专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型（解析版）

专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握 的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模 型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型， 这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 模型1：猪蹄模型（M 型） 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：M∥B，结论：∠PB= + ∠∠B；②已知：∠PB= + ∠∠B，结论：M∥B 如图2，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3= + ∠∠B+∠P2 如图3，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3++∠P2+1= + ∠∠B+∠P2++∠P2 例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图， ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点 作 ，从而可得 ，则有 ， ，即可求 的度数． 【详解】解：过点 作 ，如图， ， ， ， ， ．故选：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 例2．（2023 春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物 线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线 ， 反射后沿着与 平行的方向射出，已知图中 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由平行线的性质即可得出 ， ，再根据 即可求解． 【详解】由题意知 ∴ ， ∴ 故选：． 【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键． 例3．（2023 春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示 ，应为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ， ∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B∥EF ∥ ，∴B D M EF ∥∥ ∥ ，∴ + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ， BD=180°- ∴∠ ，∠DM= M= ∠ - ，∴ = BD+ DM= ∠ ∠ ，故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们 青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑 雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直 略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角 时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长 交直线 于点 ，利用平行线的性质得出 ，再由两直线平行，内 错角相等即可得出结果． 【详解】解：延长 交直线 于点 ， ， ， 根据题意得 ， ，故选：． 【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 例5．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，若 ，则 为（ ） ．23° B．33° ．44° D．46° 【答】 【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法 可得 ，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答． 【详解】如图，过点E 作 ，则 ， ∴ ， ， 同理可得： ， ， ∴ ， ，故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的 断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口 问题”．（1）如图（2）所示，已知 ，请问 ， ， 有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知 ，请问 ， ， 又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知 ，请问 与 有何关系并说明理由． 【答】见解析 【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下： 过点E 作直线∥B，则∥B∥D，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E 作直线b∥B，则b∥B∥D ∠ ∴ B+∠3=180°，∠4+∠D=180° ∠ ∴ B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360° （3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下： 过点E，F，G 作直线∥B，d∥B，e∥B，则∥B∥d∥e∥D， 则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D ∠ ∴ B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：M∥B 如图2，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+…+∠=（－1）180° 例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知 ，那么 （ ） ．180° B．270° ．360° D．540° 【答】 【分析】先根据平行线的性质得出 ，进而可得出结论． 【详解】过点作 ， ， ，∴ 由 得， ， 即 ．故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平 行若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点 作 工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点 作 工作篮底部， ， 工作篮底部与支撑平台平行， 工作篮底部 支撑平台， ， ， ， ， ，故选： ． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补” 是解题的关键． 例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1 是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2 所示的数学图形．已知 垂直地面上的直线 于点 ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的 段将 绕点 缓慢向上抬高， 段则一直保持水平状态上升（即 始终平行于 ）．在该运动过程中，当 时， 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】如图所示，过点作 ，利用平行线的性质得到 ，进而求出 ，则 ． 【详解】解：如图所示，过点作 ，∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， 即 ，∴ ， ∴ ，故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例4．（2023 春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果B D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答】540 【分析】过点E 作 ，过点F 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E 作 ，过点F 作 ，如图， ∵ ， ， ，∴ ， ， ∴∠B+∠BF=180°，∠FEM+∠EF=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BF+∠EF， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BF+∠FEM+∠EF+∠D+∠DEM=540°，故答为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线 ， 是解答本题的关键． 例5．（2022 春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知 ，则 ，则 等于 （用含 的式子表示）． 【答】 /360 度 【分析】过点 向右作 ，过点 向右作 ，得到 ，根据两 直线平行同旁内角互补即可得出答． 【详解】解：如图，过点 向右作 ，过点 向右作 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， 当 时， 故答为： ； ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键． 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】如图所示，过点E 作 ，则 ，由平行线的性质得到 ，进一步推出 ． 【详解】解：如图所示，过点E 作 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若 ，则∠1+ 3- 2 ∠ ∠的度数为 【答】180° 【分析】延长E 交D 于点F，则有∠2+ EF= 3 ∠ ∠，然后根据 可得∠1= EFD ∠ ，最后根据领补角及等量 代换可求解． 【详解】解：延长E 交D 于点F，如图所示： ， ∠1= EFD ∠ ， ∠2+ EF= 3 ∠ ∠， ， ， ；故答为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是 解题的关键 例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知B∥D，P 为直线B，D 外一点，BF 平分∠BP，DE 平分∠DP， BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝，试用表示∠P 为______． 【答】∠P＝360° 2 ﹣ 【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PD＝2∠3，进而 根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P 和的关系，然后即可用 表示∠P． 【详解】解：延长B 交PD 于点G，延长FE 交D 于点， ∵BF 平分∠BP，DE 平分∠DP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵B∥D，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PD＝2∠3， ∠ ∵ PBG＝180° 2 ﹣∠1，∴∠PBG＝180° 2 ﹣∠5，∴∠5＝90°﹣ ∠PBG， ∠ ∵ FED＝180°﹣∠ED，∠5＝180°﹣∠ED，∠ED＋∠ED＋∠3＝180°， ∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3， ∠ ∴ FED＝180°﹣（90°﹣ ∠PBG）＋ ∠6＝90°＋ （∠PBG＋∠6）＝90°＋ （180°﹣∠P）＝180°﹣ ∠P，∵∠FED＝，∴＝180°﹣ ∠P ∠ ∴ P＝360° 2 ﹣．故答为：∠P＝360° 2 ﹣． 【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关 系是关键． 例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内 的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数： (2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由： (3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值． 【答】(1) (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点 作 ，易得 ，由平行线的性质可得 ， ，即可求出 ；（2）过点 作 ，易得 ，根据平行线的性质可得 ； （3）过点 作 ，过点 作 ，易得 ， ，根据平行线的性质可得 ， ，再由已知等量代换，即可求得 的值． 【详解】（1）解：如图1 所示，过点 作 ， ， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）解： ，理由如下： 如图2，过点 作 ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，过点 作 ，过点 作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线B∥D，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠ED 的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME 与∠E 的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明 你的结论；（3）如图3，∠BM= ∠MBE，∠D= ∠DE，直线MB、D 交于点F，则 = ． 【答】(1) ∠E=∠ED﹣∠BME (2) ∠E+2∠PM=180°（3） 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答（2）根据平行线的性质，三角形外角定理， 角平分线的性质即可解答（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答 【详解】（1）如图1，∵B∥D，∴∠ED=∠EFB， ∠ ∵ EFB 是△MEF 的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠ED﹣∠BME， （2）如图2，∵B∥D，∴∠P=∠GB， ∠ ∵ PM 是△GPM 的外角，∴∠PM=∠GB+∠PM=∠P+∠PM， ∵MQ 平分∠BME，P 平分∠E，∴∠E=2∠P，∠FME=2∠BMQ=2∠PM， ∵B∥D，∴∠MFE=∠E=2∠P，∵△EFM 中，∠E+∠FME+∠MFE=180°， ∠ ∴ E+2∠PM+2∠P=180°，即∠E+2（∠PM+∠P）=180°，∴∠E+2∠PM=180°； （3）如图3，延长B 交DE 于G，延长D 交BF 于， ∵B∥D，∴∠DG=∠GE，∵∠BE 是△BEG 的外角， ∠ ∴ E=∠BE﹣∠GE=∠BE﹣∠DE，① ∠ ∵ BM= ∠MBE，∠D= ∠DE，∴∠BM= ∠BE=∠B，∠D= ∠DE=∠FD， ∠ ∵ B 是△DF 的外角， ∠ ∴ F=∠B﹣∠FD= ∠BE﹣ ∠DE= （∠BE﹣∠DE），② 由①代入②，可得∠F= ∠E，即 点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义 模型4：羊角模型 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023 春·上海·七年级专题练习）如图所示，B∥D，∠E＝37°，∠＝ 20°，则∠EB 的度数为 ． 【答】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如 果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即 可． 【详解】解：设E、D 交于点F， ∵∠E＝37°，∠＝ 20°，∴∠FE=180°-37°-20°=123°，∴∠FD=123°， ∵B∥D，∴∠FD+∠EB=180°，∴∠EB=180°-123°=57°，故答为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知B∥D，∠=50°，∠=∠E．则∠等于（ ） ．20° B．25° ．30° D．40° 【答】B 【分析】根据B∥D，∠=50°，所以∠=∠．又因为∠=∠E，∠是外角，所以可求得∠． 【详解】解：∵B∥D，∠=50°，∴∠=∠（内错角相等）， 又∵∠=∠E，∠是外角，∴∠=50°÷2=25°．故选B． 例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）已知B//D ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答】见解析 【分析】过点E 作EF∥D，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BD，根据平行线的性质即可得出 ∠BD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E 作EF∥D，如图 ∵B∥D， ∴∠B=∠BD，∵EF∥D（辅助线）， ∴∠BD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点 作 ，则 ，根据平行线的性质可得到 ， ，即可求得 ． 【详解】如图，过点 作 ， ∵ ， ，∴ ． ∴ ，． ∵ ，∴ ． ∴ ．故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键． 例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图， ， ， ， ，点 是 上一点． （1） 的度数为 ；（2）若 ．则 与 （填“平行”或“不平 行”）． 【答】 / 度 平行 【分析】（1）根据平分线的判定可得 ，根据平行线的性质可得 的度数； （2）根据对顶角相等可得 的度数，根据平分线的判定可得 ． 【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ；故答为： ． （2）∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答为：平行． 【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 模型5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，B∥D，结论：∠1+∠3－∠2=180° 图1 图2 如图1，已知：B∥DE，结论： 如图2，已知：B∥DE，结论： 例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、、D 三点，拐弯后与原来方向相同， 如图，若 ，则 等于（ ） ．50° B．40° ．30° D．20° 【答】D 【分析】过点作 ，根据平行线的性质即可求出 的度数． 【详解】解：过点作 ，∴ ， ∵ ∴ ； ∵ ，∴ ； 由题意 ，∴ ，∴ ．故选：D 【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出