专题17.3 最短路径问题专项训练（30道）（解析版）

专题173 最短路径问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的规律问题所有类型！ 一．选择题（共12 小题） 1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m D．5m 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最 短，根据勾股定理可求出最短路径长， 【解答】解：如图， 它运动的最短路程B¿ ❑ √(2+2) 2+( 2 2 ) 2=❑ √17（m）． 故选：． 2．（2022 春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12m，B 是底面圆的直径，在圆 柱表面的高B 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． 1 ．14 B．12 ．10 D．8 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为12m，求出B 的值；再在Rt△BD 中，根据勾股定理求出D 的长，D 即为所求． 【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为12m， ∴B＝6m． ∵BD＝8m， 在Rt△BD 中，D2＝B2+BD2， ∴D¿ ❑ √6 2+8 2=¿10（m）， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10m． 故选：． 3．（2022 春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12m，底面周长为18m．在杯内离杯 底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）m． ．15 B．❑ √97 ．12 D．18 【分析】将圆柱沿过的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使 F+F 最小，则先作出关于杯口所在直线的对称点'，连接'与杯口的交点即为F，此时F+F ＝'F+F＝'，再利用勾股定理求'的长即可． 1 【解答】解：如图所示，将圆柱沿过的母线剪开， 由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使F+F 最小， 故先作出关于杯口所在直线的对称点'，连接'与杯口的交点即为F，此时F+F＝'F+F ＝'， 根据两点之间线段最短，即可得到此时F+F 最小，并且最小值为'的长度， 如图所示，延长过的母线，过'作'D 垂直于此母线于D， 由题意可知，'D＝18÷2＝9（m）， D＝12 4+4 ﹣ ＝12（m）， 由勾股定理得：'¿ ❑ √A ' D 2+C D 2=¿15（m）， 故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15m， 故选：． 4．（2022 秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子． 为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B 点，如图所 示，若每根柱子的底面周长均为2 米，高均为3 米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度 为（ ） ．❑ √7米 B．❑ √11米 ．❑ √13米 D．5 米 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结 果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2 个长方形的对角线长， ∵圆柱高3 米，底面周长2 米， ∴2＝22+152＝625， 1 ∴＝25， ∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m． 故选：D． 5．（2022 秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点的距离为1， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √21 B．5 ．❑ √29 D．❑ √37 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开， 然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形， 如图1： ∵长方体的宽为2，高为4，点B 离点的距离是1， ∴B¿ ❑ √4 2+3 2=¿5； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： ∵长方体的宽为2，高为4，点B 离点的距离是1， ∴B¿ ❑ √2 2+5 2=❑ √29； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： ∵长方体的宽为2，高为4，点B 离点的距离是1， ∴B¿ ❑ √6 2+1 2=❑ √37； 5 ∵＜❑ √29＜❑ √37， ∴蚂蚁爬行的最短距离是5． 故选：B． 1 6．（2022 春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20m，宽30m，长50m，一只蚂蚁从 点爬到B 点，最短路程是（ ）m． ．10❑ √89 B．50❑ √5 ．120 D．130 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高为20m，宽30m，长50m， ∴B¿ ❑ √50 2+100 2=¿50❑ √5（m）． 答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是50❑ √5m， 故选：B． 1 7．（2022 秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3 的正方体，把它分成3×3×3 个小正方体， 小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点爬到点B，那么估计，B 间的最短路程d 的值 为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【分析】过B 作BD⊥于D，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过B 作BD⊥于D， 则D＝4，BD＝3， ∴，B 间的最短路程d¿ ❑ √3 2+4 2=¿5， 故选：B． 8．（2022 秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是 一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为25m 的半圆， 其边缘B＝D＝20m．小明要在B 上选取一点E，能够使他从点D 滑到点E 再滑到点的滑 行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π 取3）m． 1 ．30 B．28 ．25 D．22 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最 短”得出结果． 【解答】解：其侧面展开图如图：作点关于B 的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为25m 的半圆， ∴B＝πR＝25π≈75m，B＝D＝20m， ∴F＝15m， 在Rt△DF 中，DF¿ ❑ √C F 2+C D 2= ❑ √15 2+20 2=¿25（m）， 故他滑行的最短距离约为25m． 故选：． 9．（2022 春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中B＝7m，B＝4m， BF＝6m，点M 在棱B 上，且M＝1m，点是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的 外表面从点M 爬行到点，它需要爬行的最短路程为（ ） ．10m B．4 ❑ √5cm ．6 ❑ √2cm D．2❑ √13cm 【分析】利用平面展开图有2 种情况，画出图形利用勾股定理求出M 的长即可． 【解答】解：如图1 中，M¿ ❑ √N J 2+M J 2= ❑ √6 2+8 2=¿10（m）， 如图2 中，M¿ ❑ √M B 2+B N 2= ❑ √6 2+8 2=¿10（m）， ∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M 爬行到点，它需要爬行的最短路程为 10m， 故选：． 1 10．（2022 秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜 （如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 9m，底面边长为4m，则这圈金属丝的长度至少为（ ） ．8m B．10m ．12m D．15m 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：将三棱柱沿′展开，其展开图如图， 则′¿ ❑ √9 2+12 2=¿15（m）． 故选：D． 11．（2022 秋•青岛期末）棱长分别为8m，6m 的两个正方体如图放置，点，B，E 在同一 直线上，顶点G 在棱B 上，点P 是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点 爬到点P，它爬行的最短距离是（ ） ．(3 ❑ √5+10)cm B．5 ❑ √13cm ．❑ √277cm D．(2❑ √58+3)cm 1 【分析】求出两种展开图P 的值，比较即可判断． 【解答】解：如图，有两种展开方法： 方法一：P¿ ❑ √14 2+9 2=❑ √277m， 方法二：P¿ ❑ √17 2+6 2=❑ √325m． 故需要爬行的最短距离是❑ √277m． 故选：． 12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2 厘米和4 厘米，高为5 厘米． 若一只蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米． ．8 B．10 ．12 D．13 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后 利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为2m 和4m，高为5m． ∴P＝4+2+4+2＝12（m），Q＝5m， ∴PQ¿ ❑ √P A 2+ A Q 2=¿13m． 故选：D． 二．填空题（共8 小题） 13．（2022 春•德城区期末）如图，长方体的长为15m，宽为10m，高为20m，点B 离点的 1 距离是5m，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是 25 m． 【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出B 的长即可． 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形， 如第1 个图： ∵长方体的宽为10m，高为20m，点B 离点的距离是5m， ∴BD＝D+B＝10+5＝15（m），D＝20m， 在直角三角形BD 中，根据勾股定理得： ∴B¿ ❑ √B D 2+ A D 2= ❑ √15 2+20 2=¿25（m）； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2 个图： ∵长方体的宽为10m，高为20m，点B 离点的距离是5m， ∴BD＝D+B＝20+5＝25（m），D＝10m， 在直角三角形BD 中，根据勾股定理得： ∴B¿ ❑ √B D 2+ A D 2= ❑ √10 2+25 2=¿5❑ √29（m）； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3 个图： ∵长方体的宽为10m，高为20m，点B 离点的距离是5m， ∴＝D+D＝20+10＝30（m）， 在直角三角形B 中，根据勾股定理得： ∴B¿ ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √30 2+5 2=¿5❑ √37（m）； 25 ∵ ＜5❑ √29＜5❑ √37 ∴蚂蚁爬行的最短距离是25m． 故答为：25． 1 14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公是北京2022 年冬奥会7 个雪上竞赛场馆中唯一利用 现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公内云顶滑雪场U 型池的实景图和示意图， 该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 12 π m，其边缘B＝D＝24m，点E 在D 上，E＝4m，一名滑雪爱好者从点滑到点E，他滑 行的最短路线长为 4 ❑ √34 m． 【分析】根据题意可得，D＝12，DE＝D﹣E＝24 4 ﹣＝20，线段E 即为滑行的最短路线 长．在Rt△DE 中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【解答】解：将半圆面展开可得： D＝12m，DE＝D﹣E＝20m， 在Rt△DE 中， E¿ ❑ √D E 2+ A D 2= ❑ √20 2+12 2=¿4❑ √34（m）， 即滑行的最短路线长为4❑ √34m， 故答为：4❑ √34． 1 15．（2022 春•仁怀市月考）如图，要在河边l 上修建一个水泵站，分别向村和B 村送水， 已知村、B 村到河边的距离分别为2km 和7km，且B 两村庄相距13km，则铺设水管的最 短长度是 15 km． 【分析】作点关于河边所在直线l 的对称点′，连接′B 交l 于P，则点P 为水泵站的位置； 利用了轴对称的性质可得P＝′P，在Rt△EB 中利用勾股定理可以算出E 的长，再在 Rt ′ △B 中利用勾股定理算出′B 的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解． 【解答】解：作点关于河边所在直线l 的对称点′，连接′B 交l 于P，则点P 为水泵站的 位置，此时，（P+PB）的值最小，即所铺设水管最短； 过B 点作l 的垂线，过′作l 的平行线，设这两线交于点， 过作E⊥B 于E，则四边形′E 和四边形ME 是矩形， ∴E＝M＝2，E＝′＝2+2＝4，′＝E， 在Rt△BE 中，依题意得：BE＝B﹣E＝7 2 ﹣＝5，B＝13， 根据勾股定理可得：E¿ ❑ √A B 2−B E 2=¿12， 在Rt△B ′中，B＝BE+E＝5+4＝9，′＝12， 根据勾股定理可得：′B¿ ❑ √A ' C 2+BC 2= ❑ √12 2+9 2=¿15， ∵P＝P′， ∴P+PB＝′B＝15（km）， 故答为：15． 16．（2022 秋•锦江区校级期末）在一个长6+2❑ √2米，宽为4 米的长方形草地上，如图堆 放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽D，木块的主视图的高是❑ √2米 的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 2 ❑ √29 米． 1 【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是B+等腰直角三角形的两腰， ∴长为6+2❑ √2+¿2+2 2 ﹣❑ √2=¿10（米）；宽为4 米． 于是最短路径为❑ √10 2+4 2=¿2❑ √29（米）， 故答为：2❑ √29． 17．（2022 秋•高新区校级期末）如图，室的墙面DEF 与地面BD 垂直，点P 在墙面上． 若P＝B＝5 米，点P 到D 的距离是3 米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B，它的最短行程 是 4 ❑ √5 米． 【分析】可将室的墙面DEF 与地面BD 展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利 用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过P 作PG⊥BF 于G，连接PB， ∵G＝3 米，P＝B＝5 米， ∴PG＝4 米， ∴BG＝8 米， ∴PB¿ ❑ √G B 2+G P 2=¿4❑ √5（米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是4❑ √5米． 故答为：4❑ √5． 1 18．（2022 春•德州期中）如图，点是正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点， 正方体的棱长为2，一蚂蚁从点沿其表面爬到点B 的最短路程是 ❑ √10 ． 【分析】根据题意画出图形，过作E⊥D 于E，连接B，则B 长为最短距离，求出D＝， ∠D＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出E＝DE＝E＝1，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：如图展开： 过作E⊥D 于E，连接B，则B 长为最短距离， ∵四边形DFG 是正方形，D＝B＝2， ∴D＝，∠D＝90°， ∴∠DE＝∠E＝45°， ∵E⊥D， ∴DE＝E， ∵∠D＝90°， ∴E＝DE＝E¿ 1 2D＝1， 在△EB 中，∠EB＝90°，BE＝1+2＝3，E＝1，由勾股定理得：B¿ ❑ √3 2+1 2=❑ √10， 故答为：❑ √10． 19．（2022 秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3m，4m，5m， 盒子高为9m，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行 的最短路程是 15 m． 1 【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【解答】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，′＝3+4+5＝12m，′B＝9m，∠′B＝ 90°， ∴B¿ ❑ √AA ' 2+ A ' B 2= ❑ √12 2+9 2=¿15m， 故答为：15． 20．（2022 秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长D＝80m，高B＝ 60m，水深E＝40m．在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60m，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．则蚂蚁爬行的 最短路线为 100 m． 【分析】作出关于B 的对称点′，连接′G，与B 交于点Q，此时Q+QG 最短；′G 为直角 △′EG 的斜边，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示作点关于B 的对称点′，连接′G 交B 与点Q，小虫沿着→Q→G 的 路线爬行时路程最短． 1 在直角△′EG 中，′E＝80m，EG＝60m， ∴Q+QG＝′Q+QG＝′G¿ ❑ √A ' E 2+EG 2=¿100m． ∴最短路线长为100m． 故答为：100． 三．解答题（共10 小题） 21．（2022 春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉，B，两个喷泉的距离长为125m． 现要为喷泉铺设供水管道M，BM，供水点M 在小路上，供水点M 到B 的距离M 的长为 60m，BM 的长为75m． （1）求供水点M 到喷泉，B 需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B 到小路的最短距离． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△MB 中，B¿ ❑ √B M 2−M N 2= ❑ √75 2−60 2=¿45（m）， ∴＝B﹣B＝125 45 ﹣ ＝80（m）， 在Rt△M 中，M¿ ❑ √A N 2+M N 2= ❑ √80 2+60 2=¿100（m）， ∴供水点M 到喷泉，B 需要铺设的管道总长＝100+75＝175（m）； （2）∵B＝125m，M＝100m，BM＝75m， ∴B2＝BM2+M2， 1 ∴△BM 是直角三角形， ∴BM⊥， ∴喷泉B 到小路的最短距离是BM＝75m． 22．（2022 秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁 从点出发，沿，b，d 三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B 出发， 沿d，两个面走最短路径到点．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？ 【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路 径的长． 【解答】解析展开，b，与d 在同一平面内，如图所示． 由题意可知，甲蚂蚁走的路径为1B，A1B= ❑ √6 2+2 2=❑ √40（m）． 乙蚂蚁走的路径为2B，A2B= ❑ √4 2+4 2=❑ √32（m）． 因为❑ √40＞❑ √32， 所