专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（原卷版）

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8 字模型（基础型） 条件：如图1，D、B 相交于点，连接B、D；结论：① ；② 。 8 字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ， ， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填“增 加”或“减少”） 度． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点，连接 ，则我们 把形如这样的图形称为“8 字型”．(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平分 线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数； ②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量 关系． 例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由； (2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证： ； (3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ． 例5．（2023 春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能 够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为 基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问 题．我们将图1①所示的图形称为“8 字形”．在这个“8 字形”中，存在结论 ． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ． (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ． (2)将图2 看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ， 求 的度数．②在图4 中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5 中， 平分 ， 平分 的外 角 ，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）． 模型2、“”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+ 2= +180° ∠ ∠ 。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若 ，那么 的度数为 ． 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点 E，则 （ ）． ． B． ． D． 例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图， ，若 ，那么 （ ） ． B． ． D． 例4．（2023 秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D 落在 的内部，则 （ ）． 235 245 ． B． ． D． 例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中 虚线剪去 ，则 __________； （2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________； （4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3 的形状，试探究 与 的关系，并说明理由． 例7．（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“”型图，易证明：∠EDF = + ∠ ∠B + ∠； 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求 ？ 分析： 图中 是“”型图，于是 ，所以 = ； (2)如图（3），“七角星”形，求 ； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的 斜边B、DE 在同一直线上，其中 ， ， ，则 的度数为 （ ） ． B． ． D． 例2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ， ，若 相交于点E，则 的大小为（ ） ． B． ． D． 例3（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在 的延长线上，点、F 分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另 一个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放， ， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ； ④ 平分 ，正确的有 ．（填序号） 例5．（2023 春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1 摆放， ， ， ，点 在 上，点 在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点 以每秒 的速度顺 时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 ______秒时， ；当 ______秒时， ； (2)在旋转过程中， 与 的交点记为 ，如图2，若 有两个内角相等，求的值； (3)当边 与边 、 分别交于点 、 时，如图3，连接 ，设 ， ， ，试问 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 课后专项训练 1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ） ．540° B．500° ．460° D．420° 2．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角△B 上，使得该三角板的 两条直角边DE、DF 恰好分别经过点B、，若∠B+∠B＝120°，则∠BD+∠D 的值为( ) ．60° B．50° ．40° D．30° 4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 的度数是（ ）． ． B． ． D． 5．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ， ， 则 等于（ ） ． B． ． D． 6．（2023 秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段 组成的平面图形中， ，则 的度数为（ ）． ． B． ． D． 7．（2022 秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 8．（2023 秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板 与一个直尺按如图所示的方式摆放，若 ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 9（2022 春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳： （1）如图1，已知△B 为直角三角形，∠=90°，若沿图中虚线剪去∠，则∠1+ 2= ∠ °． （2）如图2，已知△B 中，∠=40°，剪去∠后成四边形，则∠1+ 2= ∠ °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+ 2 ∠与∠的关系是 ． 10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则 ． 11．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ， ． 12．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其 中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方 向旋转，记旋转角 ． (1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ． (2)当 时，连接 ，利用图探究 值的大小变化情况，并说明理由． 13．（2023 春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣． 他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1 中， 的度数是______．(2)①求图1 中 的度数；② 图2 中， ，求 的度数． 14．（2022 秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中， 把直角三角板放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ． (1)若 ，则 ______ ， ______ ， ______ (2)若 ，则 ______ ．（写出求解过程） (3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由． 15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中， 的锐角所对的直角边等于斜边的一半 如图①，我们用几何语言表示如下： ∵在 中， ， ，∴ 你可以利用以上这一结论解决以下问题：如图②，在 中， ， ， ， ， （1）求 的面积；（2）如图③，射线 平分 ，点 从点 出发，以每秒1 个单位的速度沿 着射线 的方向运动，过点 分别作 于 ， 于 ， 于 设点 的运动时间 为秒，当 时，求的值 16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中 ， ， ，斜边 ， ．把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如 图乙）．这时 与 相交于点 、与 相交于点 ． (1)写出 度；(2)线段 的长为 ；(3)若把 绕着点 顺时针旋转 得 ，这时 点 在 的内部、外部、还是边上？说明理由． 17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，B、D 相交于点，∠＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE 平分∠BD 交D 于F，E 平分∠D 交B 于G，求∠BE 的度数； (2) 若直线BM 平分∠BD 交D 于F，M 平分∠D 交直线BF 于M，求∠BM 的度数． 18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板 放置在 上（ 点在 内），三角板 的两条直角边 、 恰好分别经过点 和点 ．探究 与 是 否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若 ，则 ____度， ____度， ____度； (2)类比探索：请探究 与 的关系； (3)类比延伸：如图②，改变直角三角板 的位置，使 点在 外，三角板 的两条直角边 、 仍然分别经过点 和点 ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理 由． 19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在 中， ，直线 分别交 的边 、 和 的延长线于点D、E、F．(1)若 ，则 ．(2) 、 、 有什么数 量关系？请说明理由． 20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数为 ； 探索三：如图3，P、G 分别平分∠BE、∠FD，G 反向延长线交P 于点P，则∠P、∠B、∠D 之间的数量关系 为 ． 【模型应用】应用一：如图4，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MB 与外 角∠D 的角平分线BP，P 相交于点P．则∠＝ （用含有α 和β 的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α 和β 的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MB 与外角∠D 的角平分 线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α 和β 的代数式表示） 【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠＝x，∠B＝y，∠P＝ ∠B，∠DP＝ ∠DB，试问∠P 与∠、∠B 之间的 数量关系为 ．（用x、y 表示∠P） 拓展二：如图7，P 平分∠BD，P 平分∠BD 的邻补角∠BE，猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写出结论 ．