专题05 整式乘除法的三种考法全攻略（教师版）

专题05 整式乘除法的三种考法全攻略 类型一、不含某项字母求值 例1．已知计算 的结果中不含 和 的项，求 m、的值． 【答】m＝15，＝−10． 【详解】解：(5−3x＋mx2−6x3)•(−2x2)−x(−3x3＋x−1) ＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−x2＋x ＝12x5＋(3−2m)x4＋6x3＋(−10−)x2＋x， 由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−＝0， 解得：m＝15，＝−10． 【变式训练1】已知将 展开的结果不含 和 项，(m、为常数) (1)求m、的值； (2)在(1)的条件下，求 的值．(先化简，再求值) 【答】(1) ；(2) ，-1792 【详解】(1) ， ，由题意得： ，解得： ； (2) ， 当 ， 时，原式 【变式训练2】已知 的展开式中不含 和 项． (1)求 的值． (2)先化简，再求值： ． 【答】(1) ；(2) ； ． 【详解】(1) ． 展开式中不含 和 项， ．解得 ． (2) ． 当 时，原式 ． 【变式训练3】(1)试说明代数式 的值与、的值取值有无关系； (2)已知多项式 与 的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为 ，试求 的值； (3)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及的值． 【答】(1)代数式 的值与s 的取值有关系，与t 的取值无关系，理 由见详解；(2)1；(3)k=20，另一个因式为： ． 【详解】解：(1) ＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s． 故代数式 的值与s 的取值有关系，与t 的取值无关系； (2) ( ∵ )( )=2x3-x2+2x-2bx2+bx-2b， 又∵多项式 与 的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为 ， 2+ ∴ b=0，-2b=-4，∴=-1，b=2， = ； (3)∵二次三项式 有一个因式是 ， ∴ = = ，∴2m-5=3，5m=k， ∴m=4，k=20，另一个因式为： ． 【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知 ，求 的值． (2)若 中不含， 项，求m，的值． 【答】(1) ，22；(2) ， ． 【详解】(1) ， ， ， ∴ 且 ，解得： ， ， ． (2) ， ∵展开式中不含x、x2项， ∴ ， ， 解得： ， ． 类型二、与几何的综合问题 例1 如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为，的正方形(阴影部分)．观察 图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部 分的面积． 方法1：______，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？_________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知 ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【答】(1) ， ；(2) ；(3)①28；② ． 【详解】解：(1)方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即 ， 方法2，从边长为 的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即 ， 故答为： ， ； (2)在(1)两种方法表示面积相等可得， ， 故答为： ； (3)① ， ，又 ， ； ②设 ， ，则 ， ， ， 答： 的值为 ． 【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式， 两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图(1)所 示的梯形，请用两种方法计算梯形面积． (1)方法一可表示为______；方法二可表示为______； (2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______(等式的两边需写成 最简形式)； (3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6 和8，则其斜边长为______； (4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图(2) 是边长为 的正方体，被如图所示的分割线分成8 块．用不同方法计算这个正方体体积， 就可以得到一个等式，这个等式可以为______；(等号两边需化为最简形式) 【答】(1) ；(2) ；(3)10 (4) 【解析】(1)方法一可表示为： 方法二可表示为： 故答为： (2) ， 故答为： (3) 故答为：10 (4)方法一可表示为：(+b)3； 方法二可表示为：3+32b+3b2+b3． ∴等式为：(+b)3=3+32b+3b2+b3． 故答为：(+b)3=3+32b+3b2+b3． 【变式训练2】阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图 形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： (如图1)．所谓 “等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整 体看是一边长为 的正方形，其面积为 ．从局部看由四部分组成，即：一个边长 为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面 积和为 ．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等， 即 ． 同理，图2 可以得到一个等式： ． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3 可得等式：___________； (2)由图4 可得等式：____________； (3)若 ， ， ，且 ， ，求 的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的 几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求 的值． 【答】(1)(+2b)2=2+4b+4b2； (2)(2+b)(+2b)=22++5b+2b2； (3)①见解析；②(+b+)2=2+b2+2+2b+2b+2；③29． 【解析】(1)大正方形的面积可表示为=(+2b)2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=2+4b+4b2， 所以(+2b)2=2+4b+4b2， 故答为：(+2b)2=2+4b+4b2； (2)大长方形的面积可表示为=(2+b)(+2b)， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=22++5b+2b2， 所以(2+b)(+2b)=22++5b+2b2， 故答为：(2+b)(+2b)=22++5b+2b2； (3)①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=(+b+)2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=2+b2+2+2b+2b+2， 所以(+b+)2=2+b2+2+2b+2b+2． 故答为：(+b+)2=2+b2+2+2b+2b+2； ③ (+ ∵b+)2=2+b2+2+2b+2b+2， ∴2+b2+2=(+b+)2-2(b+b+)=92-26×2=81-52=29． 【变式训练3】(发现问题)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观 性，可以帮助我们更容易理解数学问题． 例如，求图1 阴影部分的面积，可以得到乘法公式(＋b)2＝2＋2b＋b2 请解答下列问题： (1)请写出求图2 阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可) (2)用4 个全等的、长和宽分别为、b 的长方形，拼摆成如图3 的正方形，请你观察求图3 中 阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：(＋b)2、(－b)2、b 之间的等量关系式 (直接写出等量关系式即可) (自主探索) (3)小明用图4 中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽为，长为b 的长方形 纸片拼出一个面积为(3＋2b)(2＋3b)长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝ _____ (拓展迁移) (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5 表示的是一个边长 为＋b 的正方体，请你根据图5 求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______ 【答】(1)(－b)2＝2－2b＋b2；(2)(＋b)2－4b＝(－b)2； (3)图见解析，19；(4)(＋b)3＝3＋32b＋3b2＋b3 【详解】(1)阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积 即 ，故答为 ； (2)阴影部分面积= ，大正方形面积= ，长方形面积= 大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即： ； (3)将面积为 的长方形画出后，按比例分割，图如下： 看图即可得： ， ，所以， ，故答为19； (4)大正方体体积=各小长方体体积之和，即： 故答为 ． 【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5 的大小关系(其中y>0)？ 几何建模： (1)画长y+3，宽y+2 的矩形，按图方式分割 (2)变形：2y+5=(y+2)+(y+3) (3)分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点 部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知： (y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5 归纳提炼： 当>2，b>2 时，表示b 与+b 的大小关系．根据题意，设=2+m，b=2+(m>0，>0)，要求参照上 述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤(用铅笔画图，并标注相关线段的长) 【答】b＞+b．见解析 【详解】解：(1)画长为2+m，宽为2+的矩形，并按图方式分割． (2)变形：+b=(2+m)+(2+) (3)分析：图中大矩形面积可表示为(2+m)(2+)；阴影部分面积可表示为2+m 与2+的和．由图 形的部分与整体的关系可知，(2+m)(2+)＞(2+m)+(2+)，即b＞+b． 类型三、规律性问题 例1(1)填空： ； ； ． (2)猜想： ．(其中为正整数，且 )． (3)利用(2)猜想的结论计算： ① ② 【答】(1) ， ， ；(2) ；(3)① ；② 【详解】(1) ； ； ； 故答分别为： ， ， ； (2)由(1)的规律可得：原式 ， 故答为： ； (3)① ； ②∵ 即 ． 【变式训练1】阅读下文，寻找规律： 已知： ，观察下列各式： ； ； ； ； … (1)填空： ① _________； ② _________． (2)根据你的猜想，计算： ① _________； ②那么 的末尾数字为_________． 【答】(1)① ；② ；(2)① ；②1 【解析】(1)解：①根据规律可得： ； ②原式 ； (2)解：①∵ ， 把x=2，=2020 代入， 得： ， ②∵ 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数字是6， 的末尾数字是2，…， ∵ ， ∴ 的末尾数字是2， ∴ 的末尾数字是1 【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示) 就是一例． 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和．事 实上，这个三角形给出了(+b)(为正整数)的展开式(按的次数由大到小的顺序排列)的系数规 律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(+b)2＝2+2b+b2展开式中各项的 系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着(+b)3＝3+32b+3b2+b3展开式中各项的系数等 等． (1)根据上面的规律，(+b)4展开式的各项系数中最大的数为 ； (2)求出25+5×24×( 3)+10×2 ﹣ 3×( 3) ﹣ 2+10×22×( 3) ﹣ 3+5×2×( 3) ﹣ 4+( 3) ﹣ 5的值； (3)若(x 1) ﹣ 2020＝1x2020+2x2019+3x2018+……+2019x2+2020x+2021，求出1+2+3+……+2019+2020的值． 【答】(1)6；(2) 1 ﹣；(3) 1 ﹣ 【详解】解：(1)第五行即为1、 4、 6、 4 、1 对应(+b)4展开式中各项的系数， (+ ∴b)4展开式的各项系数中最大的数为6，故答为6； (2) (+ ∵b)2＝2+2b+b2， (+b)3＝3+32b+3b2+b3，．．．．．． 根据展式中的2 最大指数是5，首项 =2，末项b=-3, 2 ∴ 5+5×24×( 3)+10×2 ﹣ 3×( 3) ﹣ 2+10×22×( 3) ﹣ 3+5×2×( 3) ﹣ 4+( 3) ﹣ 5＝[2+( 3)] ﹣ 5＝(2 3) ﹣ 5＝﹣1； (3) ( ∵x 1) ﹣ 2020＝1x2020+2x2019+3x2018+……+2019x2+2020x+2021， ∴当x＝1 时，(1 1) ﹣ 2020＝1×12020+2×12019+3×12018+……+201912+2020×1+2021， 即1+2+3+……+2019+2020+2021＝0， 当x＝0 时，(0 1) ﹣ 2020＝1×02020+2×02019+3×02018+……+2019×02+2020×0+2021，即2021＝1， ∴1+2+3+……+2019+2020= 1+2+3+……+2019+2020+2021- 2021＝0 1 ﹣＝﹣1． 【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着 读，文字一样，韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联 一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”： ， ， ． (1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．(填上所有正确的序号) ． 与 ；B． 与 ； ． 与 ；D． 与 ； E 与 (2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明． 【答】(1)DE；(2)见解析 【解析】(1)解：、 ， ， ，故该选项不符合题意； B、 与 不是回文等式，故该选项不符合题意； 、 ， ，所以 ，故该选项符合题意； D、 ，故该选项符合题意； E、 ， ，所以 ，故该选项符合题意； 所以能构成“回文等式”的是DE 故答为：DE； (2)解：“回文等式”左边(右边)的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下： 设回文等式左边的两个两位数为 ， ，其中，b，，d 为小于10 的正整数， 依题意得： ， ，解得： ，所以 ．