专题12.3 角的平分线的性质【七大题型】（解析版）

专题123 角的平分线的性质【七大题型】 【人版】 【题型1 作已知角的角平分线】.............................................................................................................................1 【题型2 角平分线的性质的应用】.........................................................................................................................5 【题型3 角平分线的性质与等积法】.....................................................................................................................9 【题型4 角平分线的性质与全等】.......................................................................................................................12 【题型5 角平分线的判定】...................................................................................................................................18 【题型6 角平分线的性质与判定综合】............................................................................................................... 21 【题型7 角平分线的实际应用】...........................................................................................................................24 【知识点1 角平分线的作法】 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于D，交B 于E ②分别以D、E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠B 内部交于点 ③画射线即射线即为所求 【题型1 作已知角的角平分线】 【例1】（2022 秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形． ∠B 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P 落在∠B 的平分线上． （本题有三个结果，答对一个得1 分；若其中一个标错，本题得0 分，三个点分别用字 母、D、E 表示） 1 【分析】作出∠B 的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可． 【解答】解：如图所示， ①以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交B、于点D、E； ②分别以D、E 为圆心，以大于1 2DE 为半径画圆，两圆相交于点F； ③连接F，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求． 本题答不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示． 【变式1-1】（2022 秋•瑶海区期末）如图，Rt△B 中，∠＝90°，用尺规作图法作出射线 E，E 交B 于点D，D＝2，P 为B 上一动点，则PD 的最小值为（ ） ．2 B．3 ．4 D．无法确定 【分析】当DP⊥B 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．再根据角平分线的性 质定理可得DP＝D 解决问题； 【解答】解：当DP⊥B 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小． 由作图可知：E 平分∠B， ∵D⊥，DP⊥B， ∴DP＝D＝2， ∴PD 的最小值为2， 故选：． 【变式1-2】（2022•辽宁）如图，G 平分∠M，点，B 是射线M，上的点，连接B．按以下 步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交B 于点，交B 于点D；②分别以点 和点D 为圆心，大于1 2D 长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交G 于点P． 若∠B＝140°，∠M＝50°，则∠PB 的度数为（ ） 1 ．35° B．45° ．55° D．65° 【分析】利用基本作图得到BP 平分∠B，则可计算出∠PB＝70°，再利用G 平分∠M 得到 ∠BP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠PB 的度数． 【解答】解：由作法得BP 平分∠B， ∴∠PB¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×140°＝70°， ∵G 平分∠M， ∴∠BP¿ 1 2∠M¿ 1 2 ×50°＝25°， ∵∠PB＝∠PB+∠PB， ∴∠PB＝70° 25° ﹣ ＝45°． 故选：B． 【变式1-3】（2022 春•西乡县期末）如图，三角形B 中，点D 在上． （1）请你过点D 作DE 平行B，交B 于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法） （2）如果点E 在∠的平分线上，∠＝44°，那么∠DE＝ 22° ． 【分析】（1）作∠DE＝∠即可； （2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DE＝∠DE，得出D＝DE，由等腰三角形的 性质即可得出答． 【解答】解：（1）如图1 所示： 1 作∠DE＝∠交B 于E，DE 即为所求； （2）如图2 所示： ∵DE∥B， ∴∠DE＝∠BE， ∵E 平分∠B， ∴∠DE＝∠BE， ∴∠DE＝∠DE， ∴D＝DE， ∴△DE 是等腰三角形， ∴∠DE＝∠＝22°； 故答为：22°． 【知识点2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若D 平分∠DB，点P 是D 上一点，且PE D ⊥ 于点E，PF BD ⊥ 于点F，则PE＝PF 【题型2 角平分线的性质的应用】 【例2】（2022 春•崇川区校级期末）如图，四边形BD 中，对角线D 平分∠B，∠D＝ 136°，∠BD＝44°，则∠DB 的度数为（ ） 1 ．54° B．50° ．48° D．46° 【分析】过D 作DE⊥B 于E，DF⊥于F，DG⊥B 于G，依据角平分线的性质，即可得 到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠DB＝∠DBE﹣ ∠BD¿ 1 2（∠BE﹣∠B）¿ 1 2∠B． 【解答】解：如图所示，过D 作DE⊥B 于E，DF⊥于F，DG⊥B 于G， ∵D 平分∠B，DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∴DF＝DE， 又∵∠D＝136°，∠BD＝44°， ∴∠B＝92°，∠DF＝44°， ∴D 平分∠BF， 又∵DF⊥于F，DG⊥B 于G， ∴DF＝DG， ∴DE＝DG， ∴BD 平分∠BE， ∴∠DBE¿ 1 2∠BE， ∵D 平分∠B， ∴∠BD¿ 1 2∠B， ∴∠DB＝∠DBE﹣∠BD¿ 1 2（∠BE﹣∠B）¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×92°＝46°， 故选：D． 【变式2-1】（2022 秋•蓬江区校级期中）如图，已知△B 中，∠＝90°，D 平分∠B，且D： BD＝3：4．若B＝21，则点D 到B 边的距离为 9 ． 1 【分析】先确定出D＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵D：BD＝3：4． 设D＝3x，则BD＝4x， ∴B＝D+BD＝7x， ∵B＝21， 7 ∴x＝21， ∴x＝3， ∴D＝9， 过点D 作DE⊥B 于E， ∵D 是∠B 的平分线，∠＝90°， ∴DE＝D＝9， ∴点D 到B 边的距离是9， 故答为：9． 【变式2-2】（2022 秋•武昌区期中）在△B 中，∠B＝110°，∠的平分线交B 于E，在上取点 D，使得∠BD＝40°． （1）求证：点E 到和BD 的距离相等； （2）连接ED，求∠ED 的度数． 【分析】（1）延长B 至点M，根据角平分线的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的性质即可得到结论． 1 【解答】解：（1）延长B 至点M． ∵∠BM＝180° 110° ﹣ ＝70°，∠BM＝∠BD， ∴点E 到M 和BD 得距离相等， 又∵E 平分平分∠B， ∴E 点到和B 的距离相等， ∴点E 到和BD 的距离相等； （2）连接ED． ∵点E 到和BD 的距离相等， ∴∠EDB＝∠ED 设∠EDB＝∠ED＝α，∠E＝∠BE＝β， 又∵在△BD 中，2α＝2β+40°， α β ∴﹣＝20°， 在△ED 中，α＝β+∠DE 则∠ED＝α β ﹣＝20°． 【变式2-3】（2022 春•金堂县期末）在△B 中，∠B＝120°，B＝，∠B 的平分线交B 于D，E 平分∠B 交B 于E，连接DE，DF⊥B 于F，则∠ED＝ 30 °． 【分析】过D 作DM⊥交的延长线于M，D⊥E，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根 据邻补角的定义得到∠DM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BE＝60°，推出DE 平分 ∠EB，根据等腰三角形的性质得到∠EB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的 性质即可得到结论． 【解答】解：过D 作DM⊥交的延长线于M，D⊥E， ∵D 平分∠B， ∴DF＝DM， ∵∠B＝120°， ∴∠DM＝60°， 1 ∵E 平分∠B， ∴∠BE＝60°， ∴∠DM＝∠BE， ∴DM＝D， ∵DF⊥B， ∴DE 平分∠EB， ∵B＝，E 平分∠B 交B 于E， ∴E⊥B， ∴∠EB＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠B＝∠B＝30°， ∴∠DF＝15°， ∴∠ED＝30°， 故答为：30． 【题型3 角平分线的性质与等积法】 【例3】（2022•增城区期末）△B 中，B＝B＝，三内角平分线交于，P⊥B 于P，M⊥B 于 M，⊥于，⊥B 于．求证P+M+＝． 【分析】由已知可得S△B＝S△B+S△+S△B．根据三角形的面积公式和三边相等求证即可． 【解答】解：∵S△B＝S△B+S△+S△B， ∴1 2•B¿ 1 2P•B+1 2 B•M+1 2 •， 又∵B＝B＝， ∴P+M+＝． 【变式3-1】（2022 春•泰和县期末）如图，BD 平分∠B 交于点D，DE⊥B 于E，DF⊥B 于 F，B＝B＝8，若S△B＝28，求DE 的长． 1 【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE 的方程， 求出即可． 【解答】解：∵BD 平分∠B 交于点D，DE⊥B，DF⊥B， ∴DE＝DF， ∵S△B＝28，B＝B＝8， ∴1 2 ×8×DE+1 2 ×8×DF＝28， 8 ∴DE＝28． ∴DE＝35． 【变式3-2】（2022 春•香坊区期末）已知：点P 为∠EF 平分线上一点，PB⊥E 于B，P⊥F 于，点M、分别是射线E、F 上的点，且PM＝P． （1）当点M 在线段B 上，点在线段的延长线上时（如图1），求证：BM＝； （2）在（1）的条件下，M+＝ 2 ； （3）当点M 在线段B 的延长线上时（如图2），若：P＝2：1，P＝4，求四边形PM 的 面积． 【分析】（1）由点P 为∠EF 平分线上一点，PB⊥E 于B，P⊥F 于，根据角平分线的性 质，可得PB＝P，又由PM＝P，利用L，即可判定Rt△PBM Rt ≌ △P，则可证得结论； （2）由角平分线的性质易证得B＝，又由M+＝M++＝M+BM+＝B+，即可证得结论； （3 ）由：P ＝2 ：1 ，P ＝4 ，即可求得的长，又由S 四边形PM ＝S△P+S△PB+S△PBM ＝ S△P+S△PB+S△P＝S△P+S△PB，即可求得四边形PM 的面积． 【解答】解：（1）∵点P 为∠EF 平分线上一点，PB⊥E，P⊥F， ∴PB＝P，∠PBM＝∠P＝90°， 在Rt△PBM 和Rt△P 中， 1 { PM=PN PB=PC ， Rt ∴ △PBM Rt ≌ △P（L）， ∴BM＝； （2）∵∠PB＝90°﹣∠PB，∠P＝90°﹣∠P， ∴∠P＝∠PB， ∵PB⊥E，P⊥F， ∴PB＝P， ∴M+＝M++＝M+BM+＝B+＝2； 故答为：2； （3）∵：P＝2：1，P＝4， ∴＝8， ∴B＝＝8，PB＝P＝4， ∴S 四边形PM＝S△P+S△PB+S△PBM＝S△P+S△PB+S△P＝S△P+S△PB¿ 1 2•P+1 2 B•PB¿ 1 2 ×8×4+1 2 ×8×4＝ 32． 【变式3-3】（2022 秋•朝阳期中）在△B 中，D 是B 边上的点（不与点B、重合），连接 D． （1）如图1，当点D 是B 边上的中点时，S△BD：S△D＝ 1 ： 1 ； （2）如图2，当D 是∠B 的平分线时，若B＝m，＝，求S△BD：S△D的值（用含m，的代 数式表示）； （3）如图3，D 平分∠B，延长D 到E，使得D＝DE，连接BE，如果＝2，B＝4，S△BDE ＝6，那么S△B＝ 9 ． 【分析】（1）过作E⊥B 于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D 作DE⊥B 于E，DF⊥于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面 积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△BD 和△D 的面积，即可求出答． 1 【解答】解：（1） 过作E⊥B 于E， ∵点D 是B 边上的中点， ∴BD＝D， ∴SBD：S△D＝（1 2 ×BD×E）：（1 2 ×D×E）＝1：1， 故答为：1：1； （2） 过D 作DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∵D 为∠B 的角平分线， ∴DE＝DF， ∵B＝m，＝， ∴SBD：S△D＝（1 2 ×B×DE）：（1 2 ××DF）＝m：； （3） ∵D＝DE， ∴由（1）知：S△BD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△BD＝6， ∵＝2，B＝4，D 平分∠B， ∴由（2）知：S△BD：S△D＝B：＝4：2＝2：1， ∴S△D＝3， ∴S△B＝3+6＝9， 1 故答为：9． 【题型4 角平分线的性质与全等】 【例4】（2022 春•通道县期末）已知在△B 中，∠B 的平分线D 与B 的垂直平分线DE 交于 点D，DM⊥B 与M，D⊥交的延长线于，你认为BM 与之间有什么关系？试证明你的发 现． 【分析】连接BD，D，由角平分线的性质可得DM＝D，线段垂直平分线的性质可得 BD＝D，所以Rt△BMD Rt ≌ △D（L），则BM＝． 【解答】解：BM＝． 理由：连接BD，D， ∵D 平分∠B，DM⊥B，D⊥， ∴DM＝D， ∵DE 垂直平分B， ∴BD＝D， 在Rt△BMD 与Rt△D 中 ∵{ BD=CD DM=DN Rt ∴ △BDM Rt ≌ △D（L）， ∴BM＝． 【变式4-1】（2022 秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形BD 中，平分∠BD，∠B 和 ∠D 都是直角． （1）求证：B＝D． （2）若将原题中的已知条件“∠B 和∠D 都是直角”放宽为“∠B 和∠D 互为补角”，其 余条件不变，如图2，猜想：B 边和邻边D 的长度是否一定相等？请证明你的结论． 1 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得B＝D； （2）过点作E⊥D 于E，作F⊥B 于F，根据等角的补角相等求出∠D＝∠BF，根据角平 分线上的点到角的两边的距离相等可得D＝F，然后利用“角角边”证明△BF 和△DE 全 等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】（1）证明：∵∠D＝∠B＝90°， ∴D⊥D，B⊥B， ∵平分∠BD， ∴B＝D； （2）解：一定相等． 证明：如图，过点作E⊥D 于E，作F⊥B 于F， ∴∠BF 与∠B 互补． ∵∠B 和∠D 都是直角，互为补角， ∴∠D＝∠BF， 又∵是∠BD 的平分线， ∴E＝F， 在Rt△BF 与Rt△DE 中，{ ∠D=∠CBF ∠DEC=∠CFB CE=CF ， Rt ∴ △BF Rt ≌ △DE（S）， ∴B＝D． 1 【变式4-2】（2022 秋•文昌校级期中）在△B 中，D、E 分别是∠B、∠B 的平分线，D、E 相 交于点F． （1）①如图（1），当∠B＝60°，∠B＝90°，则∠F＝ 120° ； ②如图（2），如果∠B 不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF 与DF 的数量关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠F、∠F，再根据三角形的内角和定理列式计 算即可得解； ②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠F、∠F，再利用三角形内角和定理列 式计算即可得解； （2）过点F 作FG⊥B 于G，作F⊥B 于，作FM⊥于M，根据角平分线上的点到角的两 边距离相等可得FG＝F＝FM，再求出∠EF＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EF 和 △DFG 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠B＝90°， ∴∠B＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∵D、E 分别是∠B、∠B 的平分线， ∴∠F¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×30°＝15°，∠F¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×90°＝45°， ∴∠F＝180° 15° 45° ﹣ ﹣ ＝120°； 故答为：120°． ②∵D、E 分别是∠B、∠B 的平分线， ∴∠F+∠F¿ 1 2（∠B+∠B）¿ 1 2（180°﹣∠B）， ∴∠F＝180°﹣（∠F+∠F）＝180°−1 2 （180°﹣∠B）＝90°+1 2 ∠B， ∵∠B＝60°， ∴∠F＝90°+1 2 ×60°＝120°； （2）如图，过点F 作FG⊥B 于G，作F⊥B 于，作FM⊥于M， 1 ∵D、E 分别是∠B、∠B 的平分线， ∴FG＝F＝FM， ∵∠EF+∠DF＝120°， ∠DFG+∠DF＝360° 90°×2 60° ﹣ ﹣ ＝120°， ∴∠EF＝∠DFG， 在△EF 和△DFG 中，{ ∠EHF=∠DGF=90° ∠EFH=∠DFG FG=FH ， ∴△EF≌△DFG（S）， ∴EF＝DF． 【变式4-3】（2022 秋•东区校级月考）如图①，P 是∠M 的平分线，请你利用该图形画一 对以P 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列 问题： （1）如图②，在△B 中，∠B 是直角，∠B＝60°，D、E 分别是∠B、∠B 的平分线，D、E 相交于点F．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（不需证明） （2）如图③，在△B 中，∠B＝60°，D、E