专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（解析版）

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8 字模型（基础型） 条件：如图1，D、B 相交于点，连接B、D；结论：① ；② 。 8 字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ， ， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填“增 加”或“减少”） 度． 【答】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D、∠E、∠DE 之间的关系，进行计算即可判 断． 【详解】解：∵∠+∠B=50°+60°=110°，∴∠B=180°-110°=70°，∴∠DE=70°， 如图，连接F 并延长，∴∠DFM=∠D+∠DF=20°+∠DF，∠EFM=∠E+∠EF=30°+∠EF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+ DF+30°+ EF=50°+ DE=50°+70°=120° ∠ ∠ ∠ ， 要使∠EFD=110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由 ∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DF+∠E+∠EF=∠D+∠E+∠ED=∠D+30°+70°= ∠D+100°， 因此应将∠D 减少10 度；故答为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的 关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含 了数形结合的思想方法． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【答】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠＋∠B＝∠L，∠＋∠D＝∠ML，∠＋∠K＝∠G，∠E＋∠F＝ ∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠＋∠B＝∠L，∠＋∠D＝∠ML，∠＋∠K＝∠G，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠K＝∠L＋∠ML＋∠GML＋∠G＋∠G＝（5－2）×180°＝3×180°＝ 540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将 所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点，连接 ，则我们 把形如这样的图形称为“8 字型”． (1)求证： ； (2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ． ①若 ，求 的度数； ②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量 关系． 【答】(1)见解析(2)① ；② 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到 ， ，再根据“8 字形”得到 ，两等式相减得到 ，即 ，即可求解．②根据 ，可得 ， ，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：在 中， ， 在 中， ， ∵ ，∴ ； （2）解：①∵ 和 的平分线 和 相交于点P，∴ ， ∵ ①， ②， 由 ，得： ，即 ， ∵ ，∴ ； ②∵ ，∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ），故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8 字形”求解． 例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由； (2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证： ； (3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ． 【答】(1) ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知， ， ，两式相加即可得出 结论；（2）根据 证 即可得出结论； （3）在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，证 ，即 ，同理证 ，然后同理（1）得 ，变形不等式即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ， ，即 ； （2）证明： 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ， 是 的角平分线， ， 在 和 中， ， ， ，同理可证 ， ， ， ，即 ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是 解题的关键． 例5．（2023 春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能 够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为 基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问 题．我们将图1①所示的图形称为“8 字形”．在这个“8 字形”中，存在结论 ． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ． (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ． (2)将图2 看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ， 求 的度数．②在图4 中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5 中， 平分 ， 平分 的外 角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）． 【答】(1)见解析(2)① ；② ；③ 【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，再根据题干的结论列出 ，相加得到 ，继 而得到 ，即可证明结论； （2）①如图所示，分作 的角平分线交于，根据（1）的结论得到 ， 再由角平分线的定义和平角的定义证明 ， ，再根据题干的结论可推出 ；②如图所示，分作 的角平分线交于，由（1）的结论可知 ，，同理可得 ， ，则由四边形内角和定理可得 ；③由题干的结论可得 ，由角平分线的定义得到 ，再求出 ，由题干的结论可知 ，由此可得 ． 【详解】（1）解：∵ 分别平分 ， ∴ ，∴ ， 由题干的结论得： ，∠ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，即 ； （2）解：①如图所示，分作 的角平分线交于， 由（1）的结论可知 ， ∵ 分别平分 ，∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ，同理可得 ，由题干的结论可得 ， ∴ ； ②如图所示，分作 的角平分线交于， 由（1）的结论可知 ，，同理可得 ， ， ∴ ； ③由题干的结论可得 ， ∵ 平分 ， 平分 的外角 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 由题干的结论可知 ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8” 字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 模型2、“”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+ 2= +180° ∠ ∠ 。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若 ，那么 的度数为 ． 【答】 【分析】根据平角的定义求出 ，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ， ， ， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点 E，则 （ ）． ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据平角的概念计算即可． 【详解】解： ， ， ，故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于 是解题的关键． 例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图， ，若 ，那么 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据相似三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵ ，∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠＝60°，∴∠E＝180°－∠－∠D＝180°－60°－45°＝75° 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键． 例4．（2023 秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ． 235 245 ADE AED   65 A     180 65 115 ADE AED       360 115 245 BDE CED       180 【答】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解： 和 是 的外角， ． 又 ， ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】由三角形内角和定理可得∠B+∠B+ =180° ∠ ，即∠B+∠B=180- =140° ∠ ，再说明∠DB+∠DB=90°，进而 完成解答． 【详解】解：∵在△B 中，∠=40°∴∠B+∠B=180- =140° ∠ ∵在△DB 中，∠BD=90°∴∠DB+∠DB=180°-90°=90° ∴ 40°-90°=50° 故选． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中 虚线剪去 ，则 __________； （2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________； （4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3 的形状，试探究 与 的关系，并说明理由． 【答】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ， ，即可； （2）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ， ，即可； （3）根据（1）和（2）可知， ，根据 ，即可； （4）根据折叠的性质，则 ，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则 ， ， ，再根据等量代换，即可． 【详解】（1） 为直角三角形， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，故答为： ． （2）∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，故答为： ． （3）由（1）和（2）得， ， ∵ ，∴ ，∴ ． （4） ，理由见下：由题意得， ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角 和定理． 例7．（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“”型图，易证明：∠EDF = + ∠ ∠B + ∠； 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求 ？ 分析： 图中 是“”型图，于是 ，所以 = ； (2)如图（3），“七角星”形，求 ； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ； 【答】(1)180°(2)180°(3)360° 【分析】（1）根据三角形外角的性质把5 个角转化到一个三角形中可得答； （2）根据三角形外角的性质把7 个角转化到一个三角形中可得答． （3）根据三角形外角的性质把8 个角转化到一个四边形中可得答． 【详解】（1）解：如图， 由三角形外角的性质可得， ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为：180°； （2）如图，由（1）得， ∵ ，∴ ． （3）如图，由三角形外角的性质可得， ， ， ， 故答为：360°． 【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键． 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的 斜边B、DE 在同一直线上，其中 ， ， ，则 的度数为 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵由题意得 ， ， ∴ ，故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角和． 例2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ， ，若 相交于点E，则 的大小为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】在 中，利用三角形内角和定理，可求出 的度数，再结合对顶角相等，即可得出 的度数． 【详解】解：在 中， ， ， ∴ ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是 ”及“对顶角相等”是解题 的关键． 例3（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在 的延长线上，点、F 分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 【答】 【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可求出 ，再利用三角形的外角性质， 即可求出 的度数． 【详解】解：∵ ，∴ ． ∵ 是 的外角，∴ ．故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另 一个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ， ， ．故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 例4．（2023 春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放， ， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ； ④ 平分 ，正确的有 ．（填序号） 【答】①②④ 【分析】如图，由题意得： ，根据平行线的性质求出 ，进而可求出 ，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、 平行线的性质和角的和差求出 ，即可判断①；求出 ，进而可判断②． 【详解】解：如图，由题意得： ，∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ，故结论③错误； ∵ ，∴ ，∴ 平分 ，故结论④正确； ∵ ，∴ ，∴ ，故结论①正确； ∵ ，∴ ，∴ ，故结论②正确；故答为：①②④． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握 三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键． 例5．（2023 春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1 摆放， ， ， ，点 在 上，点 在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点 以每秒 的速度顺 时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 ______秒时， ；当 ______秒时， ； (2)在旋转过程中， 与 的交点记为 ，如图2，若 有两个内角相等，求的值； (3)当边 与边 、 分别交于点 、 时，如图3，连接 ，设 ， ， ，试问 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答】(1) ； (2)当为6 或15 或24 时， 有两个内角相等 (3)是定值， ，理由见解析 【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论，① ；② ；③ ，求出旋转角，再求出 值；（3）找出与 ， ， ，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论． 【详解】（1）如图，当 时， 平分 ， ， ， 又 为 的一个外角， ， ； 如图，当 时， ， ， ， ， ．故答为：3； 21． （2）①如图，当 时， ， ， ； ②如图，当 时， ， ， ， ； ③如图，当 时， ， ， 综上所述：当为6 或15 或24 时， 有两个内角相等． （3） 是为定值105，理由如下： 是 的一个外角， 是 的一个外角， ， ， 又 ， ， ， ， ． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求 等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系 是关键． 课后专项训练 1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ） ．540° B．500° ．460° D．420° 【答】D 【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据平角的定义和四边形内角和可得 ，同理可得 ，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ∵ ∴ ， 同理可得： ，∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于 是解题的关键． 2．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】运用内外角之间的关系可得 ． 【详解】解：∵三角形的内角和等于 ，∴可得 和 的邻补角之和等于 ， ∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于 ,解题的关键是理解题意，掌握