专题13.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（解析版）

专题133 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】 【人版】 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】..........................................................................................1 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】..............................................................................................6 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】............................................................................................10 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】....................................................................................................13 【题型5 线段垂直平分线的判定】.......................................................................................................................17 【题型6 线段垂直平分线的作法】.......................................................................................................................20 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】................................................................................................23 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等反过来，与一条线段两个端点距离 相等的点，在这 条线段的垂直平分线上 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 【例1】（2022 秋•南召县期末）已知：如图，∠B 的平分线与B 的垂直平分线相交于点 P，PE⊥B，PF⊥，垂足分别为E、F．若B＝8，＝4，则E＝ 6 ． 【分析】首先连接PB，P，由∠B 的平分线与B 的垂直平分线相交于点P，PE⊥B， PF⊥，易得PE＝PF，PB＝P，继而证得△PBE≌△PF，E＝F，又由B＝8，＝4，即可求 得答． 【解答】解：连接PB，P， ∵点P 在B 的垂直平分线上， ∴PB＝P， ∵平分∠B，PE⊥B，PF⊥， ∴PE＝PF，∠PEB＝∠PF＝90°， ∴∠PE＝∠PF， 1 ∴E＝F， 在Rt△PBE 和Rt△PF 中， { PB=PC PE=PF ， Rt ∴ △PBE Rt ≌ △PF（L）， ∴BE＝F， ∵B＝E+BE，F＝+F， ∴B＝+F+BE， ∵B＝8，＝4， ∴BE＝F＝2， ∴E＝+F＝6． 故答为：6． 【变式1-1】（2022 秋•潮安区期中）如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，的垂直平 分线BE 与D 交于点F，与交于点E． （1）判断△DB 的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝． （3）试说明E¿ 1 2BF． 【分析】（1）根据已知条件得到∠BD＝45°，求得BD＝D，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△DB 是等腰直角三角形， 理由：∵∠B＝45°，D⊥B， ∴∠BD＝45°， 1 ∴BD＝D， ∴△DB 是等腰直角三角形； （2）∵BE⊥， ∴∠BD＝∠BE＝90°， ∵∠BFD＝∠FE， ∴∠DBF＝∠D， 在△BDF 与△D 中， { ∠BDC=∠ADC=90° ∠DBF=∠DCA BD=CD ， ∴△BDF≌△D， ∴BF＝； （3）∵BE 是的垂直平分线， ∴E¿ 1 2， ∴E¿ 1 2BF． 【变式1-2】（2022 秋•庐阳区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝225°，斜边B 的垂 直平分线交于点D，点F 在上，点E 在B 的延长线上，E＝F，连接BF，DE．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由． 【分析】连接BD，延长BF 交DE 于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到D＝BD， 求出∠BD＝45°，证明△ED≌△FB，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下： 连接BD，延长BF 交DE 于点G． ∵点D 在线段B 的垂直平分线上， ∴D＝BD， ∴∠BD＝∠＝225°． 在Rt△B 中，∵∠B＝90°，∠＝225°， ∴∠B＝675°， ∴∠BD＝∠B﹣∠BD＝45°， 1 ∴△BD 为等腰直角三角形， ∴B＝D． 在△ED 和△FB 中， { CE=CF ∠DCE=∠BCF CD=CB ， Rt ∴ △ED Rt ≌ △FB（SS）， ∴DE＝BF，∠ED＝∠FB． ∵∠FB+∠BF＝90°， ∴∠ED+∠BF＝90°， ∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF． 【变式1-3】（2022 秋•海珠区校级期中）△B 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足 ∠DB＝60°． （1）如图①，当D 点在的垂直平分线上时，求证：D+D＝DB； （2）如图②，当D 点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理 由． 【分析】（1）由D 点在的垂直平分线上，可得D＝D，又由∠DB＝60°，△B 是等边三角 形，可得△BD 是含30°角的直角三角形，继而证得结论； （2）首先在DB 上截取DE＝D，可证得△DE 是等边三角形，又由△B 是等边三角形，易 证得△BE≌△D（SS），继而证得结论． 【解答】证明：（1）∵D 点在的垂直平分线上， ∴D＝D， ∴∠D＝∠D，∠DB＝∠DB＝60°， ∴∠D＝30°， 1 ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BD＝90°， ∴∠BD＝90°﹣∠DB＝30°， ∴BD＝2D＝D+D； （2）成立． 理由：在DB 上截取DE＝D， ∵∠DB＝60°， ∴△DE 是等边三角形， ∴E＝D，∠ED＝60°， ∵△B 是等边三角形， ∴B＝，∠B＝60°， ∴∠BE＝∠D， 在△BE 和△D 中， { AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴BE＝D， ∴BD＝DE+BE＝D+D． 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【例2】（2022 秋•周村区校级期中）如图，线段B，DE 的垂直平分线交于点，且∠B＝ ∠ED＝72°，∠EB＝92°，则∠EBD 的度数为（ ） 1 ．168° B．158° ．128° D．118° 【分析】连接E，依据线段B，DE 的垂直平分线交于点，可得＝B，E＝D，判定 △E≌△BD，可得∠E＝∠BD，设∠E＝∠BD＝α，则∠BDE＝72° α ﹣，∠EB＝92° α ﹣，∠BED ＝∠DE﹣∠EB＝72°﹣（92° α ﹣）＝α 20° ﹣ ，即可得到△BDE 中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣ α）﹣（α 20° ﹣ ）＝128°． 【解答】解：如图，连接E， ∵线段B，DE 的垂直平分线交于点， ∴＝B，E＝D， ∵∠B＝∠ED＝72°＝∠DE， ∴∠B＝∠ED＝36°， ∴∠E＝∠BD， 在△E 和△BD 中， { CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD ， ∴△E≌△BD（SS）， ∴∠E＝∠BD， 设∠E＝∠BD＝α，则∠BDE＝72° α ﹣，∠EB＝92° α ﹣， ∴∠BED＝∠DE﹣∠EB＝72°﹣（92° α ﹣）＝α 20° ﹣ ， ∴△BDE 中，∠EBD＝180°﹣（72° α ﹣）﹣（α 20° ﹣ ）＝128°， 故选：． 1 【变式2-1】（2022 秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△B 中，B、边的中垂线交于点， ∠＝α（0°＜α＜90°）， （1）求∠B； （2）试判断∠B+∠B 是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到＝B＝，根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠B，∠＝∠，根据周角定义即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠B，于是得到∠B＝90° α ﹣，根据三角形的内角 和即可得到结论． 【解答】解：（1）连接， B、边的中垂线交于点， ∴＝B＝， ∴∠B＝∠B，∠＝∠， ∴∠B+∠＝（180°﹣∠B﹣∠B）+（180°﹣∠﹣∠）， ∴∠B+∠＝（180° 2 ﹣∠B）+（180° 2 ﹣∠）＝360° 2 ﹣（∠B+∠）＝360° 2 ﹣∠＝360° 2α ﹣ ， ∴∠B＝360°﹣（∠B+∠）＝2α； （2）∠B+∠B 为定值， 1 ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵∠B＝∠B，∠＝∠， ∴∠B¿ 1 2（180° 2 ﹣∠B）＝90° α ﹣， ∵∠B+∠B+∠B+∠B＝180°， ∴∠B+∠B＝180° α ﹣﹣（90° α ﹣）＝90°． 【变式2-2】（2022 秋•西湖区期末）如图，线段B，B 的垂直平分线l1、l2相交于点．若∠1 ＝40°，则∠＝（ ） ．50° B．80° ．90° D．100° 【分析】连接B，并延长B 到P，根据线段的垂直平分线的性质得＝B＝和∠BD＝∠BE＝ 90°，根据四边形的内角和为360°得∠DE+∠B＝180°，根据外角的性质得∠P＝∠+∠B， ∠P＝∠+∠B，相加可得结论． 【解答】解：连接B，并延长B 到P， ∵线段B、B 的垂直平分线l1、l2相交于点， ∴＝B＝，∠BD＝∠BE＝90°， ∴∠DE+∠B＝180°， ∵∠DE+ 1 ∠＝180°， ∴∠B＝∠1＝40°， ∵＝B＝， ∴∠＝∠B，∠B＝∠， ∵∠P＝∠+∠B，∠P＝∠+∠B， ∴∠＝∠P+∠P＝∠+∠B+∠＝2×40°＝80°； 故选：B． 1 【变式2-3】（2022 春•金牛区校级期中）已知：△B 是三边都不相等的三角形，点P 是三 个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当P、同时在不等边△B 的内部时， 那么∠B 和∠BP 的数量关系是：∠B＝ 4∠ BP 360° ﹣ ． 【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠B＝2∠BP﹣ 180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠B＝2∠B，进 而得出∠B 和∠BP 的数量关系． 【解答】解：∵BP 平分∠B，P 平分∠B， ∴∠PB¿ 1 2∠B，∠PB¿ 1 2∠B， ∴∠BP＝180°﹣（∠PB+∠PB） ＝180°﹣（ 1 2∠B+1 2 ∠B） ＝180°−1 2 （∠B+∠B） ＝180°−1 2 （180°﹣∠B） ＝90°+1 2 ∠B， 即∠B＝2∠BP 180° ﹣ ； 如图，连接． ∵点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴＝B＝， ∴∠B＝∠B，∠＝∠，∠B＝∠B， ∴∠B＝180° 2 ﹣∠B，∠＝180° 2 ﹣∠， ∴∠B＝360°﹣（∠B+∠） ＝360°﹣（180° 2 ﹣∠B+180° 2 ﹣∠）， ＝2∠B+2∠ ＝2∠B ＝2（2∠BP 180° ﹣ ） ＝4∠BP 360° ﹣ ， 1 故答为：4∠BP 360° ﹣ ． 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【例3】（2022 秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l 旁修建一座移动信号发射塔． 按照设计要求，发射塔到两个城镇M，的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ） ．处 B．B 处 ．处 D．D 处 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可． 【解答】解： 根据作图可知：EF 是线段M 的垂直平分线， 所以EF 上的点到M、的距离相等， 即发射塔应该建在处， 故选：． 【变式3-1】（2022 春•浑南区期末）有、B、三个不在同一直线上的居民点，现要选址建 一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点 应建在（ ） 1 ．△B 的三条中线的交点处 B．△B 三边的垂直平分线的交点处 ．△B 三条角平分线的交点处 D．△B 三条高所在直线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项． 【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等， ∴△B 三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：B． 【变式3-2】（2022 春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口、B、构成△B，猎狗想捕捉兔 子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△B（ ） ．三条中线的交点 B．三条高的交点 ．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 【分析】用线段垂直平分线性质判断即可． 【解答】解：猎狗到△B 三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△B 的三条边垂直平分线 的交点． 故选：． 【变式3-3】如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到 两个城镇，B 的距离必须相等，到两条高速公路m 和的距离也必须相等．发射塔应该修 建在（ ） ．∠1 的平分线和线段B 的交点处 B．∠1 的平分线和线段B 的垂直平分线的交点处 ．∠2 的平分线和线段B 的交点处 D．∠2 的平分线和线段B 的垂直平分线的交点处 1 【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇，B 的距离，发射塔必须建在线段 B 的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路m 和的距离相等需要 建在∠1 的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置． 【解答】解：要两个城镇，B 的距离，发射塔必须建在线段B 的垂直平分线上，要到两 条高速公路m 和的距离相等需要建在∠1 的平分线上， ∴发射塔应该修建在∠1 的平分线和线段B 的垂直平分线的交点处． 故选：B． 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】 【例4】（2022 秋•广陵区校级月考）在△B 中，∠＝120°，B 的垂直平分线交B 于M，交B 于E，的垂直平分线交B 于，交于F， （1）如图（1），连接M、，求∠M 的度数； （ 2 ） 如 图 （ 2 ） ， 如 果 B ＝ ， 求 证 ： BM ＝ M ＝ ． 【分析】（1）由在△B 中，∠B＝130°，可求得∠+∠B 的度数，然后由B、的垂直平分线 分别交B 于点M、，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝M，＝，即可得∠＝∠， ∠BM＝∠B，继而求得∠+∠BM 的度数，则可求得答； （2）先求出△BM 与△是等腰三角形，再证明△M 为等边三角形即可． 【解答】（1）解： ∵∠B＝120°， ∴∠B+∠＝60°， 由（1）证得BM＝M，＝， ∴∠＝∠，∠B＝∠BM， + ∴∠∠BM＝∠+∠B＝60°， ∴∠M＝120° 60° ﹣ ＝60°； （2）证明： ∵B 的垂直平分线交B 于M，交B 于E，的垂直平分线交B 于，交于F， ∴BM＝M，＝， ∴∠MB＝∠B，∠＝∠， ∵∠B＝120°，B＝， ∴∠B＝∠＝30°， 1 ∴∠BM+∠＝60°，∠M＝∠M＝60°， ∴△M 是等边三角形， ∴M＝＝M， ∴BM＝M＝． 【变式4-1】（2022 秋•鄂托克旗期中）如图，在△B 中，DE 是边B 的垂直平分线，交B 于 E、交于D，连接BD． （1）若∠B＝∠，∠＝40°，求∠DB 的度数； （2）若B＝，且△BD 的周长为18m，△B 的周长为30m，求BE 的长． 【分析】（1）首先计算出∠B 的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端 点的距离相等可得D＝BD，进而可得∠BD＝∠＝40°，然后可得答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得D＝DB，E＝BE，然后再计算出+B 的长，再利用 △B 的周长为30m 可得B 长，进而可得答． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠，∠＝40°， ∴∠B＝（180° 40° ﹣ ）÷2＝70°． ∵DE 是边B 的垂直平分线， ∴D＝DB， ∴∠BD＝∠＝40°， ∴∠DB＝∠B﹣∠BD＝70° 40° ﹣ ＝30°． （2）∵DE 是边B 的垂直平分线， ∴D＝DB，E＝BE， ∵△BD 的周长为18m， + ∴B＝D+D+B＝DB+D+B＝18m． ∵△B 的周长为30m， ∴B＝30﹣（+B）＝30 18 ﹣ ＝12m， ∴BE＝12÷2＝6m． 【变式4-2】（2022 春•市中区期末）如图，在△B 中，DM、E 分别垂直平分和B，交B 于 M、两点，DM 与E 相交于点F． 1 （1）若△M 的周长为15m，求B 的长； （2）若∠MF＝70°，求∠M 的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得M＝M，B＝， 然后求出△M 的周长＝B； （2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MF+∠MF，再求出∠+∠B，根据等边对等角可 得∠＝∠M，∠B＝∠B，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵DM、E 分别垂直平分和B， ∴M＝M，B＝， ∴△M 的周长＝M+M+＝M+M+B＝B， ∵△M 的周长为15m， ∴B＝15m； （2）∵∠MF＝70°， ∴∠MF+∠MF＝180° 70° ﹣ ＝110°， ∵∠MD＝∠MF，∠BE＝∠MF， ∴∠MD+∠BE＝∠MF+∠MF＝110°， + ∴∠∠B＝90°﹣∠MD+90°﹣∠BE＝180° 110° ﹣ ＝70°， ∵M＝M，B＝， ∴∠＝∠M，∠B＝∠B， ∴∠M＝180° 2 ﹣（∠+∠B）＝180° 2×70° ﹣ ＝40°． 【变式4-3】（2022 秋•红花岗区校级月考）如图，△B 中，BD 平分∠B，B 的中垂线交B 于 点E，交BD 于点F，连接F． （1）若∠＝60°，∠BD＝24°，求∠F 的度数； （2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BF＝10，求点D 到B 的距离． 1 【分析】（1）根据角平分线定义求出∠B＝2∠BD＝48°，∠DB＝∠BD＝24°，根据三角形 内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线性质求出F＝FB，求出∠FB，即可求出答； （2）过D 作DG⊥B 于G，D⊥B 于，根据角平分线的性质得到DG＝D，利用面积法求 出B，D 即可． 【解答】解：（1）∵BD 平分∠B，∠BD＝24°， ∴∠B＝2∠BD＝48°，∠DB＝∠BD＝24°， ∵