专题10 分式方程实际应用压轴题的四种考法全攻略（解析版）

专题10 分式方程实际应用压轴题的四种考法全攻略 类型一、销售利润问题 例．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多 多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的、B 两款商品销售到全国各地． 2020 年10 月份，该专卖店第一次购进商品40 件，B 商品60 件，进价合计8400 元；第二 次购进商品50 件，B 商品30 件，进价合计6900 元． （1）求该专卖店10 月份、B 两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10 月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B 商品缺货，该 专卖店在11 月份和12 月份都只能销售商品，且商品11 月份的进货单价比10 月份上涨了 m 元，进价合计49000 元；12 月份的进货单价又比11 月份上涨了05m 元，进价合计61200 元，12 月份的进货数量是11 月份进货数量的12 倍．为了尽快回笼资金，商品在11 月份和 12 月份的销售过程中维持每件150 元的售价不变，到2021 年元旦节，该专卖店把剩下的 50 件商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在商品进货单价上涨后的销售总金额为多 少元？ 【答】（1）该店、B 两款商品进货单价分别为90 元和80 元；（2）该专卖店在商品进货 单价上涨后的销售总金额为163500 元． 【分析】（1）设每件种商品的进价为x 元，每件B 种商品的进价为y 元，根据“若购进种 商品40 件，B 种商品60 件，需要8400 元；若购进种商品50 件，B 种商品30 件，需要 6900 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m 的值，然后即可计算出商店 销售这两批商品的销售总金额． 【详解】（1）设10 月份商品的进货单价为x 元，B 商品的进货单价为y 元，由题意得： ，得， ， 答：该店、B 两款商品进货单价分别为90 元和80 元； （2）由题意可得， ，解得，m=8，检验，m=8 是原分式方程的 解， 故11 月份购进的商品数量为 （件）， 12 月份购进的商品数量为500×12=600（件）， （500+600-50）×150+150×08×50=163500（元）． 答：该专卖店在商品进货单价上涨后的销售总金额为163500 元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题 意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验． 【变式训练1】某超市销售、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比款保温杯多10 元，用600 元购买B 款保温杯的数量与用480 元购买款保温杯的数量相同． (1)、B 两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，，B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120 个， 且款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价 均为30 元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答】(1)款保温杯销售单价为40 元，B 款保温杯销售单价为50 元 (2)购进款40 个，B 款80 个能使销售利润最大，最大利润2000 元 【解析】(1)解：设款销售单价为x 元，则B 款销售单价为（ ）元， 根据题意得： ，解得 ，经检验， 是原方程的解且符合题意， ∴ ， 答：款保温杯销售单价为40 元，B 款保温杯销售单价为50 元； (2)解：设购进款保温杯m 个，则购进B 款保温杯（120－m）个，总利润为元， ∵ ，∴ ， 根据题意得： ， ∵ ， ∴随m 的增大而减小， ∴ 时，最大，且 ，此时 ， 答：购进款40 个，B 款80 个能使销售利润最大，最大利润2000 元 【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽 车经销商购进，B 两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价 多2 万元；花50 万元购进型汽车的数量与花40 万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求，B 两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：型汽车的每周销售量y（台）与售价x（万元台）满足函数关系y＝﹣ x+18；B 型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14． 若型汽车的售价比B 型汽车的售价高1 万元/台，设每周销售这两种车的总利润为万元． ①当型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？ ②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少 万元？ 【答】(1)种型号汽车的进货单价为10 万元、B 两种型号汽车的进货单价为8 万元 (2)①B 型汽车的最低售价为 万元/台，②、B 两种型号的汽车售价各为13 万元、12 万元 时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23 万元 【解析】(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得： ＝ ， 解得x＝8，经检验x＝8 是原分式方程的根，8+2＝10（万元）， 答：种型号汽车的进货单价为10 万元、B 两种型号汽车的进货单价为8 万元； (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则型汽车的售价为（t+1）万元/台， ①根据题意，得：（t+1 10 ﹣ ）[﹣（t+1）+18]≥（t 8 ﹣）（﹣t+14），解得：t≥ ， ∴t 的最小值为 ，即B 型汽车的最低售价为 万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为 万元/台； ②根据题意，得：＝（t+1 10 ﹣ ）[﹣（t+1）+18]+（t 8 ﹣）（﹣t+14） ＝﹣2t2+48t 265 ﹣ ＝﹣2（t 12 ﹣ ）2+23， 2 ∵﹣＜0，当t＝12 时，有最大值为23． 答：、B 两种型号的汽车售价各为13 万元、12 万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大， 最大利润是23 万元． 【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 元，空调的销售价为每台 元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 元，商场用 元购进电冰箱的数量与 用 元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商场准备一次购进这两种家电共 台，设购进电冰箱 台，这 台家电的销 售总利润 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 倍，且购进电冰箱不多于 台， 请确定获利最大的方以及最大利润． （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售 价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这 台家电销售总利润最大的进货 方． 【答】（1）每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元；（2）当购进电冰 箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元；（3）当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大；当 时， ，各种方利润相同；当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大 【解析】解： 设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元， 根据题意得： ，解得： ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元． 设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总利润为 元， 则 ， 根据题意得： ，解得： ， 为正整数， ， ， ， ， ， ， ， 合理的方共有种， 即 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； ， ， 随 的增大而减小， 当 时， 有最大值，最大值为： 元， 答：当购进电冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元． 当厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变， 则利润 ， 当 ，即 时， 随 的增大而增大， ， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台； 当 时， ，各种方利润相同； 当 ，即 时， 随 的增大而减小， ， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台； 答：当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大； 当 时， ，各种方利润相同； 当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大． 类型二、方问题 例．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安 排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360 米的道路与乙工程队改造300 米的道路所用时间相同．若甲工 程队每天比乙工程队多改造30 米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）．现在有两种施工改造方： 方一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造； 方二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方所用时间少？并说明理由． 【答】（1）甲工程队每天道路的长度为180 米，乙工程队每天道路的长度为150 米； （2）方二所用的时间少 【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，根据“甲工程队改造360 米的道路与乙 工程队改造300 米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，则甲工程队每天道路的长度为 米， 根据题意，得： ，解得： ， 检验，当 时， ， ∴原分式方程的解为： ， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180 米，乙工程队每天道路的长度为150 米； （2）设方一所用时间为： ， 方二所用时间为 ，则 ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ，即： ， ∴方二所用的时间少． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式 方程，掌握分式的通分，是解题的关键． 【变式训练1】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20 世纪人类最伟大的考古发现之 一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体， 七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方的 讨论： (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油． 若第一次加油单价为x 元/升，第二次加油单价为y 元/升（ ），请分别写出每种加油 方式的平均单价（用含x、y 的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述 哪种加油方式更合算． 【答】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45 个，每辆乙种大巴车的座位数有54 个 (2)方式一： ，方式二： ；选择方式二 【分析】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为 个，则每辆乙种大巴车的座位数为 个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3 辆”列出方程， 求解即可； （2）根据“加油费用 加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作 差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解． 【详解】（1）设每辆甲种大巴车的座位数为 个，则每辆乙种大巴车的座位数为 个， 根据题意可得： ，解得： ， 经检验， 为原方程的解，则 ， 答：每辆甲种大巴车的座位数有45 个，每辆乙种大巴车的座位数有54 个； （2）解；按照方式一加油的平均单价为 （元/升），按照方式一加油的 平均单价为 （元/升）， 按方式二加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得： （元/升）， ∵ ， ，且 ， ∴ ， ，即 ， ∴选择方式二加油更合算． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：（1）正确理解题意，找 准等量关系列出方程，并进行正确的求解；（2）利用“加油费用＝加油量×加油单价”列 出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小． 【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶 的进价每件少5 元，其用90 元购进甲种牛奶的数量与用100 元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3 倍少5 件，两种牛奶的总数不超过95 件，该商场甲种牛奶的销售价格为49 元，乙种牛奶的销售价格为每件55 元，则购进的甲、 乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371 元，请通过计 算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方？ 【答】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45 元、50 元；（2）商场购进甲种牛 奶64 件，乙种牛奶23 件；或商场购进甲种牛奶67 件，乙种牛奶24 件；或商场购进甲种 牛奶70 件，乙种牛奶25 件； 【详解】（1）设甲种牛奶进价为x 元，则乙种牛奶进价为： 元 根据题意，得： ，∴ 当 时， ，且 ∴ 是方程 的解，∴ ∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45 元、50 元； （2）设该商场购进乙种牛奶数量为m 件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件 ∵两种牛奶的总数不超过95 件，∴ ，∴ ∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371 元，∴ ∴ ，∴ ，∴ ∴商场购进甲种牛奶64 件，乙种牛奶23 件；或商场购进甲种牛奶67 件，乙种牛奶24 件； 或商场购进甲种牛奶70 件，乙种牛奶25 件． 【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年 的售价比去年同期每件降价 元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为 万元，今 年销售额只有万元． （1）今年这种产品每件售价多少元？ （2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为 元； 产品乙每件进价为 元，售价 元，公司预计用不多于万元且不少于 万元的资 金购进这两种产品共 件，分别列出具体方，并说明哪种方获利更高． 【答】（1）今年这种产品每件售价为 元；（2）有三种方：方①：甲产品进货件， 乙产品进货件；方②：甲产品进货件，乙产品进货件；方③：甲产品进货 件，乙产 品进货件；方①的利润更高． 【详解】解： 设今年这种产品每件售价为 元， 依题意得： ，解得： ． 经检验： 是原分式方程的解． 答：今年这种产品每件售价为 元． 设甲产品进货 件，则乙产品进货 件． 依题意得： ， 解得： ， 因此有三种方： 方①：甲产品进货件，乙产品进货件； 方②：甲产品进货件，乙产品进货件； 方③：甲产品进货 件，乙产品进货件 方①利润： ， 方②利润： ， 方③利润： ， ， 方①的利润更高 类型三、行程问题 例．一辆汽车开往距离出发地180 km 的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行 驶，一小时后以原来速度的 倍匀速行驶，并比原计划提前40 m 到达目的地，设前一小 时行驶的速度为 ． (1)直接用x 的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______； (2)求汽车实际走完全程所花的时间； (3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 km/的速度行驶，另一半路程以 的速度 行驶 ，则用时 小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以 的 速度行驶，则用时 小时，请比较 、 的大小，并说明理由． 【答】(1) (2)汽车实际走完全程所花的时间为 ； (3) ，理由见解析 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间； （2）根据提速后比原计划提前40m 到达目的地，即可得出关于x 的分式方程，解之经检 验后即可得出x 的值，再将其代入 中即可求出结论； （3）利用时间=路程÷速度，分别找出两种方所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【详解】（1）解：∵设前一小时行驶的速度为 ，且提速后的速度为原来速度的 倍， ∴提速后走完剩余路程的时间为 （）， （2）依题意，得： ， 解得： ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：汽车实际走完全程所花的时间为 ； （3） ，理由： ∵ ， ， ∴ ， ∵，b 均为正数，且 ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间 的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程； （3）根据各数量之间的关系，用含，b 的代数式表示出两种方所需时间． 【变式训练1】．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1 月甲参加了两次登 山活动． （1）1 月1 日甲与乙同时开始攀登一座900 米高的山，甲的平均攀登速度是乙的12 倍， 结果甲比乙早15 分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？ （2）1 月6 日甲与丙去攀登另一座米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出 发05 小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含的代数 式表示） 【答】（1）甲的平均攀登速度是12 米/分钟；（2） 倍 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度； （2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可 解答本题． 【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟， ，解得，x=10， 经检验，x=10 是原分式方程的解，∴12x=12， 即甲的平均攀登速度是12 米/分钟； （2）设丙的平均攀登速度是y 米/分， +05×60＝ ， 化简，得y= ， ∴甲的平均攀登速度是丙的： 倍， 即甲的平均攀登速度是丙的 倍． 【变式训练2】． 两港之间的距离为 千米． (1)若从 港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快 千米时， 顺 流所用时间比逆流少用 小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为 千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为 ；若轮船从 港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为 ，请比较 与 的大小，并说明理由． 【答】(1)水流的速度为 千米/时 (2) ，理由见解析 【分析】（1）设水流的速度为 千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米时，利 用时间差列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据题意，分别表示出 与 ，根据分式的减法计算 ，即可求解． 【详解】（1）解：设水流的速度为 千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米时， 根据题意得， ， 解得： ， 经检验， 是原方程的解， 答：水流的速度为 千米/时； （2）解：依题意， ∵ ， ， ∴ 即 ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解 题的关键． 类型四、工程问题 例．一台收割机的工作效率相当于一个农民