专题13.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（原卷版）

专题133 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】 【人版】 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】..........................................................................................1 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】..............................................................................................2 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】..............................................................................................3 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】.....................................................................................................5 【题型5 线段垂直平分线的判定】.........................................................................................................................6 【题型6 线段垂直平分线的作法】.........................................................................................................................7 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】.................................................................................................. 8 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等反过来，与一条线段两个端点距离 相等的点，在这 条线段的垂直平分线上 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 【例1】（2022 秋•南召县期末）已知：如图，∠B 的平分线与B 的垂直平分线相交于点 P，PE⊥B，PF⊥，垂足分别为E、F．若B＝8，＝4，则E＝ ． 【变式1-1】（2022 秋•潮安区期中）如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，的垂直平 分线BE 与D 交于点F，与交于点E． （1）判断△DB 的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝． （3）试说明E¿ 1 2BF． 1 【变式1-2】（2022 秋•庐阳区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝225°，斜边B 的垂 直平分线交于点D，点F 在上，点E 在B 的延长线上，E＝F，连接BF，DE．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由． 【变式1-3】（2022 秋•海珠区校级期中）△B 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足 ∠DB＝60°． （1）如图①，当D 点在的垂直平分线上时，求证：D+D＝DB； （2）如图②，当D 点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理 由． 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【例2】（2022 秋•周村区校级期中）如图，线段B，DE 的垂直平分线交于点，且∠B＝ ∠ED＝72°，∠EB＝92°，则∠EBD 的度数为（ ） 1 ．168° B．158° ．128° D．118° 【变式2-1】（2022 秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△B 中，B、边的中垂线交于点， ∠＝α（0°＜α＜90°）， （1）求∠B； （2）试判断∠B+∠B 是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【变式2-2】（2022 秋•西湖区期末）如图，线段B，B 的垂直平分线l1、l2相交于点．若∠1 ＝40°，则∠＝（ ） ．50° B．80° ．90° D．100° 【变式2-3】（2022 春•金牛区校级期中）已知：△B 是三边都不相等的三角形，点P 是三 个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当P、同时在不等边△B 的内部时， 那么∠B 和∠BP 的数量关系是：∠B＝ ． 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【例3】（2022 秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l 旁修建一座移动信号发射塔． 按照设计要求，发射塔到两个城镇M，的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ） 1 ．处 B．B 处 ．处 D．D 处 【变式3-1】（2022 春•浑南区期末）有、B、三个不在同一直线上的居民点，现要选址建 一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点 应建在（ ） ．△B 的三条中线的交点处 B．△B 三边的垂直平分线的交点处 ．△B 三条角平分线的交点处 D．△B 三条高所在直线的交点处 【变式3-2】（2022 春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口、B、构成△B，猎狗想捕捉兔 子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△B（ ） ．三条中线的交点 B．三条高的交点 ．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 【变式3-3】如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到 两个城镇，B 的距离必须相等，到两条高速公路m 和的距离也必须相等．发射塔应该修 建在（ ） ．∠1 的平分线和线段B 的交点处 1 B．∠1 的平分线和线段B 的垂直平分线的交点处 ．∠2 的平分线和线段B 的交点处 D．∠2 的平分线和线段B 的垂直平分线的交点处 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】 【例4】（2022 秋•广陵区校级月考）在△B 中，∠＝120°，B 的垂直平分线交B 于M，交B 于E，的垂直平分线交B 于，交于F， （1）如图（1），连接M、，求∠M 的度数； （2）如图（2），如果B＝，求证：BM＝M＝． 【变式4-1】（2022 秋•鄂托克旗期中）如图，在△B 中，DE 是边B 的垂直平分线，交B 于 E、交于D，连接BD． （1）若∠B＝∠，∠＝40°，求∠DB 的度数； （2）若B＝，且△BD 的周长为18m，△B 的周长为30m，求BE 的长． 【变式4-2】（2022 春•市中区期末）如图，在△B 中，DM、E 分别垂直平分和B，交B 于 M、两点，DM 与E 相交于点F． （1）若△M 的周长为15m，求B 的长； （2）若∠MF＝70°，求∠M 的度数． 1 【变式4-3】（2022 秋•红花岗区校级月考）如图，△B 中，BD 平分∠B，B 的中垂线交B 于 点E，交BD 于点F，连接F． （1）若∠＝60°，∠BD＝24°，求∠F 的度数； （2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BF＝10，求点D 到B 的距离． 【知识点2 线段垂直平分线的判定】 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两 个） 【题型5 线段垂直平分线的判定】 【例5】（2022 秋•伊川县期末）如图，△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B，DE⊥B 于E． （1）若∠B＝50°，求∠ED 的度数； （2）求证：直线D 是线段E 的垂直平分线． 【变式5-1】（2022 秋•奈曼旗期中）如图所示，D 是∠B 的平分线，DE⊥B，DF⊥，垂足 分别为E，F，连接EF，EF 与D 交于点G，求证：D 垂直平分EF． 【变式5-2】（2022 春•市北区期末）如图，E 是∠B 的平分线上一点，E⊥，ED⊥B，垂足 分别是、D． 求证：（1）＝D， （2）E 是线段D 的垂直平分线． 1 【变式5-3】（2022 秋•平邑县期中）如图，在△B 中，D 是B 的中点，DE⊥B 于E，DF⊥ 于F，BE＝F． （1）求证：D 平分∠B； （2）连接EF，求证：D 垂直平分EF． 【题型6 线段垂直平分线的作法】 【例6】（2022 秋•武城县期末）已知：如图，在△B 中，∠＝120°，边的垂直平分线DE 与、 B 分别交于点D 和点E． （1）作出边的垂直平分线DE； （2）当E＝B 时，求∠的度数． 【变式6-1】（2022 秋•祁阳县期末）如图，在△B 中，分别以点和点B 为圆心，大于1 2B 的 长为半径画弧，两弧相交于点M，，作直线M，交B 于点D，连接D．若△D 的周长为 10，B＝8，则△B 的周长为（ ） ．8 B．10 ．18 D．20 【变式6-2】（2022•榆林模拟）如图，在△B 中，DE⊥B 于点D，交B 于点E．请用尺规作 1 图法，在线段D 上求作一点P，使P∥ED．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-3】（2022•长安区一模）如图，在△B 中，D⊥B 于点D，且D＝2BD，请用尺规作 图法，在边上找一点P，使得△PD 的面积等于△BD 的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】 【例7】（2022 秋•伊通县期末）如图，在△B 中，B 的垂直平分线l1交B 于点M，交B 于点 D，的垂直平分线l2交于点，交B 于点E，l1与l2相交于点，△DE 的周长为10．请你解 答下列问题： （1）求B 的长； （2）试判断点是否在边B 的垂直平分线上，并说明理由． 【变式7-1】（2022•阜宁县校级月考）如图，在△B 中，边B、的垂直平分线分别交B 于 D、E． （1）若B＝10，求△DE 的周长； （2）设直线DM、E 交于点． ①试判断点是否在B 的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠B＝100°，求∠B 的度数． 1 【变式7-2】（2022•宜昌）已知：如图，F 平分∠B，B⊥F，垂足为E，点D 与点关于直线 B 对称，PB 分别与线段F，F 相交于P，M． （1）求证：B＝D； （2）若∠B＝2∠MP，请你判断∠F 与∠MD 的数量关系，并说明理由． 【变式7-3】（2022 秋•信都区期末）如图1，△B 中，B＝，点D 在B 上，且D＝D＝ B． （1）求∠的大小； （2）如图2，DE⊥于E，DF⊥B 于F，连接EF 交D 于点． ①求证：D 垂直平分EF； ②直接写出三条线段E，DB，BF 之间的数量关系． 1