（解析版）

第三章 整式及其加减压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．设、b 互为相反数，、d 互为倒数，则2016（+b）﹣d 的值是 （ ） ．2016 B．0 ．1 D．﹣1 【答】D 【详解】由题意得：+b=0，d=1， 则原式=0−1=-1， 故选D 2．已知 ， ， ， ， ， ， ，…，请你推测 的个位数字是( ) ．3 B．9 ．7 D．1 【答】 【详解】试题解析：由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，…，可知3 的乘方的末位数字以3、9、7、1 四个数字为一循环， 2015÷4=503…3 ∵ ， 3 ∴ 2015的末位数字与33的末位数字相同是7． 故选． 3．我校给某“希望小学”邮寄每册元的图书1000 册，若每册图书的邮费为书价的5%，则 共需邮费（ ）元． ．5% B．5%×1000 ．1000（1+5%） D．50 【答】B 【分析】先求出每册的邮费，再乘以1000 即可得共需多少邮费． 【详解】每册元的图书的邮费为：5%元则1000 册图书共需邮费：5%×1000＝5%×1000 元． 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式，明确题目所给的数量关系，是解题的关键． 4．甲乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价5%，乙超市一次性降 价10%，在哪个超市购买这种商品合算？下列选项中正确的是（ ） ．甲超市 B．乙超市 ．两个超市一样 D．与商品的价格有关 【答】B 【分析】根据题意，分别列出降价后在甲乙两个商场的购物价格，问题即可解决． 【详解】解：设商品的定价为x， 则在甲超市购买这种商品价格为：x(1- )2= x； 在乙超市购买这种商品的价格为：x(1- )= x， ∴在乙超市购买这种商品合算． 故选B． 【点睛】该题考查了列代数式在现实生活中的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，正 确列出代数式，准确求解运算． 5．有下列说法：（）单项式 的系数、次数都是；（ ）多项式 的系数是 ， 它是三次二项式；（）单项式 与 都是七次单项式；（4）单项式 和 的系数分别是 或 ；（） 是二次单项式；（） 与 都是 整式，其中正确的说法有（ ）． ．个 B． ．个 D． 个 【答】 【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的 指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1），（2），（3）（4）（5）（6）都错． 其中，（1）单项式 的系数、次数都是1； （2）多项式-3x2+x-1 不能说多项式的系数，它是2 次3 项式； （3）单项式-34x2y 是3 次单项式， 是6 次单项式； （4）单项式- 和- 的系数分别是- 和- π； （5） 是多项式； （6） 是整式， 是分式． 故选． 【点睛】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部 分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项 式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若 干个单项式的和，有加减法． 6．一益智游戏分二阶段进行，其中第二阶段共有25 题，答对一题得3 分，答错一题扣2 分，不作答得0 分．若小明已在第一阶段得50 分，且第二阶段答对了20 题，则下列哪一 个分数可能是小明在此益智游戏中所得的总分（ ） ．103 分 B．106 分 ．109 分 D．112 分 【答】B 【分析】如果想要求出小明两个阶段的总得分，就要知道第一阶段的得分和第二阶段的得 分．已知第一阶段的得分为50 分，那么关键是求出第二阶段的得分．已知第二阶段答对了 20 道题，可得60 分，那么就要看剩下的5 道题中，有多少题是错误的，有多少题是不作答 的．可设答错的题有x 道，那么不作答的题就有（5-x）道．由于不作答和答错的题数目最 少也不能是负数，因此可得出x≥0，5-x≥0；由此可得出自变量的取值．然后根据两阶段的 总得分为50+60-2x，可计算出小明在此益智游戏中的总得分． 【详解】设剩下的5 道题中有x 道答错，则有（5-x）道不作答． 小明的总得分是50+60-2x=110-2x． 因为5-x≥0，且x≥0． 则0≤x≤5；即x=0 或1 或2 或3 或4 或5． 当x=0 时，小明的总得分为110-2x=110 分． 当x=1 时，小明的总得分为110-2x=108 分． 当x=2 时，小明的总得分为110-2x=106 分． 当x=3 时，小明的总得分为110-2x=104 分． 当x=4 时，小明的总得分为110-2x=102 分． 当x=5 时，小明的总得分为110-2x=100 分． 答中，只有B 符合． 故选B． 【点睛】能够根据未知数的取值范围进行分析．要擅于利用题中答题个数不能为负数等隐 藏的条件进行求解． 7．若|x＋y＋2|＋(xy－1)2＝0，则(3x－xy＋1)－(xy－3y－2)的值为( ) ．3 B．－3 ．－5 D．11 【答】 【分析】根据非负数的和为零，可得二元二次方程组，根据解方程组，可得x、y 的值，根 据代数式求值，可得答． 【详解】由|x+y+2|+（xy-1）2=0，得 ，解得 ． （3x-xy+1）-（xy-3y-2）=3x-xy+1-xy+3y+2 =3x+3y-2xy+3， 当x=-1，y=-1 时，原式=-3-3-2+3=-5， 故选． 【点睛】本题考查了整式的加减，利用非负数的性质求出x、y 的值是解题关键． 8．一家商店以每包元的价格进了20 包甲种茶叶，又以每包b 元的价格买进30 包乙种茶叶 （<b），如果以每包 元的价格卖出这两种茶叶，则卖完后，这家商店（ ） ．赚了 B．赔了 ．不赔不赚 D．不能确定赚或赔 【答】B 【分析】根据题意知商店获得的利润为 ×（20+30）-20-30b=5（-b），由<b 知5（-b） <0，可得答． 【详解】该商店一共购进茶叶50 包,若每包以 元的价格卖出， 则共收入50× =25(+b)元； 购进两种茶叶共花费：20+30b； 25(+b)−(20+30b)=25+25b−20−30b=5−5b=5(−b) < ∵b，即−b<0， 所以5(−b)<0 即卖完后，这家商店赔了 故选B 【点睛】本题主要考查列代数式的能力及整式的化简，理解题意列出商店获取利润的代数 式是解题的关键． 9．当 时，代数式 的值为7，那么当 时 的值为( ) ． B． ．4 D．1 【答】 【分析】把 代入 可得 ，从而得到 ，再将 代入 中整体代换即可求解． 【详解】解：∵当 时，代数式 的值为7． ∴ ， ∴ ， ∴当 时， ． 故选： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据题意得到 再整体代换求解是解题的 关键． 10．如图所示：把两个正方形放置在周长为m 的长方形BD 内，两个正方形的重叠部分的 周长为（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】正方形KE 的周长表示为K+K+++E+EM+M，正方形FLG 的周长表示为 G+F+F+L+L+G，再利用线段的和差，求解即可． 【详解】解：∵长方形BD 的周长为m，阴影部分的周长为， B+B ∴ ，+= ， 延长FG 交D 于M， 正方形KE 的周长为：K+K+++E+EM+M， 正方形FLG 的周长为：G+F+F+L+L+G， K+F=B ∵ ，K+F=B， K+F+K+F= B+B= ∴ ， M+GL=D=B ∵ ， M+GL+L=B+B-DL= ∴ -DL， G++E+ME=G+++E+G= G+++G+E=2(G+)+E=+E ∴ ， E=DL ∵ ， ∴正方形KE 的周长+正方形FLG 的周长= + -DL+ +E=m+． 故选：． ． 【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答 是解答本题的关键． 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，是用棋子摆成的图，摆第1 个图需要7 枚棋子，摆第2 个图需要19 枚棋子，摆 第3 个图需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6 个图需要 枚棋子，摆第个 图需要 枚棋子． 【答】 127 【详解】∵=1 时，总数是6+1=7； =2 时，总数为6×（1+2）+1=19； =3 时，总数为6×（1+2+3）+1=37 枚； …； =6 ∴ 时，总数为6×（1+2+3…+6）+1=127 枚； …； = ∴时，有6×（1+2+3+…）+1= 6×(+1)+1=32+3+1 枚． 故答为127，32+3+1（∈+）． 12．船在静水中的速度为千米/时，水流速度为18 千米/时，船顺水航行5 小时的行程比船 逆水航行4 小时的行程多 千米 【答】+162 【分析】先求出顺流速度，逆水速度，再根据路程=速度×时间，分别求出船顺流航行5 小 时的行程与逆流航行4 小时的行程，两者相减即可求解． 【详解】5(+18)−4(−18)=5+90−4+72=+162(千米) 故小时的行程多(+162)千米 故答为+162 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题目中的等量关系列出代数式 13．若－b＝2019，＋d＝2018，则 (b＋)－(－d ) 的值是 【答】-1 【分析】将（b+）-（-d）去括号后重新组合，得到-（-b）+（+d），将-b=2019，+d=2018 整体代入即可． 【详解】原式=b+−+d=−(−b)+(+d)， 当−b=2019，+d=2018 时， 原式=−2019+2018=-1 故答为-1 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算 14．已知，B，三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，b，．若＝﹣3 且点B 到点，的距离相等，P 是数轴上B，两点之间的一个动点，设点P 表示的数为x，当P 点在 运动过程中，bx+x+|x | 10|x+| ﹣﹣ 的值保持不变，则b 的值为 ． 【答】 【分析】由bx+x+|x | 10|x+| ﹣﹣ 结果是定值，说明与x 无关，可得出b 与的关系，再根据中 点得出b 与的另一个关系，联立求出b 即可． 【详解】解：∵点P 在B 上， b ∴＜x＜， bx+x+|x | 10|x+| ∴ ﹣﹣ ＝bx+x+ x 10x 10 ﹣﹣ ﹣ ＝（b+ 10 1 ﹣ ﹣）x+ 10 ﹣ ， ∵结果与x 无关， b+ ∴ ＝11， 又∵＝﹣3 且点B 到点，的距离相等， b ∴﹣＝b+3，即＝2b+3， b ∴＝ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值、有理数的乘法，解决本题的关键是综合 运用以上知识． 15．定义：是不为1 的有理数，我们把 称为的差倒数．如：2 的差倒数是 ， －1 的差倒数是 ．已知 ． 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的 差倒数，…，以此类推，则 ． 【答】 【分析】根据题目中给出的信息，依次算出 、 、 ，然后找出规律，进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ，……， ∴每3 次运算结果循环出现一次， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出 、 、 ，找出规律． 16．为了求 的值，可这样解答： 令 ，则 ． 因此 ，所以 ，即 ． 仿照以上推理，计算 ． 【答】 【分析】根据题目中的例子，可以求出所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：令M=1+5+52+53+…+52019， 则5M=5+52+53+…+52015+52020， 因此5M-M=52020-1， 所以4M=52020-1， 所以M= ， 故答为： 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，运用 类比的数学思想求出所求式子的值． 17．若规定 ，例如 ，则 ＝ 【答】20 【分析】先根据x<5 和x≥5，对f(x)进行化简，然后再代入计算即可 【详解】当x<5 时，f(x)=5－x+5－x=10－2x， 当x≥5 时，f(x)=5－x+x－5=0， ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020) = f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =(10－2×1)+(10－2×2)+(10－2×3)+(10－2×4) =8+6+4+2=20 【点睛】本题考查绝对值的化简及新定义计算求值，明确题意，熟练掌握绝对值的性质是 解题的关键 18．若 ，则 ． 【答】 【分析】由 变形可得 ， ，把 化为 整理化简即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ 故答为：2022 【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 19．观察下列等式： ； ； 将这三个等式两边分别相加得： + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = （1）猜想并写出： =_____． （2）直接写出下列各式的计算结果： ① + + +…+ =_____． ② + + +…+ =_____． （3）探究并计算： + + +…+ ． 【答】（1） ﹣ ；（2）① ；② ；（3） 【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可； （2）①根据（1）中的猜想计算出结果；②根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取 ，先拆项，再抵消即可求解 【详解】解：（1）猜想并写出： = ﹣ ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① + + +…+ = ； ② + + +…+ = ； （3） + + +…+ = ×（1- + - + - +…+ - ）= × = ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．先化简，再求值． （1） ．其中x，y 满足 ． （2）求 的值，其中 ， ，其中 ． 【答】（1） ， ；（2） ； 【分析】（1）根据乘方和绝对值的性质，通过求解二元一次方程组，得 ， ；再 根据整式加减运算性质，先去括号，再合并同类项，再将 ， 代入到代数式，经 计算即可得到答； （2）根据整式加减运算性质，先去括号，再合并同类项，再将 代入到代数式，根据 含乘方的有理数混合运算性质计算，从而完成求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ， 把 ， 代入到代数式中，得： ； （2） ∵ ， 将 代入到代数式，得： ． 【点睛】本题考查了代数式、整式加减运算、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握 整式加减运算，含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解． 21．如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可以把这个两位数简记为 ，即 ． 如果一个三位数的个位数字是，十位数字是 ，百位数字是 ， 那么我们可以把这个三位数简记为 ，即 ． （1）若一个两位数 满足 ，请求出 ， 的数量关系并写出这个两位数． （2）若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如： ． 若一个三位数 满足 ，求这个三位数． （3）已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的 三位数． 【答】（1）43 或86；（2）507 或516 或523；（3） 、 、 、 、 、 、 、 【分析】（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m 和的关系式；再结合m 和 的取值范围及整数性质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答 （2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x 和y 的关系式；再结合x 和y 的 取值范围及整数性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答； （3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得、b、的关系式，再结合、b、的取值范 围及整数的性质，通过计算即可得到答． 【详解】（1）根据题意得： ， ∴ ∴ m ∵ 为1 到9 的整数，为0 到9 的整数 m ∴＝4，＝3 或m＝8，＝6 ∴这两个数是 或 ； （2）根据题意得： ∴ x ∵，y 为0 到9 的整数 ∴当 时， 当 时， 当 时， ∴这三个数是507 或516 或523； （3）∵ ， ，且 ∴ ∴ ∵为1 到9 的整数，b、为0 到9 的整数 当 时，得： 当b＝0 时，＝4，三位数是104 当b＝1 时，＝5，三位数是115 当b＝2 时，＝6，三位数是126 当b＝3 时，＝7，三位数是137 当b＝4 时，＝8，三位数是148 当b＝5 时，＝9，三位数是159 当 时，得： 当b＝0 时，＝8，三位数是208 当b＝1 时，＝9，三位数是219 ∴符合条件的三位数有： 、 、 、 、 、 、 、 ． 【点睛】本题考查了有理数、代数式、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方 的有理数混合运算、代数式、合并同类项的性质，从而完成求解． 22．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面， 其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） （1）求的值； （2）请用含x 的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米； （3）按市场价格，木地板单价为300 元/平方米，地砖单价为100 元/平方米．装修公司有， B 两种活动方，如表： 已知卧室2 的面积为21 平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费 及安装费）更低？ 【答】（1）3；（2）木地板：75 7 ﹣x，地砖：7x+53；（3）B 种活动方 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得+5=4+4，即可求出的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板 的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）根据卧室2 的面积为21 平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可． 【详解】解：（1）根据题意，可得+5＝4+4， 得＝3； （2）铺设地面需要木地板： 4×2x+[10+6﹣（2x 1 ﹣）﹣x 2 ﹣x]+6×4＝8x+3（17 5 ﹣x）+24＝75 7 ﹣x， 铺设地面需要地砖： 16×8﹣（75 7 ﹣x）＝128 75+7 ﹣ x＝7x+53； （3）∵卧室2 的面积为21 平方米， 3[10+6 ∴ ﹣（2x 1 ﹣）﹣x 2 ﹣x]＝21， 3 ∴（17 5 ﹣x）＝21， ∴x＝2， ∴铺设地面需要木地板：75 7 ﹣x＝75 7×2 ﹣ ＝61， 铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67， 种活动方所需的费用：61×300×08+67×100×085+20