专题10 分式方程实际应用压轴题的四种考法全攻略（原卷版）

专题10 分式方程实际应用压轴题的四种考法全攻略 类型一、销售利润问题 例．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多 多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的、B 两款商品销售到全国各地． 2020 年10 月份，该专卖店第一次购进商品40 件，B 商品60 件，进价合计8400 元；第二 次购进商品50 件，B 商品30 件，进价合计6900 元． （1）求该专卖店10 月份、B 两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10 月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B 商品缺货，该 专卖店在11 月份和12 月份都只能销售商品，且商品11 月份的进货单价比10 月份上涨了 m 元，进价合计49000 元；12 月份的进货单价又比11 月份上涨了05m 元，进价合计61200 元，12 月份的进货数量是11 月份进货数量的12 倍．为了尽快回笼资金，商品在11 月份和 12 月份的销售过程中维持每件150 元的售价不变，到2021 年元旦节，该专卖店把剩下的 50 件商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在商品进货单价上涨后的销售总金额为多 少元？ 【变式训练1】某超市销售、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比款保温杯多10 元，用600 元购买B 款保温杯的数量与用480 元购买款保温杯的数量相同． (1)、B 两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，，B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120 个， 且款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价 均为30 元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽 车经销商购进，B 两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价 多2 万元；花50 万元购进型汽车的数量与花40 万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求，B 两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：型汽车的每周销售量y（台）与售价x（万元台）满足函数关系y＝﹣ x+18；B 型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14． 若型汽车的售价比B 型汽车的售价高1 万元/台，设每周销售这两种车的总利润为万元． ①当型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？ ②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少 万元？ 【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 元，空调的销售价为每台 元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 元，商场用 元购进电冰箱的数量与 用 元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商场准备一次购进这两种家电共 台，设购进电冰箱 台，这 台家电的销 售总利润 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 倍，且购进电冰箱不多于 台， 请确定获利最大的方以及最大利润． （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售 价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这 台家电销售总利润最大的进货 方． 类型二、方问题 例．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安 排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360 米的道路与乙工程队改造300 米的道路所用时间相同．若甲工 程队每天比乙工程队多改造30 米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）．现在有两种施工改造方： 方一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造； 方二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方所用时间少？并说明理由． 【变式训练1】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20 世纪人类最伟大的考古发现之 一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体， 七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方的 讨论： (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100 升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500 元）加油． 若第一次加油单价为x 元/升，第二次加油单价为y 元/升（ ），请分别写出每种加油 方式的平均单价（用含x、y 的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述 哪种加油方式更合算． 【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶 的进价每件少5 元，其用90 元购进甲种牛奶的数量与用100 元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3 倍少5 件，两种牛奶的总数不超过95 件，该商场甲种牛奶的销售价格为49 元，乙种牛奶的销售价格为每件55 元，则购进的甲、 乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371 元，请通过计 算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方？ 【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年 的售价比去年同期每件降价 元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为 万元，今 年销售额只有万元． （1）今年这种产品每件售价多少元？ （2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为 元； 产品乙每件进价为 元，售价 元，公司预计用不多于万元且不少于 万元的资 金购进这两种产品共 件，分别列出具体方，并说明哪种方获利更高． 类型三、行程问题 例．一辆汽车开往距离出发地180 km 的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行 驶，一小时后以原来速度的 倍匀速行驶，并比原计划提前40 m 到达目的地，设前一小 时行驶的速度为 ． (1)直接用x 的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______； (2)求汽车实际走完全程所花的时间； (3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 km/的速度行驶，另一半路程以 的速度 行驶 ，则用时 小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以 的 速度行驶，则用时 小时，请比较 、 的大小，并说明理由． 【变式训练1】．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1 月甲参加了两次登 山活动． （1）1 月1 日甲与乙同时开始攀登一座900 米高的山，甲的平均攀登速度是乙的12 倍， 结果甲比乙早15 分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？ （2）1 月6 日甲与丙去攀登另一座米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出 发05 小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含的代数 式表示） 【变式训练2】． 两港之间的距离为 千米． (1)若从 港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快 千米时， 顺 流所用时间比逆流少用 小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为 千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为 ；若轮船从 港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为 ，请比较 与 的大小，并说明理由． 类型四、工程问题 例．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120 倍，用这台机器收割10 公顷小 麦比80 个农民人工收割这些小麦要少用1 小时． （1）这台收割机每小时收割多少公顷小麦？ （2）通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10 公顷小麦比100 个农民 人工收割这些小麦要少用了08 小时．求这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 多少倍？ 【变式训练1】．2008 年5 月12 日，四川省发生80 级地震，某市派出两个抢险救灾工程 队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400 米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了 600 米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40 米，结果两工程队同 时完成任务． 问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米． （1）设乙工程队每小时抢修道路x 米，则用含x 的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所 需时间为 小时． （2）列出方程，完成本题解答． 【变式训练2】．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量吨，原来产m 吨小麦的一块土地， 现在小麦的总产量增加了20 吨． （1）当＝08，m＝100 时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？ （2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含、m 的式于表示） （3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需小时，乙组比甲组少用05 小 时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？ 【变式训练3】．2019 年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村 级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6 千 米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2 倍少1 千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10 米．由于 工期需要，甲工程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高 了 ．设乙工程队平均每天施工 米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均 每天施工的米数 和施工的天数． 课后训练 1．在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校师各捐款30000 元，若甲校师比乙校师人均多捐 50 元，给出如下三个信息： ①乙校师的人数比甲校的师人数多 ； ②甲、乙两校师人数之比为5：6； ③甲校比乙校师人均捐款多 ； 请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校师的人数各有多少人？ 你选择的条件是________（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程． 2．重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将北滨二路安全堤坝路段改 建为滨江步道，一期工程共1100 米，计划由甲施工队施工10 天，乙施工队施工15 天完成， 已知甲施工队比乙施工队每天多修20 米． (1)求甲乙施工队平均每天各修多少米？ (2)因步道延长，二期工程还需修建2260 米，甲施工队和乙施工队同时开工合作修建这条步 道，直至完工．甲施工队按计划速度进行施工，乙施工队修建180 米后，通过技术更新提 高了工作效率．步道完工时，在二期工作中，乙施工队修建的长度比甲施工队修建的长度 多20 米．则乙施工队技术更新后每天修建多少米？ 3．郑州市花卉种植专业户王有才承包了30 亩花圃，分别种植康乃馨和玫瑰花，有关成本、 销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 康乃馨 24 3 玫瑰花 2 25 （1）2012 年，王有才种植康乃馨20 亩、玫瑰花10 亩，求王有才这一年共收益多少万元？ （收益=销售额-成本） （2）2013 年，王有才继续用这30 亩花圃全部种植康乃馨和玫瑰花，计划投入成本不超过 70 万元若每亩种植的成本、销售额与2012 年相同，要获得最大收益，他应种植康乃馨和 玫瑰花各多少亩？ （3）已知康乃馨每亩需要化肥500kg,玫瑰花每亩需要化肥700kg，根据（2）中的种植亩 数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载化肥的总量是原计划每次装载总量 的2 倍，结果运输全部化肥比原计划减少2 次求王有才原定的运输车辆每次可装载化肥多 少千克？ 4．湖州市在2017 年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责 市区范围420 千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清 扫方式已知20 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时可以清扫20 千米马路，30 名环卫工人 和3 辆道路清扫车每小时可以清扫42 千米的马路 （1）1 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？ （2）已知2017 年环卫处安排了50 名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日 的420 千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017 年环卫工人与清扫车 每天工作时间为6 小时）？