专题05 整式乘除法的三种考法全攻略（学生版）

专题05 整式乘除法的三种考法全攻略 类型一、不含某项字母求值 例1．已知计算 的结果中不含 和 的项，求 m、的值． 【变式训练1】已知将 展开的结果不含 和 项，(m、为常数) (1)求m、的值； (2)在(1)的条件下，求 的值．(先化简，再求值) 【变式训练2】已知 的展开式中不含 和 项． (1)求 的值． (2)先化简，再求值： ． 【变式训练3】(1)试说明代数式 的值与、的值取值有无关系； (2)已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值； (3)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知 ，求 的值． (2)若 中不含 ， 项，求m，的值． 类型二、与几何的综合问题 例1 如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形(阴影部分)．观察 图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部 分的面积． 方法1：______，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？_________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知 ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式， 两个边长分别为 ， 的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图(1)所 示的梯形，请用两种方法计算梯形面积． (1)方法一可表示为______；方法二可表示为______； (2)根据方法一和方法二，你能得出 ， ，之间的数量关系是______(等式的两边需写成 最简形式)； (3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6 和8，则其斜边长为______； (4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图(2) 是边长为 的正方体，被如图所示的分割线分成8 块．用不同方法计算这个正方体体积， 就可以得到一个等式，这个等式可以为______；(等号两边需化为最简形式) 【变式训练2】阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图 形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： (如图1)．所谓 “等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整 体看是一边长为 的正方形，其面积为 ．从局部看由四部分组成，即：一个边 长为 的正方形，一个边长为 的正方形，两个长、宽分别为 ， 的长方形．这四部分的 面积和为 ．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等， 即 ． 同理，图2 可以得到一个等式： ． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3 可得等式：___________； (2)由图4 可得等式：____________； (3)若 ， ， ，且 ， ，求 的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的 几何图形，通过这个几何图形得到一个含有 ， ，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求 的值． 【变式训练3】(发现问题)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观 性，可以帮助我们更容易理解数学问题． 例如，求图1 阴影部分的面积，可以得到乘法公式(＋b)2＝2＋2b＋b2 请解答下列问题： (1)请写出求图2 阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可) (2)用4 个全等的、长和宽分别为、b 的长方形，拼摆成如图3 的正方形，请你观察求图3 中 阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：(＋b)2、(－b)2、b 之间的等量关系式 (直接写出等量关系式即可) (自主探索) (3)小明用图4 中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽为，长为b 的长方形 纸片拼出一个面积为(3＋2b)(2＋3b)长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝ _____ (拓展迁移) (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5 表示的是一个边长 为＋b 的正方体，请你根据图5 求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______ 【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5 的大小关系(其中y>0)？ 几何建模： (1)画长y+3，宽y+2 的矩形，按图方式分割 (2)变形：2y+5=(y+2)+(y+3) (3)分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点 部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知： (y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5 归纳提炼： 当>2，b>2 时，表示b 与+b 的大小关系．根据题意，设=2+m，b=2+(m>0，>0)，要求参照上 述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤(用铅笔画图，并标注相关线段的长) 类型三、规律性问题 例1(1)填空： ； ； ． (2)猜想： ．(其中为正整数，且 )． (3)利用(2)猜想的结论计算： ① ② 【变式训练1】阅读下文，寻找规律： 已知： ，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ① _________； ② _________． (2)根据你的猜想，计算： ① _________； ②那么 的末尾数字为_________． 【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示) 就是一例． 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和．事 实上，这个三角形给出了(+b)(为正整数)的展开式(按的次数由大到小的顺序排列)的系数规 律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(+b)2＝2+2b+b2展开式中各项的 系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着(+b)3＝3+32b+3b2+b3展开式中各项的系数等 等． (1)根据上面的规律，(+b)4展开式的各项系数中最大的数为 ； (2)求出25+5×24×( 3)+10×2 ﹣ 3×( 3) ﹣ 2+10×22×( 3) ﹣ 3+5×2×( 3) ﹣ 4+( 3) ﹣ 5的值； (3)若(x 1) ﹣ 2020＝1x2020+2x2019+3x2018+……+2019x2+2020x+2021，求出1+2+3+……+2019+2020的值． 【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着 读，文字一样，韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联 一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”： ， ， ． (1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．(填上所有正确的序号) ． 与 ；B． 与 ； ． 与 ；D． 与 ； E 与 (2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．