专题05 最短路径的三种考法（原卷版）

专题05 最短路径的三种考法 类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题） 例．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小， 请在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 【变式训练1】如图所示，点 ， ，且，b 满足 ．若P 为x 轴 上异于原点和点的一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （P 为顶点）， 连接 ． (1)如图1 所示，直接写出点的坐标为 ，点B 的坐标为 ； (2)如图2 所示，当点P 在点，之间运动时，则 、 之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3 所示，点P 在x 轴上运动过程中，若 所在直线与y 轴交于点F，请直接写出F 点的坐标为 ，当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系 ． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴 上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小， 请在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例1．如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当 取最小值时，此时 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，分别是线 段 ， 上的动点， ，当 最小时， ． 【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ， 是等边三角形， P 是 的平分线上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【变式训练2】如图，等腰三角形 的底边 的长为4，面积为24，腰 的垂直平分 线 分别交边 ， 于点 ， ，若 为 边的中点， 为线段 上一动点，则 的最小值为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 【变式训练3】如图，在等边△B 中，BF 是边上的中线，点D 在BF 上，连接D，在D 的右 侧作等边△DE，连接EF，当△EF 周长最小时，∠FE 的大小是( ) ．30° B．45° ．60° D．90° 【变式训练4】如图，在Rt B △中，∠B=90°，∠B=60°，B=4，点D 是B 上一动点，以BD 为边 在B 的右侧作等边△BDE，F 是DE 的中点，连结F，F，则F+F 的最小值是 类型三、最短路径问题的实际应用 例1 如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度 等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图 2 设计两种： 小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ． 小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连E，交 于 ，作 于 ．在 处建桥．路径是 ． （1）在图2 中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． （2）假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10 点某小船 从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流 方向与桥保持垂直船在静水每小时14 千米，水流每小时2 千米，第二天早上6 点时小明发 现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40 千米处行驶求这两桥之间的距离． 例2．如图，圆柱的底面半径为 ，圆柱高 为 ， 是底面直径，求一只蚂蚁从 点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线 ＋底面直径 ，如图所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段 ，如图b 所示，设长度为 ． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为 ，高 为 ”继续按前面的路线进行计算．（结果保留 ） ①此时，路线1 的长度 ，路线2 的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图（1），点，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点， 使得点到点，点B 的距离和最短？我们只需连接B，与直线l 相交于一点，可知这个交点即 为所求． 如图（2），如果点，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点 到点、点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B 关于的对称点B，这时 对于直线l 上的任一点，都保持B＝B，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段B 与 直线l 的交点的位置即为所求． 为了说明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点′，连接′，B′，B′′．因为B′≤′ + B ′ ′，∴+B＜'+′B，即+B 最小． 任务： 数学思考 （1）材料中划线部分的依据是 ． （2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可） ．转化思想 B．分类讨论思想 ．整体思想 迁移应用 （3）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝15°，点P 为边上的动点，点D 为B 边上的动点， 若B＝8m，则BP+DP 的最小值为 m． 课后训练 1．如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF＋E 取得最 小值时，∠FB＝ °． 2．如图，在 中， ，点P、Q 分别是边 上的动 点，则 的最小值等于（ ） ．4 B． ．5 D． 3．如图，在五边形 中， ， ， ， ，在 、 上分别找到一点 M、，使得 的周长最小，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 4．如图， 中， 垂直 于点 ，且 ，在直线 上方有一动点 满足 ，则点 到 两点距离之和最小时， 度． 5．如图，在锐角 中， ， ， 平分 ， 、 分别是 和 上 的动点，则 的最小值是 ． 6．如图，在边长为2 的等边△B 中，D 为B 的中点，E 是边上一点，则BE+DE 的最小值为 ． 7．如图1，已知直线的同侧有两个点 、 ，在直线上找一点 ，使 点到 、 两点 的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点， 对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 （1）如图2，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，动点 在 轴上，求 的最小值； （2）如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为______ （3）如图4， ， ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点， 则 的最小值为__________ 8．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，交边 于点 ，点 是边 的中点．点 为边 上的一个动点． (1) ______， ______度； (2)当四边形 为轴对称图形时，求 的长； (3)若 是等腰三角形，求 的度数； (4)若点 在线段 上，连接 、 ，直接写出 的值最小时 的长度．