专题06 乘法公式压轴题的四种考法（教师版）

专题06 乘法公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式与几何图形综合 例1．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部 分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母、b 表示)； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m =3 ﹣ ，2m+=4，则4m2﹣2的值为 ； ②计算：(x 3)( ﹣ x+3)(x2+9)． 【拓展】计算 的结果为 ． 【答】探究：(1) ， ；(2) ；应用：①12；② ； 拓展： ． 【详解】探究：(1)图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ， 图②的阴影部分为长为 ，宽为 的矩形，则其面积为 ， 故答为： ， ； (2)由图①与图②的面积相等可得到乘法公式： ， 故答为： ； 应用：① ， 故答为：12； ②原式 ， ， ； 拓展：原式 ， ， ， ， ， ． 故答是： ． 【变式训练1】如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形( )，将余 下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题： (1)如图①所示，阴影部分的面积为 ( 写成平方差形式)． (2)如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式 可以算出面积是 (写成多项式乘法的形式)． (3)根据前面两问，可以得到公式 ． (4)运用你所得到的公式计算： ． 【答】(1) ；(2) ；(3) ；(4)2000． 【详解】解：(1)大正方形的面积为： ，小正方形的面积为： ， ∴阴影部分的面积为： ；故答为： ； (2)由梯形的定义可知：上底是： ，下底是： ，高是： ， ∴梯形的面积为： ； 故答为： ； (3)由(1)(2)可知， ； 故答为： ； (4) = = =2000； 【变式训练2】从边长为 的正方形剪掉一个边长为 的正方形(如图1)，然后将剩余部分 拼成一个长方形(如图2)． (1)上述操作能验证的等式是______(请选择正确的一个)． ． B． ． (2)若 ， ，求 的值； (3)计算： ． 【答】(1)B；(2) ；(3) 【详解】解：(1)根据阴影部分面积相等可得： ， 上述操作能验证的等式是B，故答为：B； (2)∵ ，∵ ∴ (3) 【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为(+3)和3 的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为(+3)的正方形卡纸，现决定将部分边长为(+3)的正方形纸片，按图甲所示 裁剪得边长为3 的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积(用含代数式来表示)； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的边 长多少？(用含代数式来表示)； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2 两种方式放置(图 1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分 用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图2 中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长 方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ． 【答】(1)①裁剪正方形后剩余部分的面积＝2+6；②拼成的长方形的边长分别为和+6； (2)9 【详解】(1)①裁剪正方形后剩余部分的面积=(+3)2 3 ﹣ 2=(+3 3)(+3+3)=(+6)= ﹣ 2+6； ②拼成的长方形的宽是：+3 3= ﹣ ，∴长为+6，则拼成的长方形的边长分别为和+6； (2)设B=x，则B=x+3，∴图1 中阴影部分的面积为S1=x(x+3) (+3) ﹣ 2 3 ﹣ 2+3(+6﹣x 3) ﹣ ，图2 中 阴影部分的面积为S2=x(x+3) (+3) ﹣ 2 3 ﹣ 2+3(+6﹣x)，∴S2﹣S1的值=3(+6﹣x) 3(+6 ﹣ ﹣x﹣ 3)=3×3=9． 故答为9． 【变式训练4】(1)如图1 所示，若大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，则阴影部分 的面积是______；若将图1 中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2 所示的一个长方形， 则它的面积是_________； (2)由(1)可以得到一个乘法公式是________； (3)利用你得到的公式计算： ． 【答】(1)2-b2，(+b)(-b)；(2)(+b)(-b)=2-b2；(3)1 【详解】解：(1)图①阴影部分的面积为：2-b2，图②长方形的长为+b，宽为-b，所以面积为： (+b)(-b)，故答为：2-b2，(+b)(-b)； (2)由(1)可得：(+b)(-b)=2-b2，故答为：(+b)(-b)=2-b2； (3)20212-2022×2020=20212-(2021+1)(2021-1)=20212-20212+1=1． 类型二、完全平方公式变形 例1．已知 ，求 与 的值． 【答】 【详解】 ， , ， , ． 例2 已知 ，则 ________ 【答】6 【详解】解：∵x2+y2+z2-4x+6y+2z+14=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+z2+2z+1=0， ( ∴x-2)2+(y+3)2+(z+1)2=0，∴x-2=0，y+3=0，z+1=0，∴x=2，y=-3，z=-1，∴xyz=2×(-3)×(-1)=6． 故答为：6 【变式训练1】已知 ，求 的值． 【答】34 【详解】解：根据非负性，得： ， ， ， ， ， 的值是34． 【变式训练2】已知(x+2021)+(x+2022)=49，则(x+2021)(x+2022)的值为() ．20 B．24 ． D． 【答】B 【详解】解： 且 故选：B 【变式训练3】已知： ， ，分别求 和 的值． 【答】 ， 【详解】解： ， ， ① ②得 ，即 ； ① ②得 ，即 ． 【变式训练4】已知 ，求下列各式的值： (1) ；(2) 【答】(1)7；(2)5 【解析】(1)解：∵ ，∴ ，即 ，∴ ． (2)解：∵ ，∴ ， ∴ ． 【变式训练5】当x=______时，代数式8x2-12x+5 有最小值，最小值为______ 【答】 【详解】解： ， 当 时， 有最小值，最小值为 ． 故答为： ； ． 类型三、完全平方公式字母的值 例1．当k 取何值时， 是一个完全平方式？ 【答】 【详解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7， ∴k＝±140， 即当k＝±140 时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式． 【变式训练1】如果 是一个完全平方公式，求k 的值． 【答】 ． 【详解】由题意得： ，即 ，则 解得 ． 【变式训练2】若把代数式 化成 的形式，其中 ， 为常数，则 ______． 【答】 【详解】解：∵ ＝x2−2x＋1−3＝(x−1)2−3，∴m＝−1，k＝−3， ∴m＋k＝−4．故答为：−4． 【变式训练3】(1)设 ，则__________． ． B． ． D． (2)当 ________时，多项式 有最小值___________． 【答】(1)；(2)2，14 【详解】解：(1)∵ ， ，∴ ，∴M>，故选． (2)∵ ， ， ∴当=2 时， 有最小值为14，故答为：2，14． 【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完 全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝ 112…． (1)若28+210+2 是完全平方数，求的值． (2)若一个正整数，它加上61 是一个完全平方数，当减去11 是另一个完全平方数，写所有 符合的正整数． 【答】(1)＝4 或＝10；(2)所有符合的正整数是20、60 或300． 【详解】(1)解：∵2+b2+2b＝(+b)2，∴若28＝2，210＝b2， 则＝24，b＝25，2＝2b＝210，解得：＝10 若28＝2，210＝2b，所以b＝25， 则2＝b2＝210，解得：＝10， 若210＝2，28＝2b，所以b＝22，则2＝b2＝24，解得：＝4， 所以＝4 或＝10； (2)解：设正整数为x，则x+61＝2，x 11 ﹣ ＝b2(＞b，且，b 是正整数)， 则2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故(+b)(﹣b)＝72， 由于+b 与﹣b 同奇偶， 故 或 或者 ， 当 时,解得： ，∴x＝b2+11＝60； 当 时，解得： ，∴x＝b2+11＝300； 当 时，解得： ，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60 或 300． 类型四、完全平方公式与几何图形 例乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1 的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，B 种纸 片是边长为b 的正方形，种纸片是长为b、宽为的长方形．并用种纸片一张，B 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2 的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2 大正方形的面积． 方法1：________； 方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的数量关系：_______； (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【答】(1)(+b)2；2+2b+b2 (2)(+b)2＝2+b2+2b (3)①b＝2；②-3 【解析】(1)方法1：大正方形的边长为(+b)， ∴S＝(+b)(+b)＝2+2b+b2． 方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和， ∴S＝2+2b+b2． 故答为：2+2b+b2． (2)由图2 可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即(+b)2 2 ﹣b＝2+b2．故答为：(+b)2 2 ﹣b＝2+b2． (3)① + ∵b＝5， (+ ∴b)2＝25，2+b2＝21， 2 ∴b＝(+b)2 ( ﹣2+b2)＝25 21 ﹣ ＝4， ∴b＝2； ②令 ，∴ ， 由 可得 ， 2xy＝(x+y)2 ( ﹣x2+y2)＝4 10 ﹣ ＝－6，∴ ＝xy＝-3 【变式训练1】如图1 是一个长为4、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小 长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2) (1)观察图2 请你写出(+b)2、(-b)2、b 之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若x+y=5，xy= ，则x-y= ； (3)拓展应用：若(2021-m)2+(m-2020)2=7，求(2021-m)(m-2020)的值 【答】(1) ；(2) 或 ；(3) 【详解】解：(1)由图知： (2)∵ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ 或 ，故答为： 或 (3)∵ 且 ，∴ 【变式训练2】如图1 是一个长为4、宽为b 的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块 小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)． (1)图2 中的阴影部分的面积为：____________(用、b 的代数式表示)； (2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是____________； (3)利用(2)中的结论，若 ， ，求 的值____________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式_________ ___． (5)如图4，点 是线段 上的一点，分别以、B 为边在B 的同侧作正方形DE 和正方形 BFG，连接EG、BG、BE，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面 积记为 ，…，以此类推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3)16 (4) ；(5) 【解析】(1) (2) (3) ， 时， ，故答为：16 (4) (5)如图，连接 ，在正方形 和正方形 中 ∴ ∴ 当 时， ； 当 时， ； …… 当 时， ； ∴ ． 【变式训练3】如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形(阴影 部分)．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部 分的面积． 方法1：______，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？_________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知 ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【答】(1) ， ；(2) ；(3)①28；② ． 【详解】解：(1)方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即 ， 方法2，从边长为 的大正方形面积减去两个长为 ，宽为 的长方形面积，即 ， 故答为： ， ； (2)在(1)两种方法表示面积相等可得， ，故答为： ； (3)① ， ， 又 ， ； ②设 ， ，则 ， ， ， 答： 的值为 ． 【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些 数学公式． (1)例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：(＋b)2＝2＋2b＋b2根据图②能得 到的数学公式是__________． (2)如图③，请写出(＋b)、(﹣b)、b 之间的等量关系是__________ (3)利用(2)的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求(x﹣y)2的值． (4)根据图④，写出一个等式：__________． (5)小明同学用图⑤中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为(3＋b)(＋3b)长方形，请画出图形，并指出 x＋y＋z 的值． 类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式． (6)根据图⑥，写出一个等式：___________． 【答】(1)(﹣b)2＝2 2 ﹣b＋b2；(2)(＋b)2＝(﹣b)2＋4b；(3)56；(4)(＋b＋)2＝2＋b2＋2＋2b＋2＋ 2b；(5)画图见解析，16；(6)(＋b)3＝2＋b2＋32b＋3b2 【详解】(1)根据图②各个部分面积之间的关系可得：(﹣b)2＝2 2 ﹣b＋b2， 故答为：(﹣b)2＝2 2 ﹣b＋b2； (2) 图③中，大正方形的面积为(＋b)2，小正方形的面积为(﹣b)2，每个长方形的面积为 b， ，故答为： ； （3）利用(2)的结论，可知 ， x＋y＝8，xy＝2， (x﹣y)2＝(x＋y)2 4 ﹣xy＝64 8 ﹣＝56； (4)根据图④，大正方形的面积可表示为(＋b＋)2， 内部9 块的面积分别为： ， (＋b＋)2＝2＋b2＋2＋2b＋2＋2b 故答为：(＋b＋)2＝2＋b2＋2＋2b＋2＋2b； (5) (3＋b)(＋3b)＝32＋3b2＋10b， ， 即需要3 张边长为的正方形，3 张边长为b 的正方形，10 张宽、长分别为、b 的长方形纸片， 画图如下： ∴x＋y＋z＝16； (6)根据图⑥，大正方体的体积为(＋b)3， 分割成8 个“小块”的体积分别为： ， (＋b)3＝2＋b2＋32b＋3b2 故答为：(＋b)3＝2＋b2＋32b＋3b2． 【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方 法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图 形的面积． (1)由图1 可得乘法公式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的正方形， 从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________； (3)利用(2)中的结论解决以下问题： 已知 ， ，求 的值； (4)如图3，由两个边长分别为 ， 的正方形拼在一起，点 ， ， 在同一直线上，连 接 ， ，若 ， ，求图3 中阴影部分的面积． 【答】(1)(+b2)=2+2b+b2；(2)(+b+)2=2+b2+2+2b+2+2b；(3)65；(4)36 【详解】解：(1)图1 正方形的面积可以表示为：2+2b+b2． 又可以表示为：(+b)2． (+ ∴b2)=2+2b+b2． 故答为：(+b2)=2+2b+b2． (2)图2 中正方形的面积可以表示为：(+b+)2． 还可以表示为：2+b2+2+2b+2+2b． (+ ∴b+)2=2+b2+2+2b+2+2b． 故答为：(+b+)2=2+b2+2+2b+2+2b． (3)由(2)知：2+b2+2=(+b+)2-2b-2-2b =169-2(b++b) =169-104 =65． (4) ．