专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法（原卷版）

专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式逆运算 例1．计算： ． 例2．计算： = ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】．若＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则－2022 的末位 数字是 ． 【变式训练3】阅读：在计算 的过程中，我们可以先从简 单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一 类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】① ； ② ； ③ ； …… (1)【归纳】由此可得： ________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： __ _____； (3)计算： ______； (4)若 ，求 的值． 类型二、完全平方公式（换元法） 例．设 ， ， ．若 ，则 的值是( ) ．5 B．6 ．7 D．8 【变式训练1】已知 ，则 ． 【变式训练2】已知 ，求 ． 【变式训练3】阅读理解： 已知+b＝﹣4，b＝3，求 + 的值． 解：∵+b＝﹣4， ∴ ＝ ． 即 + ＝16． ∵ ＝3， ∴ + ＝10． 参考上述过程解答： （1）已知 ＝﹣3， ＝﹣2．求式子（ ）（ + ）的值； （2）若 ， ＝﹣12，求式子 的值． 类型三、完全平方公式变形 例．已知 ，且 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 例2．已知 求 ． 【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ． 【变式训练2】已知 ，则 的值为 ； 的值为 ． 【变式训练3】．如果x2+4y2 2 ﹣x 4 ﹣y+2＝0，则（2x 3 ﹣y）2﹣（3y+2x）2＝ ． 类型四、完全平方公式与几何综合 例．两个边长分别为和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为 ； 若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形 叠合部分（阴影）面积为 ． （1）用含、b 的代数式分别表示 、 ； （2）若 ， ，求 的值； （3）用、b 的代数式表示 ；并当 时，求出图③中阴影部分的面积 ． 【变式训练1】若x 满足 ，求 的值． 解：设 ， ，则 ， ， ∴ 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x 满足 ，求 的值； (2)已知正方形BD 的边长为x，E，F 分别是D，D 上的点，且 ， ，长方形 EMFD 的面积是48，分别以MF，DF 作正方形MFR 和正方形GFD，求阴影部分的面积． 【变式训练2】如图1，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成 四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形． (1)图 中正方形阴影部分的面积为 ； (2)请你用两种不同的方法分别求图 中阴影部分的面积，可以得到等式是 ； (3)若 ， ，则 = ； (4)若 ， ，求 的值 ． 【变式训练3】【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册材在学习“完全 平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图 形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2 可得等式： ；由图3 可得等式： ； (2)利用图3 得到的结论，解决问题：若 ， ，则 ； (3)如图4，若用其中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为，b 的长 方形纸片拼出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ② ； (4)如图4，若有3 张边长为的正方形纸片，4 张边长分别为，b 的长方形纸片，5 张边长为b 的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个 正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ． 课后训练 1．设 ， ， ．若 ，则 的值是（ ） ．16 B．12 ．8 D．4 2．已知 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 3．若 ， 满足 ，则 的值为 ． 4．已知x 满足（x 2020 ﹣ ）2+（2022﹣x）2＝10，则（x 2021 ﹣ ）2的值是 ． 5．如图1 是一个长为 、宽为 的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是________； (2)利用（1）中的结论，若 ， ，求 的值； (3)如图3，点是线段 上的一点，分别以 、 为边在 的同侧作正方形 和 正方形 ，连接 、 、 ，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面积记为 ，以此类推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值． 6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图①可以得到 ，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若 ， ，直接写出 的值为___________； (2)类比应用：填空： ①若 ，则 ___________； ②若 ，则 ___________； (3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 ）上进行装修和 扩建，先用长为120m 的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以 ， 为边分别向外扩建 正方形 、正方形 的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花，该功能性 花面积和为 ，求原有长方形用地 的面积． 7．图1 是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后 按图2 的形状拼成一个正方形． (1)图2 中的阴影部分的正方形的边长等于 ． (2)观察图2 你能写出下列三个代数式 之间的等量关系 ． (3)运用你所得到的公式，计算若 ，求： ① 的值． ② 的值． (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式 的最小值． 8．图1 是一个长为2m、宽为2 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后 按图2 的形状拼成一个正方形． （1）图2 中的阴影部分的正方形的边长等于______ （2）观察图2 你能写出下列三个代数式(m+)2，(m-)2，m 之间的等量关系 _____ （3）运用你所得到的公式，计算若m=-2，m-=4，求① (m+)2的值．② m4+4的值． （4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7 的最小值． （5）试画出一个几何图形，使它的面积等于3m2+4m+2 9．若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值． 10．已知 ． (1) ______； (2)求 的值； (3)求 结果的个位数字．