专题15.3 分式方程【十大题型】（解析版）

专题153 分式方程【十大题型】 【人版】 【题型1 解分式方程的一般方法】.........................................................................................................................1 【题型2 换元法解分式方程】.................................................................................................................................4 【题型3 裂项法解分式方程】.................................................................................................................................7 【题型4 根据分式方程的解求值】.......................................................................................................................11 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】.......................................................................................................13 【题型6 已知分式方程有增根求参数】............................................................................................................... 16 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】........................................................................................................... 18 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】........................................................................................22 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】.......................................................................................................25 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】..................................................................................................29 【知识点1 分式方程】 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程 （2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程， 再按照整式方程的技巧求解方程。 （3）分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【题型1 解分式方程的一般方法】 【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1 x -2 +3=4 x -2的解是________ _ 【答】3 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：1 x -2 +3=4 x -2 1+3（x-2）=4 1+3x-6=4 1 3x=4+6-1 3x=9 x=3 检验，当x=3 时，x-2=1≠0，故x=3 是分式方程的解． 故答为3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步骤为将分式方程化成整式方程、 解整式方程、检验． 【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程： (1) 2 x x+2− x x−1=1； (2) 1 x+3− 2 3−x = 12 x 2−9 ． 【答】(1)x=2 5 (2)分式方程无解 【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1 和检验解分式方程即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1 和检验解分式方程即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母( x+2)( x−1)得∶ 2 x( x−1)−x( x+2)=( x+2)( x−1) 2 x 2−2 x−x 2−2 x=x 2+x−2 5 x=2 x=2 5 检验：当x=2 5 时，( x+2)( x−1)≠0， ∴x=2 5是原方程的的解． （2）解：方程两边同时乘以最简公分母( x+3)( x−3)得 x−3+2( x+3)=12， x−3+2 x+6=12， 3 x=9， x=3． 检验：当x=3时，(x+3) (x−3)=0， ∴x=3是原方程的增根， 1 ∴分式方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根． 【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x =________时，分式x -8 x -7 与分式1 7- x 互为相反数． 【答】9 【分析】根据相反数的性质可得x -8 x -7 +1 7- x =0，解分式方程即可得出结果． 【详解】解：∵分式x -8 x -7 与分式1 7- x 互为相反数， ∴x -8 x -7 +1 7- x =0， 整理得：x -8 x -7 -1 x -7 =0， 去分母得：x -8-1=0， 解得：x =9， 经检验x =9是x -8 x -7 +1 7- x =0的解， ∴x =9时，分式x -8 x -7 与分式1 7- x 互为相反数， 故答为：9． 【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得0列 出分式方程是解本题的关键，注意分式方程需要检验． 【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5 x+4 + x+2 x+1= x+3 x+2 + x+4 x+3 【答】x=−5 2 【分析】先将原方程变形1+ 1 x+4 +1+ 1 x+1=1+ 1 x+2 +1+ 1 x+3，再进一步化简转化为整 式方程求解即可 【详解】解:原方程可变形为， 1+ 1 x+4 +1+ 1 x+1=1+ 1 x+2 +1+ 1 x+3， 化简得，1 x+4 + 1 x+1= 1 x+2 + 1 x+3， 即 2 x+5 ( x+4)( x+1)= 2 x+5 ( x+2)( x+3)， 1 2x+5=0 ∴ ， 解得，x=−5 2 , 检验，把x=−5 2 代入( x+4)( x+1) ( x+2)( x+3)≠0， ∴原方程的解为x=−5 2 【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键 【知识点2 换元法解分式方程】 换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系 例解方程： 另（x－y）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计 算。 注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将 这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。 【题型2 换元法解分式方程】 【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问 题： 解方程：x−1 x −4 x x−1=¿0． 解：设y¿ x−1 x ，则原方程化为：y−4 y =¿0，方程两边同时乘以y 得：y2 4 ﹣＝0，解得：y ＝±2，经检验：y＝±2 都是方程y−4 y =¿0 的解， ∴当y＝2 时，x−1 x =¿2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2 时，x−1 x =−¿2，解得：x¿ 1 3． 经检验：x＝﹣1 或x¿ 1 3都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1 或x¿ 1 3． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程x−1 x + x x−1=5 2中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 1 ； (2)模仿上述换元法解方程：x−1 x+2 − 3 x−1−¿1＝0． 【答】(1) x−1 x ， y+1 y =5 2， x¿ 1 2或x＝﹣1 (2)x¿−1 2 【分析】（1 ）根据换元法设x−1 x = y，可得关于y 的分式方程，解分式方程，再解分式 方程即可得原方程的解； （ 2）根据分式的加减，可得：x−1 x+2 −x+2 x−1=¿0，根据换元法，可得答． (1) 解：设x−1 x =¿y，则原方程化为：y+1 y =5 2， 方程两边同时乘以2y 得：2y2 5 ﹣y+2＝0，解得：y¿ 1 2或2， 经检验：y¿ 1 2和2 都是方程y+1 y =5 2的解． 当y¿ 1 2时，x−1 x =1 2，解得x＝2； 当y＝2 时，x−1 x =¿2，解得：x＝﹣1． 经检验：x¿ 1 2和x＝﹣1 是原分式方程的解， 故答为: x−1 x ，y+1 y =5 2，x¿ 1 2或x＝﹣1 (2) 解：原方程化为：x−1 x+2 −x+2 x−1=¿0， 设y¿ x−1 x+2 ，则原方程化为：y−1 y =¿0， 方程两边同时乘以y 得：y2 1 ﹣＝0，解得：y＝±1， 经检验：y＝±1 都是方程y−1 y =¿0 的解． 当y＝1 时，x−1 x+2 =¿1，该方程无解； 1 当y＝﹣1 时，x−1 x+2 =−¿1，解得：x¿−1 2． 经检验：x¿−1 2是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x¿−1 2． 【点睛】本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注 意两次解分式方程都要检验． 【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程 x 2+1 x − x 3(x 2+1) +1=0，如果设x 2+1 x = y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ） ．3 y 2+3 y−1=0 B．3 y 2−3 y−1=0 ．3 y 2−y+1=0 D．3 y 2−y−1=0 【答】 【分析】由x 2+1 x = y，原方程可化为y−1 3 y +1=0，去分母把分式方程化成整式方程， 即可得出答． 【详解】解：设x 2+1 x = y， ∴分式方程x 2+1 x − x 3(x 2+1) +1=0可化为y−1 3 y +1=0， 化为整式方程：3 y 2+3 y−1=0， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解 决问题的关键． 【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16 x 2 −8 x +1=0，那么4 x 的值是（ ） ．1 B．-1 ．±1 D．4 【答】 【分析】先将方程16 x 2 −8 x +1=0变形为( 4 x ) 2 −8 x +1=0，再利用完全平方公式化为 ( 4 x −1) 2 =0，从而求得4 x =1 【详解】解：方程16 x 2 −8 x +1=0可变形为( 4 x ) 2 −8 x +1=0 1 ∴( 4 x −1) 2 =0 ∴4 x =1 故选 【点睛】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全平方公 式解题是关键 【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：¿ ． 【答】¿ 【分析】将原方程组转换成整式方程组，设1 x =u， 1 2 x−y =v，求出u、v 的值，然后再 求x、y 的值，同时解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：设1 x =u， 1 2 x−y =v，则原方程组可化为¿． 解这个方程组，得 ¿． 于是，得¿，即¿． 解方程组得 ¿． 经检验¿是原方程组的解． 所以，原方程组的解是¿． 【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程 转化为整式方程求解是解决本题的关键． 【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】 解题技巧：裂项相消法： 【题型3 裂项法解分式方程】 【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律： 1 1×2=1 1–1 2 ；1 2×3=1 2 –1 3 ； 1 3×4 =1 3 –1 4 ；…… 解答下面的问题： (1)已知为正整数，结合你的发现，请将 1 n(n+1)写成上面式子形式； (2)说明你（1）中式子的正确性； (3)直接写出1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4 + … + 1 2021×2022的结果； 1 (4)类比你发现的规律，解关于（为正整数）的分式方程： 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +⋅⋅⋅+ 1 (2n−1)(2n+1)= n+100 2n+202． 【答】(1) 1 n(n+1)=1 n−1 n+1 (2)见解析 (3)2021 2022 (4)n=100 【分析】（1）根据题干信息是探究提示，总结出规律即可； （2）把等式的右边通分，再进行计算即可证明规律； （3）利用规律把原式化为1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +···+ 1 2021− 1 2022，再进行计算即可； （4）利用规律把原方程化为1 2 ( 1 1−1 3 + 1 3−1 5 + 1 5−1 7 +…+ 1 2n−1− 1 2n+1 )= n+100 2n+202， 再解方程即可． （1） 解：∵1 1×2=1 1–1 2 ；1 2×3=1 2 –1 3 ； 1 3×4 =1 3 –1 4 ；…… ∴ 1 n(n+1)=1 n−1 n+1 （2） 右边¿ 1 n−1 n+1= n+1 n(n+1)− n n(n+1)= n+1−n n(n+1)= 1 n(n+1)=¿左边， ∴（1）中式子正确． （3） 1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4 + … + 1 2021×2022 ¿1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +···+ 1 2021− 1 2022 ¿1− 1 2022=2021 2022 . （4） 方程变形为：1 2 ( 1 1−1 3 + 1 3−1 5 + 1 5−1 7 +…+ 1 2n−1− 1 2n+1 )= n+100 2n+202， 1 即：1 2 (1− 1 2n+1 )= n+100 2n+202， ∴ n 2n+1= n+100 2n+202 , 去分母得：2n 2+202n=(2n+1)(n+100)． 解得：n=100． 检验：因为为正整数，原方程分母不会为零． 所以原方程的根是n=100． 【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的 关键，同时考查了分式的加减运算，分式方程的解法． 【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规 律：1 1×2=1−1 2 , 1 2×3=1 2−1 3 , 1 3×4 =1 3−1 4 , 1 4×5= 1 4 −1 5，…，回答问题：若 1 ( x+1)×( x+2)+ 1 ( x+2)×( x+3)+ 1 ( x+3)×( x+4)+…+ 1 ( x+99)×( x+100)＝ 1 x+100，则 x 的值为 _____． 【答】98 【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第个等式为 1 n(n+1)=1 n−1 n+1，本题得以解决． 【详解】解：分式方程变形得： 1 x+1−1 x+2 + 1 x+2−1 x+3 + 1 x+3−1 x+4 +．．．+ 1 x+99− 1 x+100= 1 x+100， 化简得：1 x+1− 1 x+100= 1 x+100，即1 x+1= 2 x+100， 去分母得：x+100＝2x+2， 解得：x＝98， 检验：把x＝98 代入得：（x+1）（x+2）（x+3）．．．（x+100）≠0， ∴分式方程的解为x＝98． 故答为：98． 【点睛】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意， 发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式． 【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式： 1 6= 1 2×3=1 2−1 3 , 1 12= 1 3×4 =1 3−1 4 , 1 20= 1 4×5= 1 4 −1 5 ....... 1 (1)由此可推断：1 42=___； (2)请用含字母m(m 为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___； (3)仿照以上方法解方程： 3 ( x−1)( x−4)= 1 x -1 【答】（1）1 6 - 1 7 ；（2） 1 (m−1)(m−2) = 1 m−1 - 1 m−2；（3）7 【分析】1）根据题意将42 分解为6×7 得出答； （2）利用（1）中数据变化规律得出答； （3）利用（2）中规律化简方程，进而求出即可． 【详解】(1) 1 42= 1 6×7 = 1 6 - 1 7 ； 故答为1 6 - 1 7 ； (2)用含字母m 的等式表示(1)中一般规律为： 1 (m−1)(m−2) = 1 m−1 - 1 m−2 故答为 1 (m−1)(m−2) = 1 m−1 - 1 m−2； （3）方程整理得： 1 x−4 − 1 x−1= 1 x−1 ，即 1 x−4 = 2 x−1 去分母得：x−1=2x−8， 解得：x=7， 经检验x=7 是分式方程的解 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，解题关键在于找到规律 【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察 下列算式： 1 6= 1 2×3=1 2−1 3 1 12= 1 3×4 =1 3−1 4 1 20= 1 4×5= 1 4 −1 5 …… (1)填空：