模型07 三角形——飞镖模型-解析版

三角形 模型（七）——飞镖模型 ◎结论：如图所示，已知四边形BD，则∠BD=∠+∠B+∠ 【证明】如图，延长 BD 交 于点E ∵∠BE 是△BE 的外角， ∴∠BE=∠+∠B 又∵∠BD 是△DE 的外角， ∴∠BD=∠BE+∠=∠+∠B+∠ 其他添加轴助线的方法 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三 角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】由三角形内角和定理可得∠B+∠B+ =180° ∠ ，即∠B+∠B=180- =140° ∠ ，再说明∠DB+∠DB=90°，进而完成 解答． 【详解】解：∵在△B 中，∠=40° ∴∠B+∠B=180- =140° ∠ ∵在△DB 中，∠BD=90° ∴∠DB+∠DB=180°-90°=90° ∴ 40°-90°=50° 故选． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 2．（2022·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】延长BE 交F 的延长线于，连接，根据三角形内角和定理求出 再利用邻补角的性质求出 ， 再根据四边形的内角和求出 ，根据邻补角的性质即可求出 的度数． 【详解】延长BE 交F 的延长线于，连接，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ , 故选：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加 辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和： ． 3．（2020·浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△B 中，∠=20°，∠B 与∠B 的角平分线交于D1，∠BD1 与∠D1的角平分线交于点D2，依此类推，∠BD4与∠D4的角平分线交于点D5，则∠BD5的度数是（ ） ．24° B．25° ．30° D．36° 【答】B 【详解】∵∠=20°，∠+∠B+∠B=180°, ∴∠B+∠B=160°， ∵∠B 与∠B 的角平分线交于D1， ∴∠BD1= ∠B，∠D1= ∠B ∵∠BD1与∠D1的角平分线交于点D2， ∴∠BD2= ∠BD1 = ∠B，∠D2= ∠D1 = ∠B， 同理可得：∠BD5= ∠B，∠D5= ∠B， ∴∠BD5+∠D5= ×160°=5°， ∴∠BD5+∠BD5=155°， ∴∠BD5=180°-∠BD5-∠BD5=25°， 故选：B 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若 ，则 ____________． 【答】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠E=∠E+ 2=115° ∠ ，∠2=∠D+∠，∠E= 1+ ∠ ∠F=115°，∠1= + ∠∠B，即可得到 结论． 【详解】解：如图 ∵∠E=∠E+ 2=115° ∠ ，∠2=∠D+∠， ∴∠E+∠D+ =115° ∠ ， ∵∠E= 1+ ∠ ∠F=115°，∠1= + ∠∠B， + ∴∠∠B+∠F=115°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F=230°， 故答为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， 平分 ， 平分 ，则 ______ 【答】 【分析】先根据角平分线的性质求出 的度数，再利用三角形内角和定理即可求解 【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，已知四边形 ，求证 ． 【答】见解析 【分析】方法1 连接B，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线 ，根据三角形的外角性质得到 ， ，两式相加即可得到结论； 方法3 延长BD，交于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】方法1 如图所示，连接B 在 中， ，即 在 中， ， ； 方法2 如图所示，连接D 并延长 是 的外角， 同理， 即 方法3 如图所示，延长BD，交于点E 是 的外角， 是 的外角， 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也 考查了三角形内角和定理 1．（2022·山西晋中·二模）如图，在 中， ， ， ， ，连接B，D，则 的度数是（ ） ．45° B．50° ．55° D．80° 【答】B 【分析】连接并延长交EF 于点M．由平行线的性质得 ， ，再由等量代换得 ，先求出 即可求出 ． 【详解】解：连接并延长交EF 于点M． ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型． 2．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简 单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”,试探究∠BD 与∠、∠B、∠之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图(2)，把一块三角尺XYZ 放置在△B 上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ 恰好经过点B、，若∠=50°， 则∠BX+ X =__________° ∠ ； ②如图(3)D 平分∠DB,E 平分∠EB,若∠DE=50°，∠DBE=130°，求∠DE 的度数；（写出解答过程） ③如图（4），∠BD，∠D 的10 等分线相交于点G1、G2 、G9，若∠BD=140°，∠BG1=77°，则∠的度数=________ __°． 【答】（1）∠BD= + B+ ∠∠ ∠，详见解析；（2）①40；②∠DE=90°；③70 【分析】（1）根据题意观察图形连接D 并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可 证∠BD= BDF+ DF ∠ ∠ ； （2）①由（1）的结论可得∠BX+ X+ = BX ∠ ∠∠ ，然后把∠=50°，∠BX=90°代入上式即可得到∠BX+ X ∠ 的值； ②结合图形可得∠DBE= DE+ DB+ EB ∠ ∠ ∠ ，代入∠DE=50°，∠DBE=130°即可得到∠DB+ EB ∠ 的值，再利用上面得 出的结论可知∠DE= （∠DB+ EB ∠ ）+∠，易得答． ③由②方法，进而可得答． 【详解】解：（1）连接D 并延长至点F， 由外角定理可得∠BDF＝∠BD+ B ∠，∠DF＝∠+ D ∠； BD ∵∠ ＝∠BDF+ DF ∠ ， BD ∴∠ ＝∠BD+ B+ + D ∠ ∠∠ B ∵∠＝∠BD+ D ∠； BD ∴∠ ＝∠B + B+ ∠ ∠； （2）①由（1）的结论易得：∠BX+ X+ ∠ ∠＝∠BX， ∵∠＝50°，∠BX＝90°， BX+ X ∴∠ ∠＝90° 50° ﹣ ＝40°． 故答是：40； ②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DE + DB+ EB ∠ ∠ ，∠DE＝∠D＋∠E＋∠ DE=50° ∵∠ ，∠DBE=130°， DB+ EB ∴∠ ∠ ＝80°； D ∵ 平分∠DB,E 平分∠EB, D= ∴∠ DB, E= ∠ ∠ EB ∠ DE ∴∠ ＝ ( DB+ EB)+ =40°+50°=90° ∠ ∠ ∠ ； ③由②知，∠BG1＝ ( BD+ D)+ ∠ ∠ ∠， BG ∵∠ 1＝77°， ∴设∠为x°， BD+ D ∵∠ ∠＝140° x° ﹣ ， ∴ (140 x) ﹣ ＋x＝77， 14 ∴ ﹣ x+x＝77， x ∴＝70， ∴∠为70°． 故答是：70． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BD= + B+ ∠∠ ∠是解答的关键，注意： 三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 3．（2022·河北·景县第二中学八年级阶段练习）如图，在 中， ，一块直角三角尺XYZ 放置在 上，恰好三角尺XYZ 的两条直角边XY，XZ 分别经过点B，． (1) ________， ________， ________． (2)若改变直角三角尺XYZ 的位置，但三角尺XYZ 的两条直角边XY，XZ 仍然分别经过点B，，则 的 大小是否变化？请说明理由． 【答】(1)150°；90°；60° (2)∠BX＋∠X 的大小不变．理由见解析． 【分析】（1）在△B 中，利用三角形内角和等于180°，可求∠B+∠B=180°-∠，即可求∠B+∠B；根据 ∠B+∠B=140°，∠XB+∠XB=90°，即可求出答； （2）不发生变化，由于在△B 中，∠=30°，从而∠B+∠B 是一个定值，即等于150°，同理在△XB 中，∠BX=90°，那 么∠XB+∠XB 也是一个定值，等于90°，于是∠BX+∠X 的值不变，等于150°-90°=60°． （1） =40° ∵∠ ， ∴∠B+∠B=140°， ∵∠X=90°， ∴∠XB+∠XB=90°， ∴∠B+∠B=140°； ∵在△BX 中，∠BX=90°， ∴∠XB+∠XB=90°， ∴∠BX+∠X=140°-90°=50°； 故答为：140°，90°，50°； （2） ∠BX＋∠X 的大小不变． 理由：在△B 中，∠＋∠B＋∠B＝180°，∠＝30°， ∴∠B＋∠B＝180°－30°＝150°． ∵∠X＝90°， ∴∠XB＋∠XB＝90°． ∴∠BX＋∠X＝(∠B－∠XB)＋(∠B－∠XB)＝(∠B＋∠B)－(∠XB＋∠XB)＝150°－90°＝60°． ∴∠BX＋∠X 的大小不变，为60°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算，关键是求出∠B+∠B．