专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法（解析版）

专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式逆运算 例1．计算： ． 【答】 【分析】首先将原式乘以 ，利用平方差公式求解，即可求得 ，继 而求得答． 【详解】 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，本题技巧性较强，所用到的方法是代数式的凑项 变形，即根据待求式的结构，通过适当的拆、并、凑等手段，将其转化成所需要的形式． 根据本题的特征，尝试将原式的系数1 变形为 ，从而可应用平方差公式将原式变 形为 ，为解决问题创造了良好的条件． 例2．计算： = ． 【答】1 【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便 【详解】解： = = = =1 【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算 【变式训练1】计算： ． 【答】 【分析】利用平方差公式将 变形为 ，通过相邻的项约分化简即可求解． 【详解】解： 故答为： ． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将 变形为 ． 【变式训练2】．若＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则－2022 的末位 数字是 ． 【答】4 【分析】将 乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出 的个位数的规律， 推出的个位数，再代入式子计算即可． 【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232； ∵ ， ， ， ， ， ， ， ； ∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环， 32÷4=8 ∵ ，∴232的末位数字是6， 即的末位数字是6，则－2022 的末位数字是4．故答为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现 尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键． 【变式训练3】阅读：在计算 的过程中，我们可以先从简 单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一 类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】① ； ② ； ③ ； …… (1)【归纳】由此可得： ________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： __ _____； (3)计算： ______； (4)若 ，求 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ． 【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答； （2）利用（2）中变化规律进而得出答； （3）将 转化为 ，再利用（2）中变化规律进而得 出答； （4）利用（2）中变化规律得出x 的值，进而得出答． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ；……； ∴ ， 故答为： ； （2）解： ； （3）解： ；故答为： ； （4）解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是 解题关键． 类型二、完全平方公式（换元法） 例．设 ， ， ．若 ，则 的值是( ) ．5 B．6 ．7 D．8 【答】 【分析】根据完全平方公式得出 ， ，进而根据已知条件得出 ，进而即可求解． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出 是解题的关键． 【变式训练1】已知 ，则 ． 【答】7 【分析】先设 ， ，则 可化为 ， ，再将 ， 代入，然后求 出结果 【详解】解：设： ， ， 则 可化为： ∴ 将 ， ， 代入上式， 则 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设 ， ， 然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，② ． 【变式训练2】已知 ，求 ． 【答】 【分析】设 ，则 ；根据题意，得 ；再将 代入到代数式中计算，即可得到答． 【详解】∵ ∴ 设 ，则 ∴ ，即 ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平 方公式的性质，从而完成求解． 【变式训练3】阅读理解： 已知+b＝﹣4，b＝3，求 + 的值． 解：∵+b＝﹣4， ∴ ＝ ． 即 + ＝16． ∵ ＝3， ∴ + ＝10． 参考上述过程解答： （1）已知 ＝﹣3， ＝﹣2．求式子（ ）（ + ）的值； （2）若 ， ＝﹣12，求式子 的值． 【答】(1)-15 (2)76 【分析】（1）利用完全平方公式，先求出（2+b2）的值，再计算（-b）（2+b2）的值； （2）把m--P=-10 变形为[（m-p）-]，利用完全平方公式仿照例题计算得结论． 【详解】解：（1）因为（-b）2=（-3）2， 所以2-2b+b2=9， 又∵b=-2 ∴2+b2=9-4=5， ∴（-b）（2+b2）=（-3）×5=-15 （2）∵（m--p）2=（-10）2=100， 即[（m-p）-]2=100， ∴（m-p）2-2（m-p）+2=100， ∴（m-p）2+2=100+2（m-p）=100+2（-12）=76． 【点睛】本题主要考查了整式乘法的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决 本题的关键． 类型三、完全平方公式变形 例．已知 ，且 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由已知 ， ，两等式左右两边分别相减，可得到 ，将 ，利用完全平方公式，变为 ，再将上 面的式子的值代入，问题得解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 即： ， 故答为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，将 变为 是难点． 例2．已知 求 ． 【答】47 【分析】根据已知等式两边同时除以x，得到 的值，然后利用完全平方公式求出 的值，最后再利用完全平方公式求 的值即可 【详解】∵ ， ， ∴两边同时除以x 得： ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式 是解题的关键 【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ． 【答】 【分析】首先根据题意得出 且 ，从而 进一步得出 ，由此进一步求出 的值，最后再通过将所求式子分解为 进一步计算即可 【详解】∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ，而 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： 【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键 【变式训练2】已知 ，则 的值为 ； 的值为 ． 【答】 2 6 【分析】由 可得 , ，再对 进行变形即可求解； 由 可得 ，然后左右平方，将 作为一个整体求解即可． 【详解】解:∵ ， ∴ ， ， ∴ =2； ∵ ∴ ，即 ∴ ∴ ，解得： ． 故答为：2，6． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识 对代数式进行变形成为解答本题的关键． 【变式训练3】．如果x2+4y2 2 ﹣x 4 ﹣y+2＝0，则（2x 3 ﹣y）2﹣（3y+2x）2＝ ． 【答】 【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出x 与y 的值，即 可确定出xy 的值．然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可． 【详解】解：∵x2+4y2 2 ﹣x 4 ﹣y+2＝0， ∴（x 1 ﹣）2+4（y﹣ ）2＝0， ∴x 1 ﹣＝0，y﹣ ＝0，即x＝1，y＝ ， ∴xy＝ 则（2x 3 ﹣y）2﹣（3y+2x）2＝（2x 3 ﹣y+3y+2x）（2x 3 ﹣y 3 ﹣y 2 ﹣x） ＝4x•（﹣6y）＝﹣24xy＝﹣24× ＝﹣12． 故答是：﹣12． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型四、完全平方公式与几何综合 例．两个边长分别为和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为 ； 若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形 叠合部分（阴影）面积为 ． （1）用含、b 的代数式分别表示 、 ； （2）若 ， ，求 的值； （3）用、b 的代数式表示 ；并当 时，求出图③中阴影部分的面积 ． 【答】（1） ， ；（2）77；（3）17 【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答； （2）根据 ，将-b＝8，b＝13 代入进行计算即可； （3）根据 和 ，可求 得图 中阴影部分的面积 ． 【详解】解：（1）由图可得， ， ． （2） ， 所以 的值为77． （3）由图可得： 所以图 中阴影部分的面积 为17． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本 题的关键． 【变式训练1】若x 满足 ，求 的值． 解：设 ， ，则 ， ， ∴ 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x 满足 ，求 的值； (2)已知正方形BD 的边长为x，E，F 分别是D，D 上的点，且 ， ，长方形 EMFD 的面积是48，分别以MF，DF 作正方形MFR 和正方形GFD，求阴影部分的面积． 【答】(1)130；(2)28 【分析】（1）设 ， ，仿照例题，根据完全平方公式的变形计算即可求 解； （2）根据题意可得： ， ， 根 据（1）的方法，设 ， ，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：设 ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：根据题意可得： ， ， ∴ ， ， 设 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，读懂题意，正确的计算是解题的关键． 【变式训练2】如图1，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成 四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形． (1)图 中正方形阴影部分的面积为 ； (2)请你用两种不同的方法分别求图 中阴影部分的面积，可以得到等式是 ； (3)若 ， ，则 = ； (4)若 ， ，求 的值 ． 【答】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得小正方形的边长 ，即可得出阴影部分面积； （2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答； （3）根据完全平方公式变形即可求解； （4）根据完全平方公式与平方差公式变形，设 ，得出 ，根据平方根 的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）根据小正方形的边长 ， ∴图 中正方形阴影部分的面积为 ， 故答为： ． （2）方法一： ；方法二： ； ∴两种不同的方法分别求图 中阴影部分的面积，可以得到等式是 （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ , 故答为： ． （4）解：∵ ， ， ∴ ∴ ∴ 设 ， ∴ ∴ ∴ 解得： （负值舍去） ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，求一个数的算术平方根，根据平方根的定 义解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式训练3】【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册材在学习“完全 平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图 形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2 可得等式： ；由图3 可得等式： ； (2)利用图3 得到的结论，解决问题：若 ， ，则 ； (3)如图4，若用其中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为，b 的长 方形纸片拼出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ② ； (4)如图4，若有3 张边长为的正方形纸片，4 张边长分别为，b 的长方形纸片，5 张边长为b 的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个 正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ． 【答】(1) (2)155 (3)①见解析；②9 (4) 【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出 结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）①根据 ，得到大长方形是由2 张 边长为的正方形，2 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为、b 的长方形纸片拼成，画图即 可；②根据①可知 的值，代入求解即可； （4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求 解即可． 【详解】（1）解：由图2 知，∵大长方形的面积 ， 大长方形的面积 3 个小正方形的面积+3 个小长方形的面积 ， ∴ ； 由图3 知，∵大正方形的面积 ， 大正方形的面积＝3 个正方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方 形的面积 ， ∴ ； 故答为： ， ． （2）∵由（1）知： ， ∴ ， ， 把 代入， ． 故答为：155． （3）①∵ ， 可以看成2 张边长为的正方形，2 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为、b 的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图： ②由①知： ，∴ ．故答为：9． （4）3 张边长为的正方形纸片的面积为 ，4 张边长分别为 的长方形纸片的面积为 ，5 张边长为b 的正方形纸片的面积为 ，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形 （无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1 张边长为的正方形纸片、2 张边长分别为 的长方形纸片、1 张边长为b 的 正方形纸片，此时围成的正方形面积为 ，此时正方形的边长 ， 也可以选取1 张边长为的正方形纸片、4 张边长分别为 的长方形纸片、4 张边长为b 的正 方形纸片，此时围成的正方形面积为 ，此时正方形的边长 ， ∴拼成的正方形的边长最长为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练 掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 课后训练 1．设 ， ， ．若 ，则 的值是（ ） ．16 B．12 ．8 D．4 【答】 【分析】先将=x-2017，b=x-2019 代入 ，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变 形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公 司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答． 【详解】解：∵=x-2017，b=x-2019，2+b2=34， ∴（x-2017）2+（x-2019）2=34， ∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34， ∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34， 2 ∴（x-2018）2=32， ∴（x-2018）2=16， 又∵=x-2018， ∴2=16 故答为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本 题的关键． 2．已知 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据方程 可变形为 ，利用完全平方式将 化成 ，从而整体代入计算即可． 【详解】解： 由 方程两边同时除以 得 ，变形为 ， 则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键． 3．若 ， 满足 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出 ， 的值，代入原 式计算即可得到结果． 【详解】解：已知等式变形得： ， 即 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 解得： ， ， 则 ． 故答为： ． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题 的关键． 4．已知x 满足（x 2020 ﹣ ）2+（2022﹣x）2＝10，则（x 2021 ﹣ ）2的值是 ． 【答】4 【分析】根据题意原式可化为[（x 2021 ﹣ ）+1]2+[（x 2021 ﹣ ）﹣1]2＝10，再应用完全平方 公式可化为（x 2021 ﹣ ）2+2（x 2021 ﹣ ）+1+（x 2021 ﹣ ）2 2 ﹣（x 2021 ﹣ ）+1＝10，应用整体 思想合并同类项，即可得出答． 【详解】解：∵（x 2020 ﹣ ）2+（x 2022 ﹣ ）2＝10 [ ∴（x 2021 ﹣ ）+1]2+[（x 2021 ﹣ ）﹣1]2＝10， ∴（x 2021 ﹣ ）2+2（x 2021 ﹣ ）+1+（x 2021 ﹣ ）2 2 ﹣（x 2021 ﹣ ）+1＝10， 2 ∴（x 2021 ﹣ ）2+2＝10，∴（x 2021 ﹣ ）2＝4．故答为：4． 【点睛】本题考查了完全平方公式：（±b）2＝2±2b＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特 征是解题的关键． 5．如图1 是一个长为 、宽为 的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是________； (2)利用（1）中的结论，若 ， ，求 的值； (3)如图3，点是线段 上的一点，分别以 、 为边在 的同侧作正方形 和 正方形 ，连接 、 、 ，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面积记为 ，以此类推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值． 【答】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据 此进一步分析求解即可； （2）根据（1）中的结论进一步代入计算即可； （3）连接 ，证明出 ，再利用 的面积与△ 的面积相等得出 ， 从而得到 据此进一步计算即可． 【详解】（1）由图1 和图2 中矩形的面积为等量得： 故答为： ； （2）由（1）中公式可得： ． 同理可得： ； （3）连接 ， 在正方形 和正方形 中， ， ， ∴ 和 的边 上的高相等， ． 当 时， ， 当 时， ， …… 当 时， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关 键．