专题27.1 成比例线段【七大题型】（解析版）

专题271 成比例线段【七大题型】 【人版】 【题型1 成比例线段的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 成比例线段的应用】.................................................................................................................................3 【题型3 比例的证明】............................................................................................................................................. 5 【题型4 利用比例的性质求比值】.........................................................................................................................7 【题型5 利用比例的性质求参】.............................................................................................................................8 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】.......................................................................................................10 【题型7 黄金分割】............................................................................................................................................... 13 【知识点1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式 （即 ）中，，d 称为比例外项，b，称为比例内项．特别地， 在比例式 （即 ）中，b 称为，的比例中项，满足 ． 2．成比例线段： 四条线段，b，，d 中，如果和b 的比等于和d 的比，即 ，那么这四条线段， b，，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1 成比例线段的概念】 【例1】（2022 秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6 组成比例式的数是（ ） ．4 3 B．3 ．8 D．12 【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出、B、、D 选项的比 值，即可判断． 【解答】解：、4 3 ：2＝4：6，故不符合题意； B、2：3＝4：6，故B 不符合题意； 、2：4≠6：8，故符合题意； D、2：4＝6：12，故D 不符合题意； 故选：． 1 【变式1-1】（2022 秋•义乌市月考）已知线段＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 2 ❑ √3 ． 【分析】由题意线段是、b 的比例中项，可知2＝b，由此即可解决问题． 【解答】解：∵线段是、b 的比例中项， ∴2＝b， ∵＝2，b＝6， ∴2＝12， ∵＞0， ∴＝2❑ √3， 故答为：2❑ √3． 【变式1-2】（2022 秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ） ．2：4＝15：3 B．3：15＝4：2 ．2：3＝15：4 D．15：2＝3：4 【分析】根据对于四条线段、b、、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另 两条线段的比相等，如 b＝d（即d＝b），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比 例线段，进而分别判断即可． 【解答】解：、2：4＝1：2＝15：3，能组成比例，错误； B、3：15＝2：1＝4：2，能组成比例，错误； 、2：3≠15：4；不能组成比例，正确； D、15：2＝3：4，能组成比例，错误； 故选：． 【变式1-3】（2022 秋•八步区期中）如图所示，有矩形BD 和矩形'B''D'，B＝8m，B＝ 12m，'B'＝4m，B''＝6m．则线段'B'，B，B''，B 是成比例线段吗？ 【分析】求出A ' B' AB ，B' C ' BC 的值判断即可． 【解答】解：∵B＝8m，B＝12m，'B'＝4m，B''＝6m， 1 ∴A ' B' AB = 4 8 =1 2，B' C ' BC = 6 12=1 2， ∴A ' B' AB = B' C ' BC ， ' ∴B'，B，B''，B 是成比例线段． 【题型2 成比例线段的应用】 【例2】（2022 秋•渭滨区期末）已知△B 的三边分别为，b，，且（﹣）：（+b）：（﹣ b）＝﹣2：7：1，试判断△B 的形状． 【分析】设﹣＝﹣2k，+b＝7，﹣b＝1，再利用k 分别表示出、b、，然后利用勾股定理 的逆定理进行判断． 【解答】解：∵（﹣）：（+b）：（﹣b）＝﹣2：7：1， ∴设{ a−c=−2k a+b=7 k c−b=k ，解得{ a=3k b=4 k c=5k ， ∵2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝2， ∴△B 为直角三角形，∠＝90°． 【变式2-1】（2022 秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400 千米，在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是（ ） ．08m B．8m ．80m D．800m． 【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得． 【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xm， 根据题意，得： x 40000000= 1 500000， 解得：x＝80， 即地图上，甲乙两地的距离是80m， 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•杜尔伯特县期末）一个班有30 名学生，男、女生人数的比可能是 （ ） ．3：2 B．1：3 ．4：5 D．3：1 【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30 整除，然后 进行计算即可解答． 【解答】解：、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故符合题意； B、30÷（1+3）＝75，不能得出整数的结果，故B 不符合题意； 、30÷（4+5）¿ 10 3 ，不能得出整数的结果，故不符合题意； 1 D、30÷（3+1）＝75，不能得出整数的结果，故D 不符合题意； 故选：． 【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、 下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期 各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 ．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 ．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 【分析】若甲：乙：丙＝：b：，则甲占全部的 a a+b+c ，乙占全部的 b a+b+c ，丙占全 部的 c a+b+c ． 【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下： 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 12= 9 36 4 12=12 36 5 12=15 36 下学期 4 9 =16 36 3 9=12 36 2 9= 8 36 ∴舞蹈社增加，溜冰社不变． 故选：D． 【知识点2 比例的性质】 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： 1 （2）反比性质： （3）更比性质： 或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知 ，则当 时， 【题型3 比例的证明】 【例3】（2022 秋•汝州市校级月考）已知线段，b，，d（b≠d≠0），如果a b = c d =k，求证： a−c b−d = a+c b+d ． 【分析】根据比例线段的性质证明即可． 【解答】证明：由a b= c d =k， 可得：＝bk，＝dk， 把＝bk，＝dk 代入a−c b−d =bk−dk b−d =k， 把＝bk，＝dk 代入a+c b+d =bk+dk b+d =k， 可得：a−c b−d = a+c b+d ． 【变式3-1】（2022 春•江阴市期中）如图，点B，在线段D 上，且B：B＝D：D，求证： 1 AB + 1 AD = 2 AC ． 1 【分析】由已知条件得到BC AB =CD AD ，即AC−AB AB = AD−AC AD ，两边同除以，即可得 到结论． 【解答】证明：∵AB BC = AD CD ， ∴BC AB = CD AD ，即AC−AB AB = AD−AC AD ， ∴AC AB −¿1＝1−AC AD ， ∴1 AB + 1 AD = 2 AC ． 【变式3-2】（2022 秋•秦都区校级期中）已知：如图，点为三角形B 内部的任意一点，连 接并延长交B 于点D． 证明：（1）S△ABO S△BOD = S△ACO S△COD ；（2）S△ABO S△ACO = BD CD ． 【分析】（1）由等高模型可知：S△ABO S△BOD = AO OD ，S△ACO S△COD = AO OD ，由此即可解决问题． （2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵S△ABO S△BOD = AO OD ，S△ACO S△COD = AO OD ， ∴S△ABO S△BOD = S△ACO S△COD ． （2）∵S△ABD S△ADC = S△OBD S△ODC = BD CD ， ∴S△ABD−S△OBD S△ADC−S△ODC = BD CD ， ∴S△ABO S△ACO = BD CD ． 【变式3-3 】（2022 秋• 岳阳县期中）若，b ，，d 是非零实数且a b = c d ，求证 1 a 2+c 2 ab+cd =ab+cd b 2+d 2 ． 【分析】由于（2+2）（b2+d2）＝2b2+2b2+2d2+2d2，（b+d）（b+d）＝2b2+2bd+2d2，根据比 例的基本性质得到d＝b，可得（2+2）（b2+d2）＝（b+d）（b+d），从而得证． 【解答】证明：∵a b= c d ， ∴d＝b， ∵（2+2）（b2+d2）＝2b2+2b2+2d2+2d2， （b+d）（b+d）＝2b2+2bd+2d2， 2 ∵bd＝2b2+2d2 ∴（2+2）（b2+d2）＝（b+d）（b+d）， ∴a 2+c 2 ab+cd =ab+cd b 2+d 2 ． 【题型4 利用比例的性质求比值】 【例4】（2022 秋•炎陵县期末）已知 2b 3a−b= 3 4 ，则a b=¿ 11 9 ． 【分析】根据 2b 3a−b = 3 4 ，可得3a−b 2b = 4 3 ，再根据比例的性质即可求解． 【解答】解：∵2b 3a−b= 3 4 ， ∴3a−b 2b = 4 3 ， ∴3a 2b −1 2= 4 3 ， ∴a b =11 9 ． 故答为：11 9 ． 【变式4-1】（2022 春•霍邱县期末）若a−b a = 3 4 ，那么b a的值等于（ ） ．2 5 B．1 4 ．−2 5 D．−1 4 【分析】把a−b a = 3 4 化成1−b a = 3 4 ，即可求出b a的值． 【解答】解：∵a−b a = 3 4 ， 1 ∴−b a = 3 4 ， 1 ∴b a= 1 4 ， 故选：B． 【变式4-2 】（2022 春• 沙坪坝区校级期末）若a b= c d =e f =1 3且b 2 ﹣d+3f≠0 ，则 a−2c+3e b−2d+3 f 的值为（ ） ．1 6 B．1 3 ．1 2 D．5 6 【分析】先利用分式的基本性质得到a b=−2c −2d =3e 3 f =1 3，然后根据等比性质解决问题． 【解答】解：∵a b = c d =e f =1 3， ∴a b=−2c −2d =3e 3 f =1 3， 而b 2 ﹣d+3f≠0 ∴a−2c+3e b−2d+3 f =1 3． 故选：B． 【变式4-3】（2022 春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ） ．若a 4 = c 5，则a c = 4 5 B．若a−b b =1 6 ，则a b=7 6 ．若a b= c d =2 3（b﹣d≠0），则a−c b−d =2 3 D．若a b= 3 4 ，则＝3，b＝4 【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答． 【解答】解：、若a 4 =c 5，则a c = 4 5 ，正确，不合题意； B、若a−b b =1 6 ，则6（﹣b）＝b，故6＝7b，则a b=7 6 ，正确，不合题意； 、若a b= c d =2 3（b﹣d≠0），则a−c b−d =2 3，正确，不合题意； D、若a b= 3 4 ，无法得出，b 的值，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 1 【题型5 利用比例的性质求参】 【例5】（2022 秋•蜀山区校级期中）已知：y+z x = x+z y = x+ y z =¿k，则k＝ 2 或﹣ 1 ． 【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换． 【解答】解：此题要分情况考虑： 当x+y+z≠0 时，则根据比例的等比性质，得k¿ 2 x+2 y+2 z x+ y+z =¿2； 当x+y+z＝0 时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2 或﹣1． 【变式5-1】（2022 秋•灌云县期末）已知x 3 = y 5 ，且x+y＝24．则x 的值是（ ） ．15 B．9 ．5 D．3 【分析】设x 3 = y 5 =¿k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24 得出3k+5k＝ 24，求出k，再求出x 即可． 【解答】解：设x 3 = y 5 =¿k，则x＝3k，y＝5k， ∵x+y＝24． 3 ∴k+5k＝24， 解得：k＝3， ∴x＝3×3＝9， 故选：B． 【变式5-2】（2022 秋•高州市期中）已知x 3 = y 5 = z 6，且3y＝2z+6，求x，y 的值． 【分析】由若x 3 = y 5 = z 6 ，可设x 3 = y 5 = z 6=¿k，这样用k 分别表示x、y、z，即x＝3k， y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到关于k 的方程，解方程得到k 的值，从而可确 定x 的值． 【解答】解：设x 3 = y 5 = z 6=¿k， 则x＝3k，y＝5k，z＝6k， 3 ∵y＝2z+6， 3×5 ∴ k＝2×6k+6， 解得：k＝2， ∴x＝3k＝6，y＝5k＝10． 1 【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若a b= c d ，且b+d≠0，那么a b= c d = a+c b+d ． （1）若b+d＝0，那么、满足什么关系？ （2）若b+c a =a+c b =a+b c =t，求t2﹣t 2 ﹣的值． 【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果； （2）根据比例的性质求得t 的值，把t 的值代入代数式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵a b= c d ，b+d＝0， + ∴＝0； （2）①当+b+≠0 时，b+c a =a+c b =a+b c =t=2(a+b+c) a+b+c =¿2， ∴t2﹣t 2 ﹣＝22 2 2 ﹣﹣＝0， ②当+b+＝0 时，b+＝﹣，+＝﹣b，+b＝﹣， ∴b+c a =a+c b =a+b c =t=−¿1， ∴t2﹣t 2 ﹣＝0． 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 【例6】（2022 秋•渝中区期末）阅读理解： 已知：，b，，d 都是不为0 的数，且a b= c d ，求证：a+b b =c+d d ． 证明：∵a b = c d ， ∴a b +¿1¿ c d +¿1． ∴a+b b =c+d d ． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若a b =3 5，求a+b b 的值； （2）若a b= c d ，且≠b，≠d，证明a−b a+b =c−d c+d ． 【分析】（1）把要求的式子化成a+b b =a b +¿1，再进行计算即可得出答； （2）根据比例的性质得出a−b b =c−d d ，a+b b =c+d d ，再分别相除即可得出答． 【解答】解：（1）∵a b =3 5， 1 ∴a+b b =a b +¿1¿ 3 5 +¿1¿ 8 5 ． （2）∵a b= c d ， ∴a b−¿1¿ c d −¿1， ∴a−b b =c−d d ， ∵a+b b =c+d d ， ∴a−b b ÷ a+b b =c−d d ÷ c+d d ， ∴a−b a+b =c−d c+d ． 【变式6-1】阅读材料： 已知x 3 = y 4 = z 6 ≠0，求x+ y−z x−y+z 的值． 解：设x 3 = y 4 = z 6=¿k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步） ∴x+ y−z x−y+z =3k+4 k−6 k 3k−4 k+6 k = k 5k =1 5．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了 等式 的基本性质， ②第二步的解题过程运用了 代入消元 的方法， 由k 5k 得1 5利用了 分式 的基本性质． （2）模仿材料解题： 已知x：y：z＝2：3：4，求 x+ y+z x−2 y+3 z 的值． 【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答； （2）仿照例题的思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质， ②第二步的解题过程运用了代入消元的方法， 由k 5k 得1 5利用了分式的基本性质， 故答为：等式，代入消元，分式； （2）∵x：y：z＝2：3：4， ∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴ x+ y+z x−2 y+3 z = 2k+3k+4 k 2k−6k+12k 1 ¿ 9k 8